第25章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

一様な弦の範囲は $x \leq 0$ で，右端 $x = 0$ は固定されています．波の速さを $v$ とします．右へ進むパルスの変位は $y_{i} = F (x - v t + 3 d)$ で， $d > 0$ ， $A / d$ は十分小さいとします．関数 $F$ は

F (s) = {\begin{array}{ll} A \cos^{2} (\frac{π s}{2 d}) & | s | \leq d, \\ 0 & | s | > d \end{array}

です．

境界条件を満たす反射波を求め， $t = 2 d / v, 4 d / v$ の合成波形を描け．
$t = 3 d / v$ の変位と媒質の速度を求めよ．弦全体の変位が0なら，波のエネルギーも0か．

**［図：固定端に向かう初期パルス］**
時刻0のパルスは中心−3d，高さA，幅2dで，両端が滑らかな与えられた余弦二乗の形をもつ．速さvで原点の固定端へ向かう．

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考え方 固定端で打ち消し合うように波形を反転し，速度は重ね合わせた変位の時間微分から求める．

左向きの反射波は $y_{r} = - F (- x - v t + 3 d)$ である．原点では常に $y_{i} + y_{r} = 0$ となる． $t = 2 d / v$ では $y = F (x + d) - F (d - x)$ ． $x \leq 0$ で第2項は0なので，区間 $- 2 d \leq x \leq 0$ に高さ $A$ ，中心 $- d$ の正のパルスを描く． $t = 4 d / v$ では $y = F (x - d) - F (- x - d) = - F (x + d)$ となり，同じ区間に高さ $- A$ のパルスを描く．
$F$ は偶関数なので $y = F (x) - F (- x) = 0$ ． $G (s) = d F / d s$ は奇関数なので

\frac{\partial y}{\partial t} = - v G (x) + v G (- x) = - 2 v G (x) = \frac{π A v}{d} \sin (\frac{π x}{d}) (- d < x < 0)

で，それ以外は0である．区間内の媒質は下向きに動いている．傾きと弾性エネルギーはこの瞬間0だが，運動エネルギーは残る．例えば $x = - d / 2$ の速度は $- π A v / d$ であり，静止していない．最大傾きの尺度 $A / d$ が十分小さい範囲で，この重ね合わせは有効である．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

同じ振動数 $f$ の2つの固定音源が，向かい合う平面音波を出しています．右向き波と左向き波の圧力のずれは，それぞれ $δ p_{+} = p_{*} \sin (ω t - k x)$ ， $δ p_{-} = p_{*} \sin (ω t + k x)$ です． $ω = 2 π f$ ， $k = ω / v$ ， $p_{*} > 0$ とします．マイクは時刻0に原点を通り，右向きに一定速度 $u < v$ で動きます．

マイクが記録する2つの振動数とうなりの振動数を求めよ．
$f = 400 Hz$ ， $v = 320 m s^{- 1}$ ， $u = 4.0 m s^{- 1}$ で数値を求め，圧力を積の形に表せ．固定マイクでも時間的なうなりが生じるか．

**［図：向かい合う音源と移動するマイク］**
同じ振動数fの固定音源が右向きと左向きの平面波を出す．マイクは時刻0に原点を通り，右向きに一定速度uで動く．

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考え方 動くマイクの位置を各波の式に代入する．定常波の空間的な振幅分布を横切る運動が，時間的な強弱になる．

$x = u t$ を代入すると位相は $(ω - k u) t$ ， $(ω + k u) t$ ．したがって $f_{+} = f (1 - u / v)$ ， $f_{-} = f (1 + u / v)$ ， $f_{beat} = f_{-} - f_{+} = 2 f u / v$ である．
順に $395 Hz$ ， $405 Hz$ ， $10 Hz$ ．和積の公式から

δ p = 2 p_{*} \sin ω t \cos k u t

となる．振幅の大きさ $2 p_{*} | \cos k u t |$ の極大は $0.10 s$ ごとである．固定マイクでは $δ p = 2 p_{*} \cos k x \sin ω t$ となり，時間的なうなりはない． $u \to 0$ でうなりの振動数も0となる．ここでは $u / v = 0.0125$ が小さいため，音の周期とうなりの周期を分けて観測できる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

両端固定の弦の有効長は $l_{s} = 0.500 m$ ，線密度は $μ = 2.50 \times 10^{- 3} kg m^{- 1}$ ，張力は $S = 25.0 N$ です．別に，一端閉管の有効長 $l_{a} = 0.425 m$ ，音速 $v_{a} = 340 m s^{- 1}$ を与えます．弦と気柱は直接には結合していません．

弦と気柱の双方で共鳴する振動数を小さい方から3つ求め，それぞれのモード番号を答えよ．
張力と線密度を変えず，弦の途中を押さえて有効長を $0.400 m$ にする．双方の最も低い共通共鳴振動数を求めよ．

**［図：独立した弦と閉管の有効長］**
長さl_sが0.500 m，張力Sが25.0 Nの弦と，長さl_aが0.425 mの一端閉管を示す．途中を押さえた弦の有効長は0.400 mである．

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考え方 固定端・閉口端・開口端の条件から，各共鳴列を作って共通部分を探す．

弦の速さは $v_{s} = \sqrt{S / μ} = 100 m s^{- 1}$ ．弦では $l_{s} = n λ_{s} / 2$ より $f_{s, n} = n v_{s} / (2 l_{s}) = n \times 100 Hz$ ．気柱では閉口が変位の節，開口が変位の腹なので $l_{a} = (2 m - 1) λ_{a} / 4$ ， $f_{a, m} = (2 m - 1) \times 200 Hz$ ．等しい条件は $n = 2 (2 m - 1)$ ．よって共通振動数は $200, 600, 1000 Hz$ ，弦の番号は $2, 6, 10$ ，気柱の番号は $1, 2, 3$ である．
弦の基本振動数は $100 / (2 \times 0.400) = 125 Hz$ ． $125 n = 200 (2 m - 1)$ から $5 n = 8 (2 m - 1)$ ．最小の正の整数解は $n = 8, m = 3$ なので，最も低い共通振動数は $1000 Hz$ である．共通共鳴があることは，各基本振動数が等しいことを意味しない．各モードで変位振幅と波数の積が小さく，管の有効長に端補正を含めた範囲である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

直線上の未知の位置 $x = - a$ （ $a > 0$ ）に小さな音源があります．固定マイクで同じ振動数の音圧振幅 $p_{A}$ を測りました．候補は，平面波の $p_{A} = 一定$ と，吸収のない等方的な球面波の $p_{A} = B / (x + a)$ です． $B > 0$ とし，音源から十分離れた範囲を測っています．表の値は丸めを除いて正確とします．

$x$ （ $m$ ）	$0.00$	$2.00$	$4.00$
$p_{A}$ （ $Pa$ ）	$0.600$	$0.300$	$0.200$

音速 $v = 320 m s^{- 1}$ ，密度 $ρ = 1.25 kg m^{- 3}$ ，平衡圧力 $p = 1.00 \times 10^{5} Pa$ を与えます．遠方の進行音波では $I = p_{A}^{2} / (2 ρ v)$ です．

直線化して模型を選び， $a, B$ を求め，第3点を検算せよ．
音響出力を求めよ．第1点の音圧だけに $\pm 0.006 Pa$ の誤差があるとき，第1・第2点から求める $a$ の一次近似での不確かさを求めよ．

**［図：未知の音源位置と作図用座標］**
音源位置−aと，xが0.00，2.00，4.00 mのマイクの測定値を示す．下にxと1/p_Aの作図用座標を用意する．

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考え方 振幅の逆数を取ると，球面波の幾何学的な減衰が直線になる．不確かさは推定式を微分して求める．

$1 / p_{A} = x / B + a / B$ で，傾きは $1 / B$ ，切片は $a / B$ ．最初の2点から傾きは $(1 / 0.300 - 1 / 0.600) / 2.00 = 0.8333 {Pa}^{- 1} m^{- 1}$ ，切片は $1.6667 {Pa}^{- 1}$ ．よって $B = 1.20 Pa m$ ， $a = 2.00 m$ ．第3点の予測 $1.20 / (4.00 + 2.00) Pa = 0.200 Pa$ は一致する．一定振幅の平面波模型には合わない．
距離を $r = x + a$ とすると，出力は

P = 4 π r^{2} I = \frac{2 π B^{2}}{ρ v} = \frac{2 π \times {1.20}^{2}}{1.25 \times 320} W = 2.26 \times 10^{- 2} W .

第1・第2点の振幅を $p_{1}, p_{2}$ ，間隔を $d = 2.00 m$ とすれば $a = d p_{2} / (p_{1} - p_{2})$ ． $p_{2}$ は正確なので $Δ a \approx - d p_{2} Δ p_{1} / (p_{1} - p_{2})^{2}$ ．不確かさは $2.00 \times 0.300 \times 0.006 / {0.300}^{2} m = 0.04 m$ ．この展開では $| Δ p_{1} | / (p_{1} - p_{2}) = 0.020$ の小ささを使う．また $p_{A} / p \leq 6.0 \times 10^{- 6}$ で音の線形近似に整合し，出力は距離によらない．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

水面の平面波が，水平面内の境界 $z = 0$ を越えて，波の速さ $v_{1} = 0.600 m s^{- 1}$ の領域から $v_{2} = 0.300 m s^{- 1}$ の領域へ進みます．境界の法線は $+ z$ 向きです．振動数 $f = 10.0 Hz$ の2波を，法線の左右から入射角 ${30.0}^{\circ}$ で入射させます．透過後の変位振幅はともに $A = 1.0 \times 10^{- 4} m$ で，原点での第2波の位相は第1波より $π / 3$ 進んでいます． $y$ は鉛直な水面変位， $x$ は境界に沿う座標です．第1波は $+ x$ 向き，第2波は $- x$ 向きの波数成分をもち，第1波の原点での位相を $ω t$ とします．

透過波の屈折角 $θ_{2}$ と波長 $λ_{2}$ を求め，2波の変位を式にせよ．
合成波を積の形にし， $x \geq 0$ で原点に近い2本の節線の位置と，隣り合う節線の間隔を求めよ．

**［図：境界へ対称に入射する二つの水面波］**
水平面内の境界z=0を上から見る．z軸の正方向と境界の法線は上向きで，z>0の入射側の速さはv_1，z<0の透過側の速さはv_2である．二つの波はz成分が負の方向へ，法線の左右から30.0°で入射する．

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考え方 境界に沿う位相の連続から屈折角を決め，透過後の位相差に初期位相差を足す．

境界に沿う波数成分が等しいので $k_{1} \sin {30.0}^{\circ} = k_{2} \sin θ_{2}$ ．振動数は共通だから $\sin θ_{2} = (v_{2} / v_{1}) \sin {30.0}^{\circ} = 1 / 4$ ， $θ_{2} = {14.5}^{\circ}$ ． $λ_{2} = v_{2} / f = 0.0300 m$ ． $k_{2} = 2 π / λ_{2}$ とすれば

\begin{aligned} y_{1} & = A \sin [ω t - k_{2} (x \sin θ_{2} + z \cos θ_{2})], \\ y_{2} & = A \sin [ω t - k_{2} (- x \sin θ_{2} + z \cos θ_{2}) + π / 3] . \end{aligned}

和積の公式で

y_{1} + y_{2} = 2 A \cos (k_{2} x \sin θ_{2} + π / 6) \sin (ω t - k_{2} z \cos θ_{2} + π / 6)

となる．節線は $k_{2} x \sin θ_{2} + π / 6 = π / 2 + n π$ ．よって $x = λ_{2} (n / 2 + 1 / 6) / \sin θ_{2}$ ， $x \geq 0$ では $n = 0, 1, \dots$ であり，最初の2本は $x = 0.0200, 0.0800 m$ ．間隔は $λ_{2} / (2 \sin θ_{2}) = 0.0600 m$ である．位相差を変えると節線は平行移動するが間隔は変わらない．各波の傾きの尺度 $k_{2} A = 0.021$ は小さく，合成しても小振幅の範囲である．

演習 6

オリジナル ★★☆☆☆

有効長 $l$ の両端開管で，最初の5つのモードが同時に鳴っています．音速は $v = 330 m s^{- 1}$ です．開口を $x = 0, l$ とし，変位を

ξ (x, t) = \sum_{n = 1}^{5} \frac{A}{n} \cos (\frac{n π x}{l}) \sin (n ω_{1} t + ϕ_{n}), ω_{1} = \frac{π v}{l}

とします． $A > 0$ ，各 $ϕ_{n}$ は一定で，平衡時の気体の密度を $ρ$ とします．音圧は $δ p = - ρ v^{2} \partial ξ / \partial x$ です．中央 $x = l / 2$ の小さなマイクでは， $300, 900, 1500 Hz$ の3成分だけが検出されました．

管の長さを求めよ．中央のスペクトルを見て，一端閉管だと結論してよいか．
マイクを $x = l / 4$ へ移したとき，検出される振動数を求めよ．音圧の2乗の周期平均は，中央の値の何倍か．マイクは音場を乱さないとします．

**［図：開管とマイクの二つの測定位置］**
長さlの両端開管で，中央l/2と移動先l/4のマイク位置を示す．中央では300，900，1500 Hzの三つの成分が観測された．

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考え方 励起されたモードでも，マイクがその音圧の節にあると検出されない．異なる振動数の成分は周期平均で交差項が消える．

微分すると

δ p = P_{*} \sum_{n = 1}^{5} \sin (\frac{n π x}{l}) \sin (n ω_{1} t + ϕ_{n}), P_{*} = \frac{ρ v^{2} π A}{l} .

中央では $\sin (n π / 2) = 0$ となる偶数モードが消える．残るのは $n = 1, 3, 5$ なので $f_{1} = 300 Hz$ ， $l = v / (2 f_{1}) = 0.550 m$ ．奇数倍の成分だけを測っても，閉管の共鳴列か，開管を特定の位置で測った結果かは区別できない．

$\sin (n π / 4)$ は $n = 4$ でだけ0になる．検出されるのは $300, 600, 900, 1500 Hz$ ． $T_{1} = 2 π / ω_{1}$ で平均すると $⟨ δ p^{2} ⟩ = P_{*}^{2} \sum_{n = 1}^{5} \sin^{2} (n π x / l) / 2$ ．中央は $3 P_{*}^{2} / 2$ ， $l / 4$ は $(1 / 2 + 1 + 1 / 2 + 0 + 1 / 2) P_{*}^{2} / 2 = 5 P_{*}^{2} / 4$ ．比は $5 / 6$ である．この局所的な音圧の2乗を，そのまま定常波のエネルギー流とはみなさない．線形近似には，5成分を足した最大の $| \partial ξ / \partial x |$ が十分小さいことが必要である．

演習 7

オリジナル ★★★☆☆

断面積 $A$ ，長さ $l$ の一端閉管で，閉口は $x = 0$ ，開口は $x = l$ です．音速 $v$ ，密度 $ρ$ とし，端補正を無視します．2つのモードを

ξ = A \sin q x \sin ω t + \frac{A}{3} \sin 3 q x \sin 3 ω t, q = \frac{π}{2 l}, ω = v q

のように励起しました．音圧は $δ p = - ρ v^{2} \partial ξ / \partial x$ ，運動と圧縮のエネルギー密度は，それぞれ $e_{K} = ρ {(\partial ξ / \partial t)}^{2} / 2$ ， $e_{U} = ρ v^{2} {(\partial ξ / \partial x)}^{2} / 2$ です．

閉口での音圧を求め，その絶対値の最大値を求めよ．各成分の振幅の和に等しいか．
各モードの全エネルギーと，両者のエネルギーの比を求めよ．音圧の最大値だけからエネルギー配分を決められるか．

**［図：閉管の形と二つの変位振幅］**
断面積𝒜，長さlの一端閉管を示す．閉口をx=0，開口をx=lとし，2成分の変位振幅はAとA/3である．

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考え方 時間的な最大値は位相を含めて求める．エネルギーは各モードを空間積分し，直交性で交差項を消す．

$P_{*} = ρ v^{2} A q$ とすると $δ p (0, t) = - P_{*} (\sin ω t + \sin 3 ω t)$ ． $s = \sin ω t$ とおけば $\sin ω t + \sin 3 ω t = 4 s (1 - s^{2})$ ．微分は $4 - 12 s^{2}$ なので， $- 1 \leq s \leq 1$ で絶対値が最大なのは $s = \pm 1 / \sqrt{3}$ ．よって

{| δ p |}_{max} = \frac{8 P_{*}}{3 \sqrt{3}}

であり，振幅の和 $2 P_{*}$ より小さい．2成分が同時に正または負の最大値を取る時刻がないためである．

第 $n$ 成分の変位振幅を $A_{n}$ ，角振動数を $ω_{n}$ とする． $\int_{0}^{l} \sin^{2} (n q x) d x = \int_{0}^{l} \cos^{2} (n q x) d x = l / 2$ （ $n = 1, 3$ ）から

E_{K, n} = \frac{ρ A l ω_{n}^{2} A_{n}^{2}}{4} \cos^{2} ω_{n} t, E_{U, n} = \frac{ρ A l ω_{n}^{2} A_{n}^{2}}{4} \sin^{2} ω_{n} t .

したがって $E_{n} = ρ A l ω_{n}^{2} A_{n}^{2} / 4$ ． $ω_{3} = 3 ω$ ， $A_{3} = A / 3$ より $E_{1} = E_{3} = ρ A l ω^{2} A^{2} / 4$ ．異なる成分の積の空間積分は0なので，全エネルギーはこの和である．音圧の瞬間最大値は位相でも変わるが，各モードのエネルギーは変わらず，最大値だけでは配分は決まらない．エネルギーの次元は $J$ となり，圧縮の最大尺度 $2 A q$ が小さい範囲である．

演習 8

オリジナル ★★★☆☆

一様な弦の両端 $x = 0, l$ を固定し，張力 $S$ ，線密度 $μ$ ，波の速さ $v = \sqrt{S / μ}$ とします．分布した外力で弦を $y_{0} (x) = 4 a x (l - x) / l^{2}$ に曲げ，時刻0に外力を取り去ります．初速度は全点で0， $a / l$ は十分小さいとします．

$y = \sum_{n = 1}^{\infty} B_{n} \sin (n π x / l) \cos (n π v t / l)$ と表し，係数 $B_{n}$ を求めよ．
弦全体の変位が同時に0になる最初の正の時刻と，初期波形の上下を反転した形になる最初の時刻を求めよ．
初期の弾性エネルギーを積分し，基本振動が占める割合を求めよ．各モードのエネルギーは $E_{n} = μ l (n π v / l)^{2} B_{n}^{2} / 4$ です．

**［図：弦の初期放物線］**
両端固定の長さlの弦の初期波形は与えられた放物線で，中央の高さはaである．両端の張力Sと，全点で初速度0の条件を示す．

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考え方 初期変位を正弦級数に分ける．残るモードの位相をそろえて，弦全体の形を判定する．

$q_{n} = n π / l$ とおく．直交性から $B_{n} = (2 / l) \int_{0}^{l} y_{0} \sin q_{n} x d x$ ． $y_{0} (0) = y_{0} (l) = 0$ ， $\frac{d^{2} y_{0}}{d x^{2}} = - 8 a / l^{2}$ を使って2回部分積分すると

\int_{0}^{l} y_{0} \sin q_{n} x d x = - \frac{1}{q_{n}^{2}} \int_{0}^{l} \frac{d^{2} y_{0}}{d x^{2}} \sin q_{n} x d x = \frac{8 a}{l^{2} q_{n}^{3}} [1 - {(- 1)}^{n}] .

よって $B_{n} = 16 a [1 - {(- 1)}^{n}] / (n^{3} π^{3})$ ．偶数モードは0，奇数モードは $32 a / (n^{3} π^{3})$ である．

$t = l / (2 v)$ では，すべての奇数 $n$ に対して $\cos (n π / 2) = 0$ ．全変位は0になる．全変位0には直交性から基本成分も0でなければならず，これが最初の正の時刻である． $t = l / v$ では $\cos n π = - 1$ なので $y = - y_{0}$ ．基本成分が初めて符号反転した最大値になる時刻でもあり，これも最初である．全変位0の時刻に弦全体が静止するわけではない．
初期には速度0なので

E = \frac{S}{2} \int_{0}^{l} {[\frac{4 a}{l} (1 - 2 x / l)]}^{2} d x = \frac{8 S a^{2}}{3 l} .

基本成分は $B_{1} = 32 a / π^{3}$ だから $E_{1} = 256 S a^{2} / (l π^{4})$ ， $E_{1} / E = 96 / π^{4} \approx 0.986$ ．高いモードも波形には必要だが，エネルギーの大部分は基本振動に入る．全エネルギーは $S a^{2} / l$ の次元をもち，初期の最大傾き $4 a / l$ が十分小さいことを近似に使った．