熱放射の演習 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

面積 $S = 0.10 m^{2}$ ，温度 $T = 400 K$ の黒体面を， $T_{e} = 200 K$ の大きな等温環境に置きます．出ていく放射と正味の熱流 $P$ を求めなさい．面の温度だけを2倍にすると，それぞれ何倍ですか．

**［図：温度を2倍にしたときの放射と正味の熱流］**
面積 S=0.10 m²の黒体面を，温度 T_e=200 Kの環境で400 Kから800 Kへ加熱する．出ていく赤い放射は約145 Wから2322 Wへ16倍となるが，青い吸収は両方とも約9.07 Wで矢印の太さも変わらない．吸収量を1とすると放射は16から256へ，正味は15から255へ変わるので，正味の熱流は約136 Wから2313 Wへ17倍となる．赤い矢印の太さは2つの放射の量の比を示し，青との太さの比は模式的である．

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考え方 $T^{4}$ に比例する放射から，環境からの吸収を引く．

出ていく量は $σ_{SB} S T^{4} \approx 145 W$ ．環境から約 $9.1 W$ を受け取り，正味は $P \approx 136 W$ である．出ていく量は $2^{4} = 16$ 倍だが，正味の倍率は

\frac{800^{4} - 200^{4}}{400^{4} - 200^{4}} = \frac{255}{15} = 17

である．環境からの吸収は増えず，正味の倍率は16を超える．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

同じ面積の2枚の板を $T = 350 K$ とし， $T_{e} = 400 K$ の大きな等温環境へ置きます．不透明な灰色体で，放射率 $ε$ は磨いた板で $0.08$ ，黒い板で $0.80$ です．放射だけで熱を交換するとして，直後の正味の熱流の向きと大きさの比を求めなさい．磨いた板が放射しにくい理由と，平衡温度も答えなさい．

［図：磨いた板と黒い板の吸収・反射・放射］

T=350 Kの不透明な灰色体の2枚の板へ，T_e=400 Kの同じ環境から同じ量の放射が当たる．磨いた板 ε=0.08 は8 %を吸収し92 %を反射し，黒い板 ε=0.80 は80 %を吸収し20 %を反射する．板自身の赤い放射にも ε が掛かるため，黒い板は吸収も放射も磨いた板の10倍である．環境の方が高温なので，青い正味の矢印は両方とも板へ向かい，正味の受熱は黒い板が10倍となる．平衡温度はどちらも400 Kである．矢印の太さは量の大小を模式的に表す．

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考え方 キルヒホッフの法則により，吸収にも放射と同じ $ε$ が付く．

$P = ε σ_{SB} S (T^{4} - T_{e}^{4}) < 0$ なので，正味では両方とも熱を受け取る．黒い板対磨いた板の比は $0.80 / 0.08 = 10$ である．不透明でよく反射する板は吸収率も放射率も小さい． $ε > 0$ なら $P = 0$ は $T = T_{e} = 400 K$ であり，平衡温度は同じである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

黒体で近似できる電球のフィラメントで，電圧を上げると波長あたりの放射のピークが $1.45 μ m$ から $1.16 μ m$ へ移りました．変更前後の温度を，ウィーンの変位則 $λ_{max} T = 2.90 \times 10^{- 3} m K$ から求めなさい．可視光の範囲を $0.40 \sim 0.70 μ m$ として，赤外にピークがあっても光って見える理由と，温度上昇で可視光の割合がどう変わるかを説明しなさい．

**［図：面積をそろえたフィラメントの放射スペクトル］**
プランクの式による2000 Kと2500 Kの波長スペクトルを，それぞれの全波長積分が1となるように規格化して示す．ピークは約1.45 μmから1.16 μmへ短波長側に移る．橙の縦帯は可視光0.40〜0.70 μmであり，赤外にピークがあっても短波長側のすそは可視域に入る．2500 Kでは全放射に占める可視光の割合が増す．横軸は線形目盛で，長波長側のすそは表示範囲の外にも続く．

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考え方 ピークは放射の最大位置で，分布はその両側に広がる．

波長をメートルに直して変位則へ代入すると，変更前は $2000 K$ ，変更後は $2500 K$ である．分布の短波長側のすそに可視光があるので光って見える．この温度範囲では分布が短波長側へ移ると可視光の割合も増すが，ピークの位置だけから割合の数値は決められない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

面積 $S = 1.0 m^{2}$ ，厚さ $L = 0.020 m$ ，熱伝導率 $κ = 0.040 W m^{- 1} K^{- 1}$ の断熱板の内面を $305 K$ に保ちます．外面は壁と空気が $T_{e} = 300 K$ の大きな室内に向き，側面は断熱します．外面の $ε = 0.90$ ，自然対流の係数は $h = 4.0 W m^{- 2} K^{- 1}$ です．放射を線形化し，定常の熱流，外面で多く熱を運ぶ機構，全体の律速を求めなさい． $ε$ だけを $0.10$ にする案と，厚さだけを2倍にする案も熱流で比較しなさい．

**［図：板の伝導と並列な対流・放射の熱回路］**
内面305 Kの板を熱が伝導で通った後，外面から対流と放射の並列経路で300 Kの環境へ流れる．定常熱流は約8.3 W，外面は約300.87 Kである．板の直列抵抗 R=L/(κS)=0.50 K W⁻¹に，対流1/(hS)=0.250 K W⁻¹と放射1/(h_r S)≈0.181 K W⁻¹の並列回路が続く．表面の合成抵抗は約0.105 K W⁻¹である．下の同じ尺度の棒は板の抵抗が表面の約4.8倍で，板内の伝導が律速となることを示す．

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考え方 板内の伝導と外面での受け渡しは直列，外面の対流と放射は並列である．

$h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{e}^{3} \approx 5.5 W m^{- 2} K^{- 1}$ ．板と外面の熱抵抗は，それぞれ $R = L / (κ S) = 0.50$ ， $1 / [(h + h_{r}) S] \approx 0.105$ （単位は $K W^{- 1}$ ）なので，

P = \frac{305 - 300}{0.50 + 0.105} \approx 8.3 W

となる．外面では放射が対流より多いが，律速は抵抗の大きい板内の伝導である．外面の温度差は約 $0.87 K$ と小さく，線形化は適切である．

磨く案では $h_{r}$ が $1 / 9$ となり， $P \approx 5 / [0.50 + 1 / (4.0 + 5.5 / 9)] = 7.0 W$ ．厚さ2倍では板の抵抗が2倍で， $P \approx 5 / (1.0 + 0.105) = 4.5 W$ ．厚さを増すほうが効果が大きい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

衛星の内部発熱 $160 W$ を，片面の面積が $S$ の一様温度の板へすべて送ります．両面から宇宙へ放射し，宇宙からの放射は無視します．板は全波長で $ε = 0.80$ の不透明な灰色体です．影に置いて $T \leq 300 K$ に保つための最小の $S$ を求めなさい．片面が $S_{0} = 1.0 \times 10^{3} W m^{- 2}$ の太陽光に垂直となるとき，面積の増加で温度上限を守れますか．吸収率と放射率が波長で変わる表面は扱いません．

**［図：影と日照で異なる放熱板の収支］**
片面の面積 S の板に内部発熱160 Wが入り，放射率 ε=0.80 の両面，合計面積2Sから宇宙へ放射する．影では160=2εσ_SB S T⁴でつり合う．日照では片面Sだけが太陽光 S₀=1.0×10³ W m⁻²を受け，εSS₀が吸収に加わる．面積を増やすと両面の放射も片面の日射の吸収も同じ割合で増え，内部発熱は160 Wのままである．300 Kでは日射の吸収800S Wが両面放射約735S Wを上回り，面積を増やしても300 K以下にできない．宇宙からの放射は無視する．

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考え方 放熱面積は $2 S$ ，受光面積は $S$ ．太陽光の吸収率も $ε$ である．

影では $160 = 2 ε σ_{SB} S T^{4}$ ．上限温度での最小面積は $S = 160 / (2 ε σ_{SB} 300^{4}) \approx 0.22 m^{2}$ である．

日照時のつり合いは

160 = ε S (2 σ_{SB} T^{4} - S_{0})

となる． $T \leq 300 K$ では $S_{0} > 2 σ_{SB} T^{4}$ で右辺は負となり，実現できない．面積を増すと日射の吸収も増え，放熱には $T > [S_{0} / (2 σ_{SB})]^{1 / 4} \approx 306 K$ が必要で，面積だけではこの温度下限を下げられない．