測定と不確かさ（発展）

不確かさの伝わり方と偏微分

著者：柚木芹香

前の節では，不確かさの伝わり方の規則を使いました．この節では，その規則を微分から導きます．2つ以上の量に関係する関数を1つずつの量について微分する「偏微分」を，ここで導入します．

定理数学の道具：1次近似と偏微分

どんな指数でも $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ． 第3章では $n$ が自然数の場合を示した．第2章の一次近似 $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ （ $ε$ が十分小さいとき． $n$ は負でも分数でもよい）を使うと， $x > 0$ で

\frac{(x + h)^{n} - x^{n}}{h} = \frac{x^{n}}{h} [{(1 + \frac{h}{x})}^{n} - 1] \approx \frac{x^{n}}{h} \cdot \frac{n h}{x} = n x^{n - 1}

となり， $h \to 0$ で同じ公式が成り立つ．たとえば $(T^{- 2})^{'} = - 2 T^{- 3}$ ， $(\sqrt{l})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{l}}$ ．

1次近似． $y = f (x)$ で $x$ が $Δ x$ だけ変わると， $Δ y \approx f^{'} (x) Δ x$ ． $Δ x$ が小さいほど良く成り立つ（接線で曲線を近似している）．

偏微分． 2つの量 $x_{1}$ ， $x_{2}$ で決まる $y = f (x_{1}, x_{2})$ で， $x_{2}$ を定数とみて $x_{1}$ で微分したものを， $x_{1}$ による偏微分といい $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}$ と書く． $x_{2}$ による偏微分も同様である．たとえば $g (l, T) = 4 π^{2} l T^{- 2}$ では

\frac{\partial g}{\partial l} = \frac{4 π^{2}}{T^{2}}, \frac{\partial g}{\partial T} = - \frac{8 π^{2} l}{T^{3}}

2つの量が同時に変わるとき． $x_{1}$ と $x_{2}$ が $Δ x_{1}$ ， $Δ x_{2}$ だけ変わるとき，まず $x_{1}$ だけを変え，次に $x_{2}$ を変えると考えると

Δ y \approx \frac{\partial f}{\partial x_{1}} Δ x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} Δ x_{2}

となる（2段目の偏微分を取る点が $Δ x_{1}$ だけずれる違いは， $Δ x_{1} Δ x_{2}$ の程度で，1次の近似では無視できる）．

独立な不確かさの合成． 両辺を2乗して，多数回の繰り返しについて平均する． $Δ x_{1}$ と $Δ x_{2}$ が独立なら，前の題材と同じく交差項 $Δ x_{1} Δ x_{2}$ の平均は0なので

u_{c} (y)^{2} = {(\frac{\partial f}{\partial x_{1}})}^{2} u (x_{1})^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial x_{2}})}^{2} u (x_{2})^{2}

量が3つ以上でも同じ形に項を足す． $y = x_{1} \pm x_{2}$ なら偏微分は $\pm 1$ で，和・差の規則になる． $y = C x_{1}^{p} x_{2}^{q}$ なら $\frac{\partial y}{\partial x_{1}} = \frac{p y}{x_{1}}$ ， $\frac{\partial y}{\partial x_{2}} = \frac{q y}{x_{2}}$ なので，両辺を $y^{2}$ で割ると積・商・べきの規則になる．

練習． 長方形の板の縦が $a = 20.0 cm$ （ $u = 0.1 cm$ ），横が $b = 30.0 cm$ （ $u = 0.1 cm$ ）である．面積 $S = a b$ の合成標準不確かさを，偏微分の式と相対不確かさの式の2通りで求めよ．

答え： $\frac{\partial S}{\partial a} = b = 30.0 cm$ ， $\frac{\partial S}{\partial b} = a = 20.0 cm$ より $u_{c} (S) = \sqrt{(30.0 \times 0.1)^{2} + (20.0 \times 0.1)^{2}} = \sqrt{13} = 3.6 {cm}^{2}$ ．相対では $\sqrt{{0.5}^{2} + {0.333}^{2}} = 0.60$ % で， $600 \times 0.0060 = 3.6 {cm}^{2}$ ．一致する．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

前の節の問いの値 $l = 0.7989 m$ ， $u (l) = 0.0010 m$ ， $T = 1.7940 s$ ， $u (T) = 0.00165 s$ を使う． $g = 4 π^{2} l / T^{2}$ の偏微分を数で求め，長さと周期のそれぞれが $g$ に与える不確かさと，合成標準不確かさ $u_{c} (g)$ を求めよ．前の節の相対不確かさによる結果と一致することを確かめよ．

解答を見る

考え方 偏微分に各量の標準不確かさを掛けたものが，その量の寄与である．寄与どうしを2乗の和で合わせる．

\frac{\partial g}{\partial l} = \frac{4 π^{2}}{T^{2}} = \frac{39.48}{3.2184} = 12.27 s^{- 2}, \frac{\partial g}{\partial T} = - \frac{8 π^{2} l}{T^{3}} = - \frac{2 g}{T} = - 10.92 m s^{- 3}

長さの寄与は $12.27 \times 0.0010 = 0.0123 m s^{- 2}$ ，周期の寄与は $10.92 \times 0.00165 = 0.0180 m s^{- 2}$ ．合わせて

u_{c} (g) = \sqrt{{0.0123}^{2} + {0.0180}^{2}} = 0.022 m s^{- 2}

確かめると，相対不確かさでは $\frac{0.0123}{9.800} = 0.125$ %， $\frac{0.0180}{9.800} = 0.184$ % で，前の節の内訳の表と一致する．偏微分の単位も確かめておく． $\frac{\partial g}{\partial l}$ に $m$ を， $\frac{\partial g}{\partial T}$ に $s$ を掛けると，どちらも $m s^{- 2}$ になる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

振り子のおもりの密度を求める．質量は電子てんびん（表示 $0.1 g$ 刻み）で $m = 66.9 g$ ，直径はノギス（ $0.05 mm$ 刻み）で $D = 25.40 mm$ と読んだ．どちらも，読みの不確かさは表示の刻みの半分 $a$ に一様に散らばるとして，標準不確かさを $a / \sqrt{3}$ とする．

**［図：同じ金属球の直径と質量を測る］**
左はノギスの外側の測定面で球を挟む図．赤い印が測定面と球の接点．右は同じ球を電子てんびんに載せる図．読みの値や密度は示さない．

密度 $ρ = \frac{6 m}{π D^{3}}$ を求めよ．
$m$ と $D$ の標準不確かさを求め， $ρ$ の相対標準不確かさへのそれぞれの寄与と， $ρ$ の合成標準不確かさを求めよ．

解答を見る

考え方 $ρ \propto m^{1} D^{- 3}$ なので，直径の相対不確かさは3倍に効く．

$D = 2.540 cm$ として， $ρ = \frac{6 \times 66.9}{π \times {2.540}^{3}} = \frac{401.4}{51.48} = 7.797 g {cm}^{- 3}$ ．
$u (m) = \frac{0.05}{\sqrt{3}} = 0.029 g$ ， $u (D) = \frac{0.025}{\sqrt{3}} = 0.0144 mm$ ．寄与は，質量が $\frac{0.029}{66.9} = 0.043$ %，直径が $3 \times \frac{0.0144}{25.40} = 0.170$ %．合わせて $\sqrt{{0.043}^{2} + {0.170}^{2}} = 0.176$ %， $u_{c} (ρ) = 7.797 \times 0.00176 = 0.014 g {cm}^{- 3}$ ．結果は $ρ = 7.797 (14) g {cm}^{- 3}$ である．直径の読みの相対不確かさ（0.057 %）は質量（0.043 %）と同じ程度なのに，3乗で効くので寄与は4倍になる．確かめとして，鉄の密度はおよそ $7.8 g {cm}^{- 3}$ で，鉄の球として妥当である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

支点の位置がはっきり分からない振り子で，メートル尺の目盛りを使い，おもりの上端の位置を2通りに変えて周期を測る．上端の読みの差を $Δ l^{'} = l_{1}^{'} - l_{2}^{'}$ とすると，支点の位置もおもりの半径も差では消えて， $g = \frac{4 π^{2} Δ l^{'}}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}}$ となる．各読みの標準不確かさは $0.0005 m$ ，各周期の標準不確かさは $0.0017 s$ で，すべて独立とする．

［図：2つの長さの読みの差］

同じ支点から同じ球を長い糸と短い糸でつるす2通りの配置を重ねて示す．上端の読み l′_1 と l′_2 の差 Δl′ をメートル尺に沿って示す．支点の位置には不明瞭な範囲を付ける．

$l_{1}^{'} = 1.200 m$ ， $T_{1} = 2.211 s$ ， $l_{2}^{'} = 0.200 m$ ， $T_{2} = 0.928 s$ のとき， $g$ と $u_{c} (g)$ を求めよ．
2つの長さを近づけて $l_{1}^{'} = 0.800 m$ ， $T_{1} = 1.807 s$ ， $l_{2}^{'} = 0.600 m$ ， $T_{2} = 1.572 s$ としたときの $g$ の相対標準不確かさを求め，(1) と比べよ．

解答を見る

考え方 分子の差と分母の差のそれぞれに和・差の規則を使い，最後に商の規則で合わせる．支点の位置のように両方の読みに同じだけ入るずれは，差を取ると消える．

分子： $Δ l^{'} = 1.000 m$ ， $u (Δ l^{'}) = \sqrt{2} \times 0.0005 = 0.00071 m$ ，相対 0.071 %．分母： $T_{1}^{2} - T_{2}^{2} = 4.8885 - 0.8612 = 4.0273 s^{2}$ ． $u (T^{2}) = 2 T u (T)$ より $u (T_{1}^{2}) = 0.0075 s^{2}$ ， $u (T_{2}^{2}) = 0.0032 s^{2}$ ．差の不確かさは $\sqrt{{0.0075}^{2} + {0.0032}^{2}} = 0.0082 s^{2}$ ，相対 0.20 %．よって

g = \frac{4 π^{2} \times 1.000}{4.0273} = 9.803 m s^{- 2}

相対標準不確かさは $\sqrt{{0.071}^{2} + {0.20}^{2}} = 0.21$ % なので， $u_{c} (g) = 0.021 m s^{- 2}$ である．

$Δ l^{'} = 0.200 m$ で相対 0.35 %． $T_{1}^{2} - T_{2}^{2} = 3.2652 - 2.4712 = 0.7941 s^{2}$ ，不確かさは $\sqrt{(2 \times 1.807 \times 0.0017)^{2} + (2 \times 1.572 \times 0.0017)^{2}} = 0.0081 s^{2}$ ，相対 1.03 %．合わせて $\sqrt{{0.35}^{2} + {1.03}^{2}} = 1.08$ % で，(1) の約5倍になる．差の不確かさはあまり変わらないのに，差そのものが小さくなったからである．近い値どうしの差は相対不確かさが大きくなるので，2つの長さはできるだけ離す．確かめとして，(2) の値から計算すると $g = 9.94 m s^{- 2}$ で， $9.80 m s^{- 2}$ との差 $0.14 m s^{- 2}$ は，その不確かさ $0.11 m s^{- 2}$ と同じ程度である．

ポイントここまでのまとめ

一次近似から，どんな指数 $n$ でも $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ．
偏微分は，ほかの量を定数とみて1つの量で微分したもの． $Δ y \approx \sum \frac{\partial f}{\partial x_{k}} Δ x_{k}$ ．
独立なら $u_{c} (y)^{2} = \sum {(\frac{\partial f}{\partial x_{k}})}^{2} u (x_{k})^{2}$ ．和・差，積・商・べきの規則はこの特別な場合である．
同じずれが両方に入る量どうしの差では，そのずれが消える．ただし近い値の差は相対不確かさが大きい．