第18章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★★☆

温度 $T_{1} > T_{2}$ ，放射率 $ε_{1}, ε_{2}$ の十分広い平面が真空中で向かい合います．両面は不透明な灰色体で， $0 < ε_{i} \leq 1$ は一定です．入射放射の割合 $ε_{i}$ が吸収され，残りが反射されます．伝導と端からの漏れは無視します．

**［図：捕獲中心の切替と分布の平均・幅］**
左は中心0，定数k₀の平衡，右は中心b，定数k₁＝2k₀に切り替えた後の平衡を示す．灰色の谷が捕獲装置，青い曲線が位置の分布を表す．平均位置は0からbへ移り，幅√Vは狭くなるが，切替直後の位置と分布は連続である．下段は同じ粒子の時刻tとt＋sの位置を表す．

面1の放射 $ε_{1} σ_{SB} T_{1}^{4}$ のうち，面2が吸収する単位面積あたりの熱流を求めてください．1往復ごとの残存割合を考え， $1 + r + r^{2} + \dots = 1 / (1 - r)$ を使えます．
正味の熱流を導き，黒体どうしと $ε_{1} = ε_{2} = 0.10$ の場合を比べてください．

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考え方 新しく放射された分が，往復するたびに吸収される量を足す．

面2での最初の吸収は $ε_{1} ε_{2} σ_{SB} T_{1}^{4}$ ．面2と面1で1回ずつ反射されると，残る割合は $r = (1 - ε_{1}) (1 - ε_{2})$ である．従って面2での吸収をすべて足すと

ε_{1} ε_{2} σ_{SB} T_{1}^{4} \sum_{j = 0}^{\infty} r^{j} = \frac{ε_{1} ε_{2} σ_{SB} T_{1}^{4}}{1 - r}

となる． $0 \leq r < 1$ なので収束する．面1に戻って吸収される分は正味の移動に含めない．

面2から面1への寄与は，同じ係数に $T_{2}^{4}$ を掛けたものである．面積を $S$ ，面1から面2へ向かう正味を $P > 0$ とすると，

\frac{P}{S} = \frac{ε_{1} ε_{2} σ_{SB} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})}{ε_{1} + ε_{2} - ε_{1} ε_{2}} = \frac{σ_{SB} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})}{1 / ε_{1} + 1 / ε_{2} - 1}

である．黒体どうしでは分母が1．両面が0.10なら分母は19で，黒体の $1 / 19$ に減る．放射率の積だけを掛けると，多重反射を落としてしまう．

演習 2

オリジナル ★★★★☆

長さ $L$ ，断面積 $A$ の細管の底に液体があり，口から液面までの距離は $z (t)$ ，初期値は $z_{0} = L / 3$ です．温度は一定，液面の蒸気数密度は飽和値 $c_{s}$ ，口は $c_{o} < c_{s}$ に保ちます．気体中の蒸気の拡散係数 $D$ は実測値です．希薄な蒸気を考え，空気の流れを無視します．液体の数密度 $n_{l}$ は蒸気より十分大きく，液面移動による蒸気量の補正は無視します．

**［図：周期加熱による温度振幅の減衰と遅れ］**
表面を周期的に加熱・冷却する固体の内向きをzの正方向とする．深さが4.0 mm異なる2つの温度計は，どちらも周期80 sの温度変化を記録する．下側の振幅は上側の1/eで，変化の位相も遅れる．

蒸気分布が定常に近いとして，流束 $J$ ，液面の移動の式，全部蒸発する時間を求めてください．
拡散時間 $z^{2} / D$ と液面の移動時間 $z / (d z / d t)$ を比べ，近似を確かめてください．

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考え方 蒸気の流出数を液体の減少数に等しくし，伸びる拡散距離を考慮する．

液面から口へ向かう座標を $x$ とすると， $c = c_{s} - (c_{s} - c_{o}) x / z$ ，従って $J = D (c_{s} - c_{o}) / z$ である．粒子収支は $n_{l} A d z / d t = A J$ だから，

z^{2} = z_{0}^{2} + \frac{2 D (c_{s} - c_{o})}{n_{l}} t, t_{end} = \frac{4 n_{l} L^{2}}{9 D (c_{s} - c_{o})}

となる．断面積は消え， $z = L$ で液体がなくなる．

移動時間は $n_{l} z^{2} / [D (c_{s} - c_{o})]$ ．拡散時間との比は $(c_{s} - c_{o}) / n_{l}$ で，仮定より十分小さい．分布が整う間に液面はほとんど動かず，近似はよい．

演習 3

東京大 2006 前期（改題） ★★★★☆

面積 $S$ の板を，温度 $T_{e}$ の壁に囲まれた希薄気体中に置きます．気体の数密度を $n$ ，圧力を $p = n k_{B} T_{e}$ とし，自由分子領域 $Kn ≫ 1$ に限ります．ヒーターが片面を熱流 $P_{0}$ で加熱し，その面の温度は $T_{e} + θ$ ，裏面は $T_{e}$ に保たれます．加熱面から裏面への熱抵抗は $R$ ，加熱面の放射率は $ε > 0$ です．加熱は弱く， $θ$ は $T_{e}$ より十分小さいとします．気体に失う熱流は，測定した定数 $g > 0$ により $g p S θ$ とします．

力の計算には，質量 $m$ の分子が直交する6方向に等分され，速さ $v_{0} = \sqrt{3 k_{B} T_{e} / m}$ で入射する模型を使います．吸着した分子は同数ずつ，温度 $T$ の面から法線方向へ速さ $\sqrt{3 k_{B} T / m}$ で再放出されます．

**［図：一様な対生成・反応と濃度のむら］**
閉じた管で装置1と2がA，Bを対で一様に生成し，出会ったAとBは生成物へ変わる．両端では流束Jが0である．下段は一様な定常濃度cₑに半周期の余弦のむらを加えた初期分布で，両端の勾配も0となる．

放射を線形化して定常の $θ$ を求め， $g$ の単位も述べてください．
両面の反跳の差から，板が気体から受ける力 $F$ の大きさと向きを求めてください．同じ $P_{0}$ で $p \to 0$ としたときの力も調べてください． $\sqrt{1 + y} \approx 1 + y / 2$ を使えます．

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考え方 熱収支で温度差を決め，再放出の運動量から力を求める．

$h_{r} = 4 ε σ_{SB} T_{e}^{3}$ とおく．熱収支は $P_{0} = [1 / R + S (h_{r} + g p)] θ$ なので，

θ = \frac{P_{0}}{1 / R + S (h_{r} + g p)}

である． $g p$ は熱伝達係数だから， $g$ の単位は $W m^{- 2} K^{- 1} {Pa}^{- 1}$ ．

片面に毎秒入る数は $n v_{0} S / 6$ である．入射による力は両面で相殺され，再放出の反跳の差が残る．従って

F = \frac{n m v_{0}^{2} S}{6} (\sqrt{1 + \frac{θ}{T_{e}}} - 1) \approx \frac{p S θ}{4 T_{e}} = \frac{p S P_{0}}{4 T_{e} [1 / R + S (h_{r} + g p)]}

となる．反跳が大きい高温面から裏面へ向かう． $p \to 0$ では伝導と放射が温度上昇を有限に保ち， $F$ は圧力に比例して0へ近づく．

演習 4

オリジナル ★★★★★

長さ $L$ ，断面積 $A$ の閉じた管に，温度 $T$ の希薄な粒子を $N$ 個入れます．数密度 $c (x, t) > 0$ ，位置エネルギー $U (x)$ ，拡散係数 $D (x) > 0$ を用い，流束を

J = - D (x) [\frac{\partial c}{\partial x} + \frac{c}{k_{B} T} \frac{d U}{d x}], \frac{\partial c}{\partial t} = - \frac{\partial J}{\partial x}

とします．両端で $J = 0$ ， $U, D$ は時間によらず滑らかで，粒子の生成と消滅はありません．

**［図：薄い液体層の仕事と両壁への熱流］**
両板を温度T₀に保ち，上板を一定の力F＝Sτで右へ引く．薄い層の上面と下面の粘性力は同じ大きさで逆向きだが，上面の速度u(z＋dz)は下面のu(z)より大きい．仕事率の差が発熱となり，熱は両壁へ逃げる．

総粒子数 $A \int_{0}^{L} c d x$ の保存を示し，平衡濃度 $c_{e} (x)$ を求めてください．
$G = k_{B} T A \int_{0}^{L} c \ln (c / c_{e}) d x$ が非負で，時間とともに増えないことを示してください．等号の条件も調べてください． $z \ln z - z + 1 \geq 0$ を使えます．

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考え方 平衡との比で流束を書き換え，保存則と部分積分を使う．

$d N / d t = - A [J]_{0}^{L} = 0$ ．定常では $J$ が一定で，両端の条件から0．従って

c_{e} (x) = C e^{- U (x) / (k_{B} T)}, C = \frac{N}{A \int_{0}^{L} e^{- U (x) / (k_{B} T)} d x}

を得る．

$z = c / c_{e}$ とおく．総数が等しいので $A \int_{0}^{L} (c - c_{e}) d x = 0$ ．これを引けば

\frac{G}{k_{B} T} = A \int_{0}^{L} c_{e} (z \ln z - z + 1) d x \geq 0

となり，等号は全区間で $c = c_{e}$ のときだけである．平衡の式から $J = - D c \partial \ln z / \partial x$ ．時間微分の定数項は総数保存で消え，端の流束も0なので，部分積分して

\frac{d G}{d t} = k_{B} T A \int_{0}^{L} J \frac{\partial \ln z}{\partial x} d x = - k_{B} T A \int_{0}^{L} D c {(\frac{\partial \ln z}{\partial x})}^{2} d x \leq 0

を得る．減少率0なら $\ln z$ は一定で，総数の一致から $z = 1$ である．この $G$ は，第16章で扱った自由エネルギーの，理想希薄粒子系における平衡からの差として読める． $D$ は平衡分布を変えず，近づく速さを変える．