第17章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

分子質量 $m$ の二原子理想気体が断熱固定容器から真空へ流出します．孔は平均自由行程より十分小さく，逆流・孔内衝突・壁の熱容量は無視します．内部は平衡化が流出より速く，温度 $T$ のマクスウェル分布です．回転は古典的で並進と独立，振動は凍結しています．

流出分子の速さ分布と，回転を含む平均エネルギーを求めてください．
初め $N = N_{0}, T = 450 K$ です． $N = 32 N_{0} / 243$ での温度を求めてください．自由度は変わりません．

**［図：同じ時間に小孔へ届く領域の比較］**
同じ入射角 α で孔へ向かう速さ v₁ と v₂ の分子を比べる．時間 Δt に孔へ届く領域の壁に垂直な奥行きは v cos α Δt で，v₂>v₁ の方が長い．緑の輪郭は到達領域，青い矢印は分子の速度を示す．

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考え方 到達数で重みづけし，逃げたエネルギーを引く．

孔への到達数で重みづけすると，方向平均後は内部の分布の $v$ 倍になる． $a = m / (2 k_{B} T)$ と本章の積分 $I_{j}$ を使い，規格化すると $P (v) = 2 a^{2} v^{3} e^{- a v^{2}}$ （ $v \geq 0$ ）．並進の平均は $(m / 2) I_{5} / I_{3} = 2 k_{B} T$ ，回転の $k_{B} T$ を足して $3 k_{B} T$ である．
$d N < 0$ に対し $d U = 3 k_{B} T d N$ ， $U = 5 N k_{B} T / 2$ ．微分して $5 N d T = T d N$ ，積分して $T = 450 (N / N_{0})^{1 / 5} K$ ．よって $300 K$ である．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

半径 $L$ ，長さ $ℓ$ の円筒に，質量 $m_{1}, 2 m_{1}$ の理想気体が各 $N$ 個あります．共回転する大きな熱浴と弱く接し，角速度 $ω$ の回転系で温度 $T$ の熱平衡にあります．分子の出入りと重力はありません． $a_{i} = m_{i} ω^{2} / (2 k_{B} T)$ ， $a_{1} L^{2} = \ln 3$ として，軸上と外壁での数密度比 $n_{2} / n_{1}$ を求めてください．

**［図：回転円筒と半径 r の薄い殻］**
半径 L，長さ ℓ の円筒が軸のまわりに角速度 ω で剛体回転している．断面では軸からの距離 r と殻の厚さ dr を，側面では円筒の長さ ℓ を示す．橙の帯は同じ薄い殻に対応する．

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考え方 回転系のボルツマン因子を殻の体積で規格化する．

有効な位置エネルギーは $- m_{i} ω^{2} r^{2} / 2$ ，従って $n_{i} = C_{i} e^{a_{i} r^{2}}$ ．

N = 2 π ℓ C_{i} \int_{0}^{L} r e^{a_{i} r^{2}} d r = \frac{π ℓ C_{i}}{a_{i}} (e^{a_{i} L^{2}} - 1)

より，軸上の比は $C_{2} / C_{1} = 2 (3 - 1) / (9 - 1) = 1 / 2$ ．外壁では $e^{(a_{2} - a_{1}) L^{2}} = 3$ 倍されて $3 / 2$ である．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

大きな熱浴と弱く接して温度 $T$ で平衡にある振動子は，最低準位基準で $E_{j} = j ε$ （ $j = 0, 1, \dots$ ）， $ε = k_{B} θ$ で，各準位は1状態です．

分配関数，平均，分散を求め， $c = \frac{d ⟨ E ⟩}{d T}$ と分散の関係を示してください．
零点エネルギー $ε / 2$ を足す効果を答えてください．

**［図：等間隔の振動準位と占有確率］**
各準位は1状態で，エネルギーは 0，ε，2ε，3ε，… と等間隔に並ぶ．例として T=θ，ε=k_Bθ のボルツマン分布を描き，占有確率の棒は高い準位ほど指数的に短くなる．この例では熱的な高さ k_BT と準位間隔 ε が等しい．

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考え方 等比級数を微分し，定数を足す効果を分ける．

$β = 1 / (k_{B} T), x = e^{- β ε}$ とすると，等比級数より $Z = 1 / (1 - x)$ ．微分して $⟨ E ⟩ = - \partial \ln Z / \partial β = ε x / (1 - x)$ ， $σ_{E}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial β^{2}} \ln Z = ε^{2} x / (1 - x)^{2}$ ．温度微分で $c = σ_{E}^{2} / (k_{B} T^{2})$ ，つまり $σ_{E}^{2} = k_{B} T^{2} c$ である．
$Z$ は $e^{- ε / (2 k_{B} T)}$ 倍，平均は $ε / 2$ 増す．確率の共通因子は消え，分散・比熱は変わらない．回転準位は等間隔でない．

演習 4

東京大 2004 前期（改題） ★★★★☆

真空中の水平シリンダーのピストン（断面積A側 $S$ ，B側 $3 S$ ）を棒でつなぎ，棒を含む総質量を $M_{p}$ とします．右への変位 $x$ で気体の体積はAが $V_{0} + S x$ ，Bが $V_{0} - 3 S x$ です． $x = 0$ で静止し，圧力はAが $3 p_{0}$ ，Bが $p_{0}$ です．Bは単原子理想気体，Aは単原子割合 $y$ の単原子・二原子の理想混合気体です．回転は有効，振動は凍結し，反応・摩擦・漏れはありません．

断熱・可逆で体積仕事だけの微小振動をさせます．内部で平衡を保ち，比熱は一定です．Aの $C_{V}, γ_{A}$ と角振動数 $ω$ を求めてください．
$ω^{2} = 39 p_{0} S^{2} / (2 M_{p} V_{0})$ から $y$ を求め，各側を初温に保つ等温振動の角振動数も求めてください．

**［図：面積の異なる連結ピストンの断熱振動］**
面積Sのピストンをもつ気体Aと，面積3Sのピストンをもつ気体Bを軽い棒で連結する．Aは単原子と二原子の混合気体で，Bは単原子気体である．棒と2枚のピストンの総質量はM_pであり，平衡では両気体の体積がV₀，圧力がp_A=3p₀，p_B=p₀である．右への変位xによってV_A=V₀+Sx，V_B=V₀−3Sxとなる．

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考え方 自由度の平均と，断熱圧縮の復元力を使う．

$\bar{f} = 3 y + 5 (1 - y) = 5 - 2 y$ ， $C_{V} = \bar{f} R / 2$ ， $γ_{A} = 1 + 2 / \bar{f}$ ， $γ_{B} = 5 / 3$ である．可逆断熱より $d p / p = - γ d V / V$ ． $δ V_{A} = S x, δ V_{B} = - 3 S x$ を入れると，復元力は $F = S p_{A} - 3 S p_{B} = - (3 γ_{A} + 15) p_{0} S^{2} x / V_{0}$ ．従って $ω^{2} = (3 γ_{A} + 15) p_{0} S^{2} / (M_{p} V_{0})$ ．
$3 γ_{A} + 15 = 39 / 2$ より $γ_{A} = 3 / 2, \bar{f} = 4, y = 1 / 2$ ．等温なら両側で $d p / p = - d V / V$ より $ω_{iso}^{2} = 12 p_{0} S^{2} / (M_{p} V_{0})$ である．熱移動が振動より速いことが条件である．

演習 5

オリジナル ★★★★★

温度 $T$ の理想気体に，質量 $m, q m$ （ $q > 1$ ）の分子がそれぞれ $N_{1}, N_{2}$ 個あります．分子を無作為に選んで速さを測ります． $η = N_{2} / N_{1} > 0$ ， $s = m v^{2} / (2 k_{B} T)$ とします．

速さ分布 $P (v)$ と $v > 0$ の停留条件 $η = G (s)$ を求めてください．
ある $η$ で極大が2つになる $q$ の条件を求めてください．

**［図：二種類の混合気体の速さ測定装置］**
温度 T の容器に質量 m の分子が N₁ 個，質量 qm の分子が N₂ 個ある．容器内の同じ分子の位置を一定の時間間隔で記録し，移動距離から速さ v を測る装置の模式図である．

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考え方 状態数を含め，個数割合で分布を足す．

$a = m / (2 k_{B} T)$ とおき，マクスウェル分布を足すと

P (v) = \frac{4 a^{3 / 2}}{\sqrt{π}} \frac{v^{2}}{1 + η} [e^{- s} + η q^{3 / 2} e^{- q s}]

である．微分の符号は $(1 - s) e^{- s} + η q^{3 / 2} (1 - q s) e^{- q s}$ と同じで， $s \leq 1 / q$ では正， $s \geq 1$ では負．停留点は $1 / q < s < 1$ ， $G = e^{(q - 1) s} (1 - s) / [q^{3 / 2} (q s - 1)]$ となる．

$D = (1 - s) (q s - 1)$ とすると $\frac{d \ln G}{d s} = (q - 1) (1 - 1 / D)$ ． $D$ の最大値は $(q - 1)^{2} / (4 q)$ だから， $G$ が途中で増加する条件は $(q - 1)^{2} > 4 q$ ，つまり $q > 3 + 2 \sqrt{2}$ ． $G$ は減少・増加・減少し，両端で $\infty, 0$ に近づく． $η$ を極小値と極大値の間に選べば停留点は3個で， $P$ は極大・極小・極大をもつ．閾値以下は極大1個である．

演習 6

オリジナル ★★★★★

2次元絶縁体の原子 $N$ 個に，面内の線形音響モードを $2 N$ 個考えます．曲げ振動と電子は除き，準位間隔の密度は $D (ε) = A ε$ （ $0 < ε < ε_{D}$ ）です．熱的平均は $u = ε / (e^{ε / (k_{B} T)} - 1)$ です．

$A$ と， $ε_{D} ≫ k_{B} T$ での定積熱容量を求めてください．最小の間隔は $k_{B} T$ より十分小さく，定数 $J = \int_{0}^{\infty} x^{2} / (e^{x} - 1) d x$ を使えます．
高温の熱容量と，同一間隔 $ε_{D}$ の振動子 $2 N$ 個の模型の低温比熱を比べてください．

**［図：薄膜の線形音響モードと単一エネルギーの模型］**
左は面内の線形音響モードだけをもつ2次元薄膜であり，状態密度D(ε)=Aεが0からε_Dまで続く．k_BT付近までの低エネルギー側を青く示し，低温の熱容量CがT²に比例することを記す．右は全2Nモードを同じε_Dに集めた比較模型であり，低温の励起が指数的に減少する．

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考え方 モードのエネルギーを状態密度で重みづけする．

$\int_{0}^{ε_{D}} A ε d ε = 2 N$ より $A = 4 N / ε_{D}^{2}$ ． $U_{th} = \int_{0}^{ε_{D}} D (ε) u d ε$ に $x = ε / (k_{B} T)$ を入れ，上限を無限大に延ばすと

U_{th} = A J (k_{B} T)^{3}, C = 12 N k_{B} J {(\frac{k_{B} T}{ε_{D}})}^{2}

となり， $C \propto T^{2}$ である．

高温の等分配則で $u \approx k_{B} T$ より $C \to 2 N k_{B}$ ．同一間隔なら $b = ε_{D} / (k_{B} T)$ として低温では $C \approx 2 N k_{B} b^{2} e^{- b}$ ．音響模型は小さな間隔が残り，べき乗で下がる．