第17章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

理想気体Aは分子質量 $m$ ・温度200 K，Bは質量 $4 m$ ・温度1800 Kです．最確・平均・二乗平均平方根の速さと，分布の横・縦の倍率「B／A」を求めてください．各山の等幅微小区間の割合比も求めてください．

**［図：2試料のマクスウェル分布と等幅の区間］**
分子質量 m，温度200 KのAと，質量4m，温度1800 KのBの速さの確率密度を描く．両曲線の面積は1で，各山の速さから始まる等幅の微小区間を塗っている．

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考え方 速さは $\sqrt{T / m}$ に比例し，面積は1である．

3つとも $\sqrt{(1800 / 4) / 200} = 3 / 2$ である． $f_{B} (v) = (2 / 3) f_{A} (2 v / 3)$ なので，横に $3 / 2$ 倍，縦に $2 / 3$ 倍である．幅0の極限で割合の比は $2 / 3$ である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

分子の内部状態はエネルギー0に1状態， $ε = k_{B} θ$ に2状態あります．体積・分子数一定の系が大きな熱浴と弱く接し，熱平衡にあります．温度 $T_{0}$ で上の準位の割合が $1 / 3$ でした． $θ$ と， $2 T_{0}$ での上の割合・分子1個の平均内部エネルギーを求めてください．

**［図：一つの下の状態と二つの上の状態］**
エネルギー 0 の状態が1つ，エネルギー ε=k_Bθ の状態が2つある．両準位の間隔 ε と，温度 T₀ に対応する熱的なエネルギー k_BT₀ を比べている．T₀ で上の割合は 1/3 である．

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考え方 準位の割合はボルツマン因子と状態数の積で決まる．

$q = e^{- θ / T}$ とすると $Z = 1 + 2 q$ ，上の割合は $2 q / Z$ ． $T_{0}$ では $q = 1 / 4$ より $θ = T_{0} \ln 4$ ． $2 T_{0}$ では $q = 1 / 2$ ，割合 $1 / 2$ ，平均 $ε / 2$ である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

剛体容器 $V = 2.0 \times 10^{- 3} m^{3}$ に単原子Aと二原子Bの理想気体を混ぜます．初め $T = 300 K, p = 1.2 \times 10^{5} Pa$ で，熱 $120 J$ により圧力が $3.0 \times 10^{4} Pa$ 増しました．Bは回転有効・振動凍結，自由度一定で，損失・反応・漏れは無視します．最終温度，Aの個数割合 $x$ ， $U, C_{V}, C_{p}, γ$ を求めてください． $γ = 1.50$ の測定から自由度と $x$ を確認してください．

**［図：単原子分子と二原子分子の混合気体への加熱］**
固定容器に単原子分子 A と二原子分子 B があり，120 J のエネルギーを与える．初めの温度は 300 K，圧力は 1.2×10⁵ Pa，体積は 2.0×10⁻³ m³ で，圧力は 3.0×10⁴ Pa 増える．A と B は種別を示す模式図で，個数比を表さない．

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考え方 成分の内部エネルギーを足す．

$T_{f} = 300 \times 1.5 / 1.2 = 375 K$ ．自由度の平均は $\bar{f} = 3 x + 5 (1 - x) = 5 - 2 x$ ． $120 = (\bar{f} / 2) V Δ p = 30 \bar{f}$ より $\bar{f} = 4, x = 1 / 2$ ．よって $U = 2 ν R T, C_{V} = 2 R, C_{p} = 3 R, γ = 3 / 2$ である．測定値から $\bar{f} = 2 / (γ - 1)$ ， $x = (5 - \bar{f}) / 2$ で求まる． $\bar{f}$ は整数とは限らない．

演習 4

東京大 2008 前期（改題） ★★☆☆☆

モル質量 $M$ の等温理想大気で，地表の圧力・密度は $p_{0}, ρ_{0}$ です．小さな剛体標識の密度は $ρ_{0} / 2$ です．

$\frac{d p}{d z} = - ρ g$ ， $ρ = M p / (R T)$ から気圧を求めてください．
標識のつり合い高度と，少し上へずれたときの合力の向きを求めてください． $T = 280 K, M = 0.029 kg {mol}^{- 1}, R = 8.3 J {mol}^{- 1} K^{- 1}, g = 9.8 m s^{- 2}, \ln 2 = 0.69$ とします．

**［図：等温大気と標識の中性浮力］**
等温大気ではp(z)=p₀exp(−z/H)，H=RT/(Mg)であり，密度も同じ指数関数に従う．地表の密度ρ₀の半分の密度をもつ小さな剛体標識は，z*=H ln 2で浮力ρ(z)V_bgと重量ρ₀V_bg/2がつり合う．右の曲線は気圧の比p/p₀と高さz/Hの関係を示す．

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考え方 密度は圧力に比例する．

$\frac{d \ln p}{d z} = - M g / (R T)$ より $p = p_{0} e^{- z / H}, H = R T / (M g)$ ．
浮力よりつり合いは $ρ (z_{*}) = ρ_{0} / 2$ ． $z_{*} = H \ln 2 \approx 5.7 km$ ．上では浮力が減り，下向きの復元力が生じる．標識付近の密度変化は無視した．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

速さ密度 $f (v) \propto v^{2} e^{- m v^{2} / (2 k_{B} T)}$ を $E = m v^{2} / 2$ に換算します．等幅エネルギー区間の密度 $F (E)$ を比例式で求めてください．既知の $E_{0} > 0$ に対し， $E_{0} / 2$ と $2 E_{0}$ の等幅区間の割合の比「後者／前者」は，幅0の極限で $2 e^{- 3 / 2}$ でした．温度と $F$ の山，最確速さのエネルギーを求めてください．

**［図：速さからエネルギーへの換算と分布］**
速さを E=mv²/2 に換算してから等幅のエネルギー区間で集計する．無次元のエネルギー分布と，E/(k_BT)=1/2と2から始まる等幅の微小区間を示す．

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考え方 確率を保って変数を換える．

$d E = m v d v$ ， $F = f / (m v)$ より $F (E) \propto \sqrt{E} e^{- E / (k_{B} T)}$ ．比は $2 e^{- 3 E_{0} / (2 k_{B} T)}$ なので $T = E_{0} / k_{B}$ ． $\frac{d \ln F}{d E} = 1 / (2 E) - 1 / (k_{B} T) = 0$ より山は $E_{0} / 2$ ，最確速さのエネルギーは $E_{0}$ である．幅が変わるため山も変わる．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

モル質量 $M$ の理想大気で， $0 \leq z \leq 2 L$ の温度は $T (z) = T_{0} (1 + z / L)$ ， $p (0) = p_{0}$ です． $p = n k_{B} T$ と静水圧の式から圧力・数密度を求めてください． $M g L / (R T_{0}) = 2$ のとき，高さ0から $L$ ， $L$ から $2 L$ での圧力比も求めてください．

**［図：高さとともに温度が上がる大気］**
静止大気の温度は T(z)=T₀(1+z/L) である．高さ 0，L，2L にそれぞれ T₀，2T₀，3T₀ を示す．重力は下向きに働く．

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考え方 一定温度のボルツマン因子を全体へ使わない．

$a = M g L / (R T_{0})$ とすると $\frac{d \ln p}{d z} = - a / (L + z)$ ．積分して $p = p_{0} (1 + z / L)^{- a}$ ， $n = [p_{0} / (k_{B} T_{0})] (1 + z / L)^{- a - 1}$ ．指定値では $p (L) / p (0) = 1 / 4$ ， $p (2 L) / p (L) = 4 / 9$ ．全体の熱平衡ではない．

演習 7

オリジナル ★★★☆☆

断面積 $S$ ，高さ $L$ の容器に，質量 $m$ の理想気体分子Aと質量 $2 m$ のBを各 $N$ 個閉じ込め，熱浴と弱く接し，温度 $T$ を保ちます．対流を抑えた拡散平衡です． $H = k_{B} T / (m g), L = H \ln 2$ として，各成分の数密度と底・天井の $n_{B} / n_{A}$ を求めてください．

**［図：鉛直容器で底に偏る重い分子］**
断面積 S，高さ L の容器に，質量 m の A と質量 2m の B が各 N 個ある．両成分の総数は同じだが，重い B は底付近により強く偏る．L=H ln 2，H=k_BT/(mg) である．粒子の配置は分布の模式図である．

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考え方 総数で規格化する．

尺度 $h$ なら $n = C e^{- z / h}$ ， $N = S C h (1 - e^{- L / h})$ ．Aで $h = H$ ，Bで $h = H / 2$ を入れて

n_{A} = \frac{2 N}{S H} e^{- z / H}, n_{B} = \frac{8 N}{3 S H} e^{- 2 z / H}

となる．比は $(4 / 3) e^{- z / H}$ ，底で $4 / 3$ ，天井で $2 / 3$ ．実大気では対流等の混合もある．

演習 8

オリジナル ★★★☆☆

直線ビームを間隔 $L$ の2枚のシャッターで測ります．

時刻0， $τ$ に順に瞬時に開くと，どの速さを選べますか．
2枚目を開けて飛行時間 $t$ を測ります．出発分子の速さ密度は $q (v) = 2 a^{2} v^{3} e^{- a v^{2}}, a = m / (2 k_{B} T)$ です．時間密度 $G (t)$ と山 $t_{*}$ から温度を求めてください．衝突・重力，開時間による幅，検出効率の速さ依存は無視します．

**［図：シャッターによる速度選別と飛行時間の分布］**
x=0のシャッターS₁を時刻0に瞬間的に開き，x=LのシャッターS₂と検出器へ分子を飛ばす．S₂を時刻τの短時間だけ開くとv=L/τ付近の分子を選べる．飛行時間t=L/vは速さに反比例するため，等幅の速さ区間は不等幅の時間区間に対応し，G(t)dt=q(v)|dv|で確率を保存する．

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考え方 時間と速さの区間の幅は異なる．

$v = L / τ$ である．
$v = L / t$ ， $| \frac{d v}{d t} | = L / t^{2}$ より $G (t) = 2 a^{2} L^{4} t^{- 5} e^{- a L^{2} / t^{2}}$ ． $\frac{d \ln G}{d t} = - 5 / t + 2 a L^{2} / t^{3} = 0$ から

t_{*}^{2} = \frac{m L^{2}}{5 k_{B} T}, T = \frac{m L^{2}}{5 k_{B} t_{*}^{2}}

である．流出の重みは発展問題で導く．

演習 9

オリジナル ★★★☆☆

金属の低温比熱は $C_{V} = a T + b T^{3}$ で，順に電子・格子の寄与です． $T = 10, 20 K$ で $C_{V} / T = 0.004, 0.007 J {mol}^{- 1} K^{- 2}$ でした． $a, b$ ，正の交差温度， $0.10 mol$ を10 Kから20 Kへ定積で温める熱量を求めてください．零点エネルギーと高温への延長も論じてください．

**［図：金属の低温比熱における電子と格子の寄与］**
金属の低温比熱をC_V=aT+bT³と近似する．青は電子のaT，緑は格子振動のbT³，橙は合計である．T*=√(a/b)で電子と格子の寄与が等しくなる．aとbはともに正であり，グラフは低温で有効な模型の模式図である．

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考え方 $C_{V} / T$ は $T^{2}$ の1次式である．

測定差から $b = 0.003 / 300 = 1.0 \times 10^{- 5} J {mol}^{- 1} K^{- 4}$ ， $a = 0.003 J {mol}^{- 1} K^{- 2}$ ．交差は $T = \sqrt{a / b} \approx 17 K$ ． $Q = ν \int_{10}^{20} C_{V} d T = 0.10 [150 a + 37500 b] \approx 0.083 J$ ．零点の温度微分は0で，熱量は同じである． $b T^{3}$ は高温の格子比熱 $3 R$ へは延長できない．