第16章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

理想気体 $ν$ mol が，A→Bで可逆断熱圧縮，B→Cで定圧加熱，C→Dで可逆断熱膨張，D→Aで定圧冷却します．モル比熱は一定で $γ = C_{p} / C_{V}$ ，圧力比は $r$ ，A，Cの温度は $T_{1}, T_{3}$ とします． $x = r^{(γ - 1) / γ}$ ， $1 < x < T_{3} / T_{1}$ です．

B，Dの温度と効率を求めてください．
$T_{1}, T_{3}$ を固定し，仕事を最大にする $x$ と最大仕事を求めてください．

**［図：ブレイトンサイクルの熱と仕事］**
低圧のAから断熱圧縮で高圧のBへ進み，BからCへ定圧で熱Q_Hを受け取る．CからDへ断熱膨張し，DからAへ定圧で熱Q_Lを放出する．2本の断熱線はpVのγ乗が一定となる曲線であり，時計回りに囲む面積が1周の正味の仕事である．

解答を見る

考え方 断熱の温度比を使う．

$T / p^{(γ - 1) / γ}$ 一定より $T_{B} = x T_{1}$ ， $T_{D} = T_{3} / x$ ． $Q_{H} = ν C_{p} (T_{3} - x T_{1})$ ， $Q_{L} = Q_{H} / x$ なので $η = 1 - 1 / x$ ．
$W = ν C_{p} (T_{1} + T_{3} - T_{1} x - T_{3} / x)$ ． $T_{1} x + T_{3} / x$ は相加相乗平均より $x = \sqrt{T_{3} / T_{1}}$ で最小なので， $W_{max} = ν C_{p} (\sqrt{T_{3}} - \sqrt{T_{1}})^{2}$ ．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

3固体（一定熱容量 $C, 2 C, C$ ，初温 $T_{0}, 2 T_{0}, 8 T_{0}$ ）を外と断熱し，循環機関で共通温度 $T_{f}$ まで仕事を取り出します．体積変化は無視します． $T_{f}$ の下限，最大仕事と操作を求め，直接接触と比べてください．

**［図：3固体から取り出す仕事］**
断熱外壁内に，熱容量Cで初温T₀の固体，熱容量2Cで初温2T₀の固体，熱容量Cで初温8T₀の固体を置く．高温と低温の固体を循環機関でつなぎ，外へ仕事Wを取り出す．機関は元の状態に戻り，3固体を共通温度T_fへ近づける．

解答を見る

考え方 第二法則とエネルギー保存を使う．

各固体の $C_{i} \ln (T_{f} / T_{i})$ を足すと $Δ S = 4 C \ln [T_{f} / (32^{1 / 4} T_{0})] \geq 0$ ．よって $T_{f} \geq 32^{1 / 4} T_{0}$ ． $W = 13 C T_{0} - 4 C T_{f}$ より $W_{max} = (13 - 4 \times 32^{1 / 4}) C T_{0}$ ．

$T_{0}, 8 T_{0}$ の固体間で可逆機関を回すと温度の積が保たれる．低温側が $2 T_{0}$ ，高温側が $4 T_{0}$ になったら，同温の2固体を熱容量 $3 C$ とまとめ，残る固体との間で可逆に仕事を得る．全エントロピー一定で上限となる．直接接触なら仕事は0， $T_{f} = 13 T_{0} / 4$ で，エントロピーが増える．

演習 3

東京大 2006 後期（改題） ★★★★☆

移送板が容積 $D$ の室を低温部 $y D$ と高温部 $(1 - y) D$ に分けます．板の隙間を気体が通れ，圧力は等しいとします．低温部は容積 $V$ の動力室につながります．理想気体 $ν$ mol を封入し，低温側は $T_{0}$ ，高温側は $3 T_{0}$ に保ちます．摩擦・気体の慣性・配管の体積は無視します．カムで $(y, V) = (0, D) \to (0, 2 D) \to (1, 2 D) \to (1, D) \to (0, D)$ をゆっくりたどります．

圧力を求め， $p$ - $V$ 図を描いてください．
移送板と機関1周の仕事を求め，可逆か判定してください．

**［図：移送板を持つ機関の装置とサイクル］**
体積 D の移送室を移送板で低温部 yD と高温部 (1−y)D に分け，低温部を別の動力室 V につなぐ．温度は低温側が T₀，高温側が 3T₀ で，気体は移送板の隙間を通れる．右の p–V 図は V=D から 2D まで y=0 の上側で膨張し，y=1 の下側で圧縮する循環を示す．定積の移送過程は2本の鉛直線で表す．体積軸の斜線は，原点付近の区間を省略したことを示す．

解答を見る

考え方 各室の物質量を足す．

$ν = p (V + y D) / (R T_{0}) + p (1 - y) D / (3 R T_{0})$ なので $p = ν R T_{0} / [V + D (1 + 2 y) / 3]$ ．膨張は $y = 0$ の上側，圧縮は $y = 1$ の下側で，途中を $V = D, 2 D$ の鉛直線で結ぶ．
移送板の両面は等面積・等圧力で，正味の仕事は0．動力室では

W = ν R T_{0} \ln \frac{7}{4} - ν R T_{0} \ln \frac{3}{2} = ν R T_{0} \ln \frac{7}{6} > 0.

移る気体が異温度の熱源に接するため，準静的でも不可逆である．

演習 4

オリジナル ★★★★☆

圧力 $p = p_{0} - α T - β V$ ，定積熱容量 $C$ の物質で可逆カルノーサイクルを作ります． $α, β, C > 0$ は一定で，経路上の体積・圧力は正とします．

$d F = - S d T - p d V$ の混合偏微分から $d S$ を求めてください．
$T_{H}$ で体積を $d > 0$ だけ減らし，断熱で $T_{L} < T_{H}$ に下げます．低温等温過程の体積変化，熱の向き，1周の仕事と効率を求めてください．

**［図：低温線が上にある可逆カルノーサイクル］**
圧力 p=p₀−αT−βV の物質では，低温 T_L の等温線が高温 T_H の等温線より上にある．高温側は体積を d だけ減らして熱 Q_H を吸収し，断熱冷却でも圧縮する．低温側では d だけ膨張して熱 Q_L を放出し，断熱加熱で出発点へ戻る．矢印は正の仕事を取り出す循環の向きを示す．体積軸の斜線は，原点付近の区間を省略したことを示す．

解答を見る

考え方 $T d S$ から熱の向きを決める．

$(\frac{\partial S}{\partial V})_{T} = (\frac{\partial p}{\partial T})_{V} = - α$ ， $(\frac{\partial S}{\partial T})_{V} = C / T$ より $d S = C d T / T - α d V$ ．断熱では体積変化が $(C / α) \ln (T_{2} / T_{1})$ で，冷却すると圧縮する．2本の断熱の体積変化は相殺し，低温等温過程では $d$ だけ膨張する．
等温では $δ Q = - α T d V$ ．高温側の圧縮で $Q_{H} = α T_{H} d$ を吸収，低温側の膨張で $Q_{L} = α T_{L} d$ を放出する．よって $W = α (T_{H} - T_{L}) d > 0$ ， $η = 1 - T_{L} / T_{H}$ ．

演習 5

オリジナル ★★★★★

外部熱源 $T_{H}, T_{L}$ の間の内部可逆な循環機関が， $T_{h}$ で吸熱， $T_{c}$ で放熱します． $T_{H} > T_{h} > T_{c} > T_{L} > 0$ とします．定常で，熱流率は $q_{H} = K_{th} (T_{H} - T_{h})$ ， $q_{L} = K_{th} (T_{c} - T_{L})$ ，熱コンダクタンス $K_{th} > 0$ とし， $q_{H} / T_{h} = q_{L} / T_{c}$ です．

$x = T_{c} / T_{h}$ で出力 $P = q_{H} - q_{L}$ を表し，最大出力と最適温度を求めてください．
最適時の効率とカルノー効率を比べ，全体のエントロピー生成率を求めてください．

**［図：有限の伝熱温度差と機関の出力］**
外部の高温熱源T_Hから伝熱部を通して吸熱温度T_hの機関へ熱流率q_H＝κ(T_H−T_h)で熱が入る．放熱温度T_cの機関から伝熱部を通して外部の低温熱源T_Lへ熱流率q_L＝κ(T_c−T_L)で熱が出る．温度はT_H＞T_h＞T_c＞T_Lであり，内部が可逆な機関の出力はP＝q_H−q_Lである．

解答を見る

考え方 内部の可逆性と伝熱の不可逆性を分ける．

$q_{L} = x q_{H}$ より $x T_{h} - T_{L} = x (T_{H} - T_{h})$ ．よって $T_{h} = (T_{H} + T_{L} / x) / 2$ ， $T_{c} = (x T_{H} + T_{L}) / 2$ で，許される範囲は $T_{L} / T_{H} < x < 1$ ．

P = \frac{K_{th}}{2} (T_{H} + T_{L} - T_{H} x - \frac{T_{L}}{x})

となる． $\frac{d P}{d x} = K_{th} (- T_{H} + T_{L} / x^{2}) / 2$ が0になる $x_{*} = \sqrt{T_{L} / T_{H}}$ で最大であり，

P_{max} = \frac{K_{th}}{2} {(\sqrt{T_{H}} - \sqrt{T_{L}})}^{2}, T_{h}^{*} = \frac{T_{H} + \sqrt{T_{H} T_{L}}}{2}, T_{c}^{*} = \frac{T_{L} + \sqrt{T_{H} T_{L}}}{2}

である．

$η_{*} = 1 - x_{*} = 1 - \sqrt{T_{L} / T_{H}} < 1 - T_{L} / T_{H}$ ．循環機関のエントロピーは不変で，全体の生成率は $σ = q_{L} / T_{L} - q_{H} / T_{H} = q_{H} (x / T_{L} - 1 / T_{H}) > 0$ ．最適時は $σ_{*} = P_{max} / \sqrt{T_{H} T_{L}}$ である．有限温度差の伝熱で生成される．

演習 6

IPhO 2014 第2問（改題） ★★★★★

仮想物質の均一相が $p = R T / (v - b) - a / v^{2}$ （モル体積 $v > b$ ， $a, b > 0$ ）に従います．臨界点では等温線の1階・2階微分が0です．モル自由エネルギーを $f$ とします．温度一定で $\frac{d f}{d v} = - p$ ，外圧 $p_{e}$ での平衡は $g = f + p_{e} v$ の大域的最小とします．

臨界点 $v_{c}, T_{c}, p_{c}$ を求めてください．
$T_{*} = 5 a / (18 R b)$ ， $p_{e} = a / (36 b^{2})$ のとき， $g$ の停留点と局所的な安定性を調べ， $v = 2 b, 6 b$ が共存するか判定してください． $\ln 5 \approx 1.609$ を使えます．

**［図：外圧との交点と等しくない2つの面積］**
温度T＊＝5a/(18Rb)の等温線p＝RT＊/(v−b)−a/v²と，外圧p_e＝a/(36b²)の水平線を描く．正確な交点はv＝2b，3b，6bである．2bから3bでは等温線が外圧より下にあり，3bから6bでは上にある．上側の面積は下側より大きく，2つの面積は等しくない．曲線のうねりが見えるように縦軸を拡大している．

解答を見る

考え方 共存には圧力と $g$ の値の一致が必要である．

微分条件は $R T_{c} / (v_{c} - b)^{2} = 2 a / v_{c}^{3}$ ， $2 R T_{c} / (v_{c} - b)^{3} = 6 a / v_{c}^{4}$ ．比をとって $v_{c} = 3 b$ ，代入して $T_{c} = 8 a / (27 R b)$ ， $p_{c} = a / (27 b^{2})$ ． $T_{*} = 15 T_{c} / 16$ である．
$\frac{d g}{d v} = p_{e} - p$ ． $y = v / b$ とおくと停留条件は $y^{3} - 11 y^{2} + 36 y - 36 = (y - 2) (y - 3) (y - 6) = 0$ ．各点の $b^{3} \frac{d^{2} g}{d v^{2}} / a$ は順に $1 / 36, - 1 / 216, 1 / 540$ なので，2bと6bは局所的に安定，3bは不安定である．しかし

g (6 b) - g (2 b) = - \int_{2 b}^{6 b} (p - p_{e}) d v = \frac{a}{18 b} (8 - 5 \ln 5) < 0

である． $v \to b$ の右側と $v \to \infty$ で $g \to \infty$ となるので，大域的最小は6bだけで，共存しない．2bは局所的な極小にとどまる．真の共存には $p (v_{L}) = p (v_{G}) = p_{e}$ に加え， $\int_{v_{L}}^{v_{G}} (p - p_{e}) d v = 0$ が必要である．
本文の等面積条件の具体例である．