測定と不確かさ（発展）

計算した量の不確かさ

著者：柚木芹香

問い

ここまでの題材で，振り子の長さは $l = 0.7989 m$ （標準不確かさ $u (l) = 0.0010 m$ ．支点の位置の見きわめが主），周期は $T = 1.7940 s$ （ $u (T) = 0.0017 s$ ）と分かりました．ここから

g = \frac{4 π^{2} l}{T^{2}} = 9.800 m s^{- 2}

と計算できます．長さにも周期にも不確かさがあるのだから， $g$ にも不確かさがあるはずです．それはどれだけでしょうか．また， $g$ をもっと確かにしたいとき，長さと周期のどちらを測り直すのがよいでしょうか．

考えてみる

$u (l) = 0.0010 m$ と $u (T) = 0.0017 s$ をそのまま足すことはできません．単位が違うからです．比べるには，値に対する割合（相対標準不確かさ） $u (x) / | x |$ にします．長さは $\frac{0.0010}{0.7989} = 0.125$ %，周期は $\frac{0.00165}{1.794} = 0.092$ % です（途中の計算では1桁多く $u (T) = 0.00165 s$ を使います）．

では， $g$ の相対不確かさは $0.125 + 0.092$ % でよいのでしょうか．2つ気になることがあります． $g$ の式には $T$ が2乗で入っているので，周期のずれは2倍に効きそうです．また，長さのずれと周期のずれは互いに関係なく出るので，両方が同時に最大の向きにずれることはまれで，単純に足すと大きすぎそうです．

1つの量から計算するとき

量 $x$ から $y = f (x)$ を計算するとします． $x$ が小さく $Δ x$ だけずれると， $y$ のずれは，グラフの接線で近似して $Δ y \approx f^{'} (x) Δ x$ です（第3章の微分）．ずれが小さければ，ずれは傾き $f^{'} (x)$ 倍されて伝わります．したがって

u (y) = | f^{'} (x) | u (x)

です．特に $y = C x^{n}$ （ $C$ は定数）なら $f^{'} (x) = n C x^{n - 1} = n y / x$ なので（ $n$ が負や分数でもこの微分の公式が成り立つことは，次の節で確かめます）

\frac{u (y)}{| y |} = | n | \frac{u (x)}{| x |}

となり，相対不確かさが $| n |$ 倍になります． $T^{2}$ の相対不確かさは $T$ の2倍， $\sqrt{l}$ なら半分です．

［図：接線を通して伝わる不確かさ］

曲線の接点で，横軸の±u(x)を接線へ投影し，縦軸の±u(y)を読む．接点を右へ動かすと傾きが増し，縦の幅が広がる．初期状態は緩やかな部分と急な部分の間．

2つ以上の量から計算するとき

長さのずれと周期のずれのように，互いに関係なく出るずれを独立といいます．前の題材の数学の節で，独立なずれの和は，2乗の平均が足し算になることを見ました（交差項の平均が0になるから）．同じ理由で，独立な不確かさは2乗して足し，平方根を取って合わせます．

公式不確かさの伝わり方（独立な場合）

和・差 $y = x_{1} \pm x_{2}$ ： $u (y)^{2} = u (x_{1})^{2} + u (x_{2})^{2}$
積・商・べき $y = C x_{1}^{p} x_{2}^{q}$ ：

{(\frac{u (y)}{y})}^{2} = {(p \frac{u (x_{1})}{x_{1}})}^{2} + {(q \frac{u (x_{2})}{x_{2}})}^{2}

こうして合わせた不確かさを合成標準不確かさ $u_{c} (y)$ という．

和・差では不確かさそのものを，積・商では相対不確かさを合わせます．導き方は次の節で示します．

$g$ の不確かさ

$g = 4 π^{2} l T^{- 2}$ は $p = 1$ ， $q = - 2$ の形です．

量	相対標準不確かさ	指数	$g$ への寄与
$l$	0.125 %	$1$	0.125 %
$T$	0.092 %	$- 2$	0.184 %
合成			$\sqrt{{0.125}^{2} + {0.184}^{2}} = 0.223$ %

よって $u_{c} (g) = 9.800 \times 0.00223 = 0.022 m s^{- 2}$ です．周期の相対不確かさは長さより小さいのに，2乗で効くので，寄与は周期のほうが大きくなりました．

このような表を不確かさの内訳といいます．内訳を作ると，どこを良くすればよいかが分かります．長さの不確かさを半分にしても，合成は $\sqrt{{0.0625}^{2} + {0.184}^{2}} = 0.194$ % にしかなりません．周期の不確かさを半分にすれば $\sqrt{{0.125}^{2} + {0.092}^{2}} = 0.155$ % になります．2乗の和では，大きいほうの寄与が全体を決めるので，一番大きな寄与から減らすのが近道です．周期なら，前の題材で見たように，まとめて測る周期の数を増やすのが効きます．

報告の書き方と有効数字

不確かさは1桁か2桁で書き，値はその桁にそろえて丸めます．この実験の結果は

$g = 9.800 m s^{- 2}$ ，合成標準不確かさ $0.022 m s^{- 2}$

と書きます．短く $g = 9.800 (22) m s^{- 2}$ とも書き，括弧の中は最後の2桁に対する標準不確かさです． $\pm$ を使うときは，それが何の不確かさかを必ず書き添えます．

第1章の有効数字の規則「掛け算・割り算は桁数の最も少ないものに合わせる」は，相対不確かさの伝え方を大まかにしたものです．桁数は相対不確かさのおおよその目安だからです．ただし，規則はべきの倍率（ $T^{2}$ で2倍）も2乗の和も見ないので，大まかにしか合いません．4桁の $0.7989$ と $1.794$ から規則どおりに4桁の $9.800$ を書くと，最後の桁まで確かに見えますが，実際には小数第2位がもう $0.02$ ほど違いうるのです．

最後に，結果を基準の値と比べます．合成標準不確かさに係数 $k$ （包含係数．ふつう $k = 2$ ）を掛けたものを拡張不確かさ $U = k u_{c}$ といいます． $k = 2$ では $U = 0.044 m s^{- 2}$ で，正規分布なら約 95 % の確からしさで値が入る範囲の目安になります．東京付近の重力加速度 $9.798 m s^{- 2}$ は $9.800 \pm 0.044$ の範囲に入るので，この実験は基準の値と合っているといえます．差が $U$ よりずっと大きければ，見落とした系統誤差を疑います．

ポイントここまでのまとめ

1つの量からなら $u (y) = | f^{'} (x) | u (x)$ ．べき $x^{n}$ では相対不確かさが $| n |$ 倍になる．
独立な不確かさは2乗の和の平方根で合わせる．和・差では不確かさそのもの，積・商・べきでは相対不確かさを合わせる．
内訳の表を作り，一番大きな寄与から減らす．有効数字の規則は，この伝え方の大まかな版である．
問いの答え： $g = 9.800 m s^{- 2}$ ，合成標準不確かさ $0.022 m s^{- 2}$ ．周期の寄与（0.184 %）が長さ（0.125 %）より大きいので，周期を良くするのが先である．