第18章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

原点の粒子が，右へ確率 $3 / 5$ ，左へ確率 $2 / 5$ で長さ $l$ だけ進みます．各歩は独立， $N$ 歩後の位置は $x$ です．

**［図：2粒子の相対位置と中点］**
直線上のA，Bから符号付きの相対位置rと中点Xを定める．下段の4通りは各確率1/4で，同方向の歩ではrが変わらず，逆方向の歩ではXが変わらない．

1歩の変位 $s$ の平均と分散から，位置の平均と分散を求めてください．
$⟨ x^{2} ⟩ = N l^{2}$ は使えますか．正しい2乗平均を求め，左右が等確率の場合と比べてください．

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考え方 独立な歩では分散が足される．2乗平均には平均位置の2乗も入る．

$⟨ s ⟩ = l / 5$ ， $⟨ s^{2} ⟩ = l^{2}$ より分散は $24 l^{2} / 25$ ．独立性より $⟨ x ⟩ = N l / 5$ ，位置の分散は $24 N l^{2} / 25$ である．
1歩の平均が0ではないので使えない．正しくは $⟨ x^{2} ⟩ = (N^{2} + 24 N) l^{2} / 25$ である．等確率なら1歩の平均は0，分散は $l^{2}$ で，独立性と合わせて $⟨ x^{2} ⟩ = N l^{2}$ となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

断面積 $A$ の十分長い管の静かな水に，原点で粒子を $N_{0}$ 個放します．実測した一定の拡散係数 $D$ と，数密度 $c$ に対して，長時間の解を

c (x, t) = \frac{N_{0}}{A \sqrt{4 π D t}} \exp (- \frac{x^{2}}{4 D t})

とします． $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = \sqrt{π}$ を使えます．以下で求める時刻も $τ_{v} = m μ_{m}$ より十分長いとします．

**［図：発熱する平板の温度と熱流束］**
両面をT₀に保つ平板では，中央の温度がT₀＋Θとなる放物線状の温度分布が測定される．熱は中央から両面へ流れ，右半分の薄い層では流出の熱流束q(z＋dz)が流入q(z)より大きい．

総粒子数の保存を確かめ，分母に $A$ が必要な理由を述べてください．
原点から距離 $L > 0$ の点で，濃度が最大となる時刻を求めてください．

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考え方 粒子数は数密度を体積で積分する．最大濃度の時刻は時間微分で決める．

$u = x / \sqrt{4 D t}$ とおけば $A \int_{- \infty}^{\infty} c d x = N_{0}$ で，総数は一定である． $c$ の単位は $m^{- 3}$ ． $A$ を落とすと数密度でなく線密度になる．
$\ln c (L, t)$ の時間微分は $- 1 / (2 t) + L^{2} / (4 D t^{2})$ ．これが0となる $t = L^{2} / (2 D)$ が答えで，その前では増加，後では減少する．液体の $D$ は気体の自由行程から求めない．

演習 3

東京大 2001 後期（改題） ★★☆☆☆

平行な壁の隙間 $d$ に，同種の硬球分子からなる気体を入れます．数密度 $n$ ，衝突断面積 $σ$ ，平均の速さ $\bar{v}$ ，1分子の熱容量 $c_{1}$ を使い， $λ = 1 / (\sqrt{2} n σ)$ ， $κ \approx n \bar{v} λ c_{1} / 3$ と見積もります．温度と壁の温度差は保ち，対流はありません．

**［図：撮影位置の誤差を共有する2つの変位］**
白抜きの丸は真の位置x，塗った丸は記録位置yを表し，赤い矢印が位置誤差eを示す．中央の記録位置を右へ読み違えた例では，前の記録変位Yⱼが増え，次の記録変位Yⱼ₊₁が減る．

$κ$ を $n$ を含まない形にし，圧力を半分にしたときの変化を説明してください．
圧力 $p_{0}$ で自由行程が $λ_{0}$ なら， $Kn \sim 1$ となる圧力を求めてください．さらに圧力を下げたとき，どの領域で熱流が圧力に比例しますか．

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考え方 運び手の数と運ぶ距離の積を調べ，壁による距離の制限を考える．

$κ \approx \bar{v} c_{1} / (3 \sqrt{2} σ)$ である．温度一定なら，数密度が半分になる効果と自由行程が2倍になる効果が打ち消し合う．ただし $1 ≫ λ / d$ が必要である．
$n \propto p$ だから $λ = λ_{0} p_{0} / p$ ．遷移の圧力は $p \sim p_{0} λ_{0} / d$ である． $Kn \sim 1$ は遷移で，圧力比例は $Kn ≫ 1$ の自由分子領域で成り立つ．運ぶ距離が隙間で制限されるためである．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

面積 $S_{c} = 1.0 \times 10^{- 3} m^{2}$ の集光装置に，太陽光が垂直に当たります．太陽定数は $S_{0} = 1.2 \times 10^{3} W m^{- 2}$ で，光の80 %が表面積 $S = 1.0 \times 10^{- 5} m^{2}$ の黒体の球に吸収されます．球は温度 $T_{e} = 300 K$ の大きな等温の壁に囲まれた真空中にあり，温度は一様，支持部は断熱です． $σ_{SB} = 5.67 \times 10^{- 8} W m^{- 2} K^{- 4}$ とします．

**［図：2槽の濃度差と細管の直線分布］**
体積Vの槽1は初期濃度4c₀，体積3Vの槽2は初期濃度c₀で，流束Jは槽1から槽2へ向かう．長さL，断面積Sの管では，各瞬間の両端濃度c₁(t)，c₂(t)を直線で結ぶ近似を用いる．

平衡温度 $T$ を求めてください．
装置の半分を覆ったときの温度 $T^{'}$ を $T$ で表してください．温度も半分になりますか．

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考え方 吸収する光と，環境から戻る分を差し引いた放射をつり合わせる．

$0.80 S_{0} S_{c} = σ_{SB} S (T^{4} - T_{e}^{4})$ だから， $T = [T_{e}^{4} + 0.80 S_{0} S_{c} / (σ_{SB} S)]^{1 / 4} \approx 1.1 \times 10^{3} K$ である．
$T^{' 4} - T_{e}^{4} = (T^{4} - T_{e}^{4}) / 2$ より， $T^{'} = [(T^{4} + T_{e}^{4}) / 2]^{1 / 4}$ ．ここでは環境の項が小さく， $T^{'} / T \approx 2^{- 1 / 4} \approx 0.84$ で，半分にはならない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

面積 $S$ の固定下板と，右向きに速さ $U$ で動く上板の間に，混ざらない液体を厚さ $d$ ずつ重ねます．下層の粘性率は $η$ ，上層は $2 η$ です．下板から上板へ $+ z$ ，右へ $+ x$ とします．定常層流で，圧力勾配はなく，板と界面で滑りません．温度は一定で，界面に外力はありません．

**［図：2層の液体の界面速度と粘性力］**
粘性率ηの下層と3ηの上層を厚さdずつ重ね，上板を速度Uで動かす．界面速度uᵢは連続で，薄い液体層の上面には右向き，下面には左向きに同じ大きさの粘性力が働く．

界面の速さ $u_{i}$ と，上板を引く力の大きさ $F$ を求めてください．
$x$ 方向の運動量の $+ z$ 向きの流束を求め，各層で熱になる仕事率も求めてください．

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考え方 せん断力をつり合わせ，各層の速度差を掛けて発熱を求める．

勾配は一定で，界面で $η u_{i} / d = 2 η (U - u_{i}) / d$ ．従って $u_{i} = 2 U / 3$ ， $F = 2 η S U / (3 d)$ ．液体は上板を左へ引く．
法線を $+ z$ にとった運動量流束は $- η \partial u / \partial z = - F / S$ で，上層でも $- 2 η \partial u / \partial z = - F / S$ ．負号は，正の $x$ 運動量が下向きに運ばれることを表す．上層から下層への力は右向き，下層から上層への力は左向きである．下層の発熱は $F u_{i} = 2 F U / 3$ ，上層は $F (U - u_{i}) = F U / 3$ で，合計 $F U$ は外力の仕事率に一致する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

熱容量 $C$ ，表面積 $S$ ，放射率 $ε$ の小物体は内部の温度が一様です．熱抵抗 $R$ の支持部で台につながり，台，空気，壁の温度は $T_{e}$ です．対流の係数は $h$ ，初期温度差 $θ_{0}$ は $T_{e}$ より十分小さく，係数は一定とします．

**［図：分子が運ぶ粒子数・運動量・エネルギー］**
同じ気体を使う3つの装置で，標識粒子の個数，接線方向の運動量，エネルギーを測る．いずれも輸送方向の幅はdで，分子は平均自由行程λの間にそれぞれの量を運ぶ．中央の横向き矢印は流速，下向き矢印は運動量の輸送を表す．

$h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{e}^{3}$ を使い，温度差 $θ (t) = T (t) - T_{e}$ と冷却の時定数を求めてください．
$1 / R = 0.020 W K^{- 1}$ ， $h S = 0.030 W K^{- 1}$ ， $h_{r} S = 0.050 W K^{- 1}$ です．空気を除く場合と，放射率を10分の1にする場合で，時定数はそれぞれ何倍になりますか．

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考え方 3経路の熱流を足し，物体の内部エネルギーの減少に等しくする．

正味の熱流は $P = [1 / R + (h + h_{r}) S] θ$ である． $C d θ / d t = - P$ より $θ (t) = θ_{0} e^{- t / τ}$ ， $τ = C / [1 / R + (h + h_{r}) S]$ となる．
係数の和は $0.100 W K^{- 1}$ ．気体の輸送を無視できる真空なら0.070となり，時定数は $10 / 7$ 倍．放射率だけを下げれば0.055で， $20 / 11$ 倍である．ここでは放射を抑えるほうが効く．