波と音

分散と波のエネルギー流の演習

著者：柚木芹香

波の速さを比べましょう．張力は $S$ ，線密度は $μ$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

弦を $y = A \sin (ω t - k x)$ が進む． $v = \sqrt{S / μ} = ω / k$ とし，線エネルギー密度は

e = \frac{μ}{2} {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + \frac{S}{2} {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

とする．

平均 $⟨ e ⟩$ と仕事率 $P = v ⟨ e ⟩$ を求めよ．
$μ = 2.0 \times 10^{- 3} kg m^{- 1}$ ， $v = 80 m s^{- 1}$ ， $ω = 200 rad s^{- 1}$ ， $A = 1.0 \times 10^{- 3} m$ で $P$ を求めよ．

**［図：進行する弦の波と微小区間］**
線密度μの弦を波が右向きに進む．橙で示した微小区間の両端に，弦の接線方向に張力Sが働く．

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考え方 運動と変形のエネルギーを平均する．

$\partial y / \partial t = A ω \cos (ω t - k x)$ ， $\partial y / \partial x = - A k \cos (ω t - k x)$ ． $S k^{2} = μ ω^{2}$ と $⟨ \cos^{2} ⟩ = 1 / 2$ より $⟨ e ⟩ = μ ω^{2} A^{2} / 2$ ， $P = μ v ω^{2} A^{2} / 2$ ．
代入すると $P = 3.2 \times 10^{- 3} W$ ．近似条件 $k A = A ω / v = 2.5 \times 10^{- 3}$ は十分小さい．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

幅一定の水路を長い波が $x = 0$ から $x = L$ へ進む．水深は $h = h_{1} - (h_{1} - h_{2}) x / L$ ， $h_{1} = 100 m$ ， $h_{2} = 25 m$ ， $L = 3.0 \times 10^{5} m$ である． $g = 10 m s^{- 2}$ ，周期 $T = 2.0 \times 10^{3} s$ ，入口の水面変位の振幅 $A_{1} = 0.10 m$ とする． $v = v_{g} = \sqrt{g h}$ ，単位水面積の平均エネルギーは $ρ g A^{2} / 2$ とする．反射・散逸はないとする．

到達時間を積分で求めよ．
出口の振幅と近似条件を求めよ．

**［図：水深が緩やかに変わる水路］**
距離Lの水路で水深が入口のh_1から出口のh_2へ直線的に減る．入口の水面変位振幅A_1と入口から出口への進行方向を示す．

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考え方 時間を積分し，仕事率一定．

$d t = d x / \sqrt{g h}$ と $d x = - L d h / (h_{1} - h_{2})$ から

t = \frac{L}{\sqrt{g} (h_{1} - h_{2})} \int_{h_{2}}^{h_{1}} h^{- 1 / 2} d h = \frac{2 L}{\sqrt{g} (\sqrt{h_{1}} + \sqrt{h_{2}})} \approx 1.3 \times 10^{4} s .

流れは $ρ g A^{2} \sqrt{g h} / 2$ なので $A_{2} / A_{1} = {(h_{1} / h_{2})}^{1 / 4} = \sqrt{2}$ ， $A_{2} \approx 0.14 m$ ． $k = 2 π / (T v)$ から，浅水の条件 $k h$ は最大0.010，小振幅条件 $A / h$ は最大0.0057．緩やかな変化の条件 $| d h / d x | / (k h)$ も最大0.050で，いずれも十分小さい．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

水面波を測定した．波数の誤差を無視し，角振動数の誤差を $\pm 0.01 rad s^{- 1}$ とする． $g = 9.80 m s^{- 2}$ とし，候補は浅水模型 $ω^{2} = g h k^{2}$ と深水模型 $ω^{2} = g k$ とする．

$k$ （ $m^{- 1}$ ）	0.25	1.00	4.00
$ω$ （ $rad s^{- 1}$ ）	1.57	3.13	6.26

直線化の方法を示し，誤差を考慮して模型を選べ．
$k_{0} = 1.00 m^{- 1}$ の近くの2波 $y_{\pm} = A \sin (ω_{\pm} t - k_{\pm} x)$ の和を積にし，包絡線の速さと位相速度を求めよ． $k_{\pm} = k_{0} \pm Δ k / 2$ ， $Δ k / k_{0}$ は十分小さい．

**［図：水面波の波数と角振動数の測定点］**
横軸k，縦軸ωの座標に，表の三つの測定点を示す．角振動数の誤差は±0.01 rad s⁻¹である．

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考え方 波数依存性と包絡線を調べる．

$ω^{2}$ を $k$ または $k^{2}$ に対して描く．深水の予測 $1.565, 3.130, 6.261 rad s^{- 1}$ は誤差の範囲内． $ω^{2} / k^{2}$ は約 $39.4, 9.80, 2.45 m^{2} s^{- 2}$ で一定ではない．深水模型が合う．
$\bar{ω} = (ω_{+} + ω_{-}) / 2$ ， $Δ ω = ω_{+} - ω_{-}$ とすると

y_{+} + y_{-} = 2 A \cos \frac{Δ ω t - Δ k x}{2} \sin (\bar{ω} t - k_{0} x) .

包絡線は $Δ ω / Δ k \to d ω / d k = \sqrt{g / k_{0}} / 2 = v_{g} \approx 1.57 m s^{- 1}$ ．位相速度は $v = ω / k_{0} = \sqrt{g / k_{0}} \approx 3.13 m s^{- 1}$ で群速度の2倍．条件は $Δ k / k_{0}$ と $k A$ が十分小さく， $k h$ が十分大きいことである．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

張力 $S$ ，線密度 $μ_{1}, 9 μ_{1}$ の長い弦を，質量のない点 $x = 0$ で結ぶ．左から波が入射する．変位は

Y_{1} = (A_{i} e^{- i k_{1} x} + A_{r} e^{i k_{1} x}) e^{i ω t}, Y_{2} = A_{t} e^{i (ω t - k_{2} x)}

の実部で， $A_{i} > 0$ ， $μ_{2} = 9 μ_{1}$ ， $k_{j} = ω \sqrt{μ_{j} / S}$ とする．

変位の連続と力のつり合いから $A_{r} / A_{i}, A_{t} / A_{i}$ を求めよ．
反射・透過の仕事率の割合 $R, T$ と保存を確かめよ．

**［図：線密度が異なる弦の接続］**
線密度μ_1の左側の弦と線密度9μ_1の右側の弦を，質量のないx=0の点でつなぐ．張力は共通にSで，波は左から入射する．

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考え方 複素振幅に境界条件を課し，仕事率を比較する．

連続条件は $A_{i} + A_{r} = A_{t}$ ．力のつり合いは $S \partial Y_{1} / \partial x = S \partial Y_{2} / \partial x$ なので $k_{1} (A_{i} - A_{r}) = k_{2} A_{t}$ ．解くと

\frac{A_{r}}{A_{i}} = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = - \frac{1}{2}, \frac{A_{t}}{A_{i}} = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{1}{2} .

$k_{2} = 3 k_{1}$ を使った．反射の負の係数は位相差 $π$ を表す．

右向き波の平均仕事率は $P_{j} = S ω k_{j} {| A_{j} |}^{2} / 2$ である．演習1に $v_{j} = ω / k_{j}$ ， $S = μ_{j} v_{j}^{2}$ を入れれば得られる．よって $R = {| A_{r} / A_{i} |}^{2} = 1 / 4$ ， $T = (k_{2} / k_{1}) {| A_{t} / A_{i} |}^{2} = 3 / 4$ ，和は1となる．各波で $k_{j} | A_{j} |$ が十分小さいこと．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の質点を間隔 $d$ で無限に並べ，隣同士をばね定数 $κ$ で結ぶ．列に沿う変位は $y_{j}$ とする．

$y_{j} = A e^{i (ω t - k j d)}$ の実部を代入し， $0 \leq k d \leq π$ での分散関係を導け．
長波長の速さ $v_{0}$ ，角振動数の上限， $k d = 2 π / 3$ での群速度を求めよ．上限を超す進行波はあるか．

**［図：ばねでつないだ等間隔の質点列］**
質量mの質点を間隔dで並べ，隣同士をばね定数κのばねでつなぐ．中央の質点の変位y_jは列に沿う右向きを正とする．

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考え方 隣との位相差を残し，連続近似を調べる．

$m \frac{d^{2} y_{j}}{d t^{2}} = κ (y_{j + 1} - 2 y_{j} + y_{j - 1})$ ．共通因子を消すと $- m ω^{2} = κ (e^{i k d} + e^{- i k d} - 2) = - 4 κ \sin^{2} (k d / 2)$ ．よって $ω = 2 \sqrt{κ / m} \sin (k d / 2)$ である．
$k d$ が小さければ $\sin (k d / 2) \approx k d / 2$ より $v_{0} = d \sqrt{κ / m}$ ．よって $ω_{max} = 2 v_{0} / d$ ．微分すると $v_{g} = v_{0} \cos (k d / 2)$ なので指定点では $v_{g} = v_{0} / 2$ ．上限を超すと実数の $k$ はなく，進行波はない．上限では $v_{g} = 0$ で，エネルギー流も0．連続近似には $k d$ ，線形近似には $| y_{j + 1} - y_{j} | / d$ が十分小さいことが必要である．

ポイント教える人へ

位相，包絡線，媒質の速さを区別させます．
弦と水面波のエネルギー密度の単位を確かめます．
境界の変位と力から反射の符号を問います．
波長との比から近似の限界を問います．