ゆらぎと拡散（発展）

熱放射の数学：4乗則を線形にする

著者：柚木芹香

放射の式は温度の4乗で，前の節までの「温度差に比例する」形とは見た目が違います．温度差が小さいときに線形な形へ直しておけば，伝導・対流・放射を同じ土俵で比べられます．

定理数学の道具：4乗則の線形化と放射の熱伝達係数

物体の温度を $T = T_{e} + Δ T$ と書き， $T_{e} ≫ | Δ T |$ とする． $1 ≫ x$ で $(1 + x)^{4} \approx 1 + 4 x$ だから

T^{4} - T_{e}^{4} = T_{e}^{4} [{(1 + \frac{Δ T}{T_{e}})}^{4} - 1] \approx 4 T_{e}^{3} Δ T

となり，正味の放射は温度差に比例する形

P \approx h_{r} S Δ T, h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{e}^{3}

に書ける． $h_{r}$ を放射の熱伝達係数という．表面から環境へ流体が運ぶ熱も，ふつう

P = h S (T - T_{e})

の形に書く（ニュートンの冷却の法則． $h$ は実験で決める係数で，静かな空気の自然対流では $5 \sim 10 W m^{- 2} K^{- 1}$ 程度）．どちらも温度差に比例するので， $h$ と $h_{r}$ を足して1つの表面の係数として扱える．

室温 $T_{e} = 293 K$ ， $ε = 1$ では $h_{r} \approx 5.7 W m^{- 2} K^{- 1}$ で，自然対流と同じ桁です．室温付近の冷え方でも，放射は対流と同じくらい効きます．

練習． (1) $500 K$ の環境では $h_{r}$ は室温の何倍か．(2) $Δ T$ が $T_{e}$ の 10 % のとき，線形化した値は正しい値の何倍か．

答え：(1) $h_{r} \propto T_{e}^{3}$ なので $(500 / 293)^{3} \approx 5.0$ 倍（約 $28 W m^{- 2} K^{- 1}$ ）．　(2) 正しい値は $(1.1)^{4} - 1 = 0.4641$ に比例し，線形化は $4 \times 0.1 = 0.4$ なので $0.4 / 0.4641 \approx 0.86$ ．14 % 小さく見積もる．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

太陽光に垂直な面が地球の軌道で受ける放射は，単位面積あたり $S_{0} = 1.37 \times 10^{3} W m^{- 2}$ である（太陽定数）．半径 $R$ の球形の惑星が，当たった放射のうち割合 $A$ （アルベド）を反射して残りを吸収する．表面は赤外線に対して黒体（ $ε = 1$ ）とし，大気は考えない．

**［図：惑星の受光面積と放射面積］**
半径 R の惑星に平行な太陽光が当たる．光に垂直な影の円板の面積は πR²であり，入射 S₀πR²のうち割合 A は反射され，残りの S₀(1−A)πR² が吸収される．自転が速く全球が同じ温度 T になる場合，赤い矢印で示す放射は表面積4πR²の全球から出て，σ_SB T⁴·4πR²となる．放射面積は受光面積の4倍である．

自転が速くて全球が同じ温度 $T$ になるとして，吸収と放射のつり合いから $T$ を求めなさい． $A = 0.30$ での数値と， $A = 0$ での数値も出しなさい．
逆に自転がとても遅く，太陽に正対する点の近くだけがその場でつり合うとする．その点の温度を $A = 0.12$ （月）で求めなさい．
地球の地表の平均気温は約 $288 K$ で，(1)の値より高い．何が足りないか述べなさい．

解答を見る

考え方 受け取る面積と放射する面積が違うことが山である．平行光線を受け取るのは影の面積 $π R^{2}$ ，放射するのは全表面 $4 π R^{2}$ で，4倍の差がある．

吸収は $S_{0} (1 - A) π R^{2}$ ，放射は $σ_{SB} T^{4} \cdot 4 π R^{2}$ で，等しいとおくと

T = {[\frac{S_{0} (1 - A)}{4 σ_{SB}}]}^{1 / 4}

である． $R$ が消えるので惑星の大きさに依らない． $A = 0.30$ では $T \approx 2.55 \times 10^{2} K$ （ $- 18^{\circ} C$ ）， $A = 0$ では $T \approx 2.79 \times 10^{2} K$ で，反射をやめても $24 K$ しか上がらない． $T \propto (1 - A)^{1 / 4}$ と効きが鈍いからである．

その点では受け取る面積と放射する面積が同じなので $S_{0} (1 - A) = σ_{SB} T^{4}$ ，すなわち $T \approx 3.8 \times 10^{2} K$ ．(1)の $4$ が無いので $4^{1 / 4} = 1.41$ 倍高い．月の昼が $390 K$ 近く，夜が $100 K$ 台になるのは，熱を全球へ配る手段がないからである．
大気である．大気は可視光をほとんど通すのに，地表が出す赤外線は吸収して一部を地表へ返す．地表のつり合いにはその分が加わるので，地表は(1)より高温になる．(1)の $255 K$ は，惑星が宇宙へ出す放射の温度にあたる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

半径 $r = 2.0 cm$ のアルミの球（ $ρ = 2.7 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ， $c = 9.0 \times 10^{2} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ ， $κ = 2.4 \times 10^{2} W m^{- 1} K^{- 1}$ ）を， $T_{e} = 293 K$ の静かな部屋に置く．初めの温度は $350 K$ ，表面の対流の係数は $h = 8.0 W m^{- 2} K^{- 1}$ ，放射率は磨いた面で $ε = 0.10$ ，黒く塗ると $0.90$ とし，線形化には平均の温度 $320 K$ を使う．

**［図：表面の放射率による球の冷え方の違い］**
初め350 Kの球を293 Kの静かな部屋に置く．左の緑の矢印は対流 hSΔT，赤い矢印は正味の放射 h_r SΔT を示す．右は320 Kで放射を線形化した指数近似 T(t)=293+57 exp(−t/τ) による冷却曲線である．磨いた面 ε=0.10 の時定数は約1.9×10³ s，黒く塗った面 ε=0.90 は約1.1×10³ sで，どちらも293 Kへ近づく．各時定数で温度差は初期の1/eとなり，温度は約314 Kである．

球の中の温度を一様とみなしてよいか，内部の均一化の時間と冷える時間を比べて確かめなさい．
磨いた面と黒く塗った面について，冷え方の時定数を求めなさい．
この球を，代わりに厚い断熱板を1枚はさんで冷却器につないだとする．どこが律速になるかの違いを述べなさい．

解答を見る

考え方 表面での受け渡しを $h + h_{r}$ でまとめ，熱容量 $C$ との比で時定数 $C / [(h + h_{r}) S]$ を作る．内部が追いつくかは熱拡散率で見る．

熱拡散率は $α = κ / (ρ c) \approx 9.9 \times 10^{- 5} m^{2} s^{- 1}$ で，内部の均一化の時間は $r^{2} / α \approx 4 s$ である．下で求める冷える時間は $10^{3} s$ の桁なので，内部はつねにほぼ一様とみなせる． $h r / κ \approx 7 \times 10^{- 4}$ が1よりはるかに小さい，と言っても同じである．
$h_{r} = 4 ε σ_{SB} (320)^{3} \approx 7.4 ε W m^{- 2} K^{- 1}$ なので，磨いた面は $0.74$ ，黒い面は $6.7$ である． $C = ρ c V \approx 81 J K^{- 1}$ ， $S = 4 π r^{2} = 5.0 \times 10^{- 3} m^{2}$ だから

τ = \frac{C}{(h + h_{r}) S}

より，磨いた面は約30分（ $1.9 \times 10^{3} s$ ），黒い面は約18分（ $1.1 \times 10^{3} s$ ）である．黒く塗るだけで4割ほど速く冷えるのだから，室温でも放射を落としてはいけない．

いまは内部の伝導が速く表面での受け渡しが遅いので，表面の係数だけで時定数が決まった．断熱板をはさむと板の熱抵抗 $L / (κ S)$ が表面の抵抗 $1 / [(h + h_{r}) S]$ を上回り，こちらが律速になる．直列の抵抗のうち大きいほうが全体を決める．

ポイントここまでのまとめ

温度差が小さければ4乗則は線形化でき， $P \approx h_{r} S Δ T$ ， $h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{e}^{3}$ ．室温の $ε = 1$ で $5.7 W m^{- 2} K^{- 1}$ ほどと，自然対流と同じ桁である．
表面での受け渡しは $h + h_{r}$ にまとめ，冷え方の時定数は $C / [(h + h_{r}) S]$ ．内部を一様とみなせるのは，均一化の時間 $L^{2} / α$ がこれよりずっと短いときである．どれが律速かは，直列の抵抗の大きいほうを探せば分かる．
平行光線を受け取る面積 $π R^{2}$ と放射する面積 $4 π R^{2}$ の違いが，惑星の平衡温度の $4$ の出どころである．アルベド $0.30$ で $255 K$ ，正対点だけなら $4^{1 / 4}$ 倍になる．