第25章の発展問題 | 問いから始める物理

演習 1

東京大 2010 前期（改題） ★★★★☆

静止した空気中で，振動数 $f_{0}$ の音源が $(x, z) = (u t_{e}, 0)$ を右へ進みます． $t_{e}$ は放射時刻， $0 < u < v$ ， $v$ は音速です．音源は必要な時刻より前から鳴り続けています．観測者は $O = (0, H)$ ，固定中継器は $M = (D, 0)$ にあり， $H, D > 0$ です．中継器は受け取った音を一定時間 $τ \geq 0$ 後にスピーカーから出し，受信した位相をそのまま再現します．観測者は直接音と中継音を分離して記録できます．反射，中継器への音の回り込み，風は無視します．

直接音の放射時刻 $t_{e}$ と受信時刻 $t$ の関係を書き，瞬時振動数 $f_{d} (t)$ を求めよ．中継音を最初に出した音源の時刻を $t_{s}$ とし， $u t_{s} < D$ の範囲で中継音の瞬時振動数 $f_{r}$ を求めよ．
$t_{*} = H / v$ における両音の振動数差を $b > 0$ とする． $b$ から $u$ を決めよ． $f_{0} = 600 Hz$ ， $v = 340 m s^{- 1}$ ， $b = 12.0 Hz$ で評価せよ．
直接音が $x = - a$ と $x = a$ （ $a > 0$ ）で放射された2つの時刻に対応する受信時刻を $t_{-}, t_{+}$ とする．この間は中継器への接近が続くとして，両音の相対位相が何周期分進むか求めよ．
$u / v$ が小さいときの $b$ の一次近似を示し，その相対誤差を求めよ．瞬時振動数の差を，いつでも一定のうなりとみなしてよいか．

**［図：直接音と遅延を伴う中継音の経路］**
右向きに動く音源の放射位置ut_eとut_sを分けて示す．観測者Oは高さH，中継器Mはx=Dにあり，直接経路と遅延τを伴う中継経路で音を受け取る．

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考え方 2つの経路で同じ受信時刻に届く音は，別々の放射時刻をもつ．位相の時間微分と，相対位相の累積を分けて求める．

$R (t_{e}) = \sqrt{H^{2} + u^{2} t_{e}^{2}}$ とすれば $t = t_{e} + R (t_{e}) / v$ ． $d R / d t_{e} = u^{2} t_{e} / R$ だから

f_{d} = f_{0} \frac{d t_{e}}{d t} = \frac{f_{0}}{1 + u^{2} t_{e} / (v R)} .

$u < v$ なので分母は正で，時刻の対応は一対一である．中継器と観測者の距離を $R_{M} = \sqrt{D^{2} + H^{2}}$ とすると

t = t_{s} + \frac{D - u t_{s}}{v} + τ + \frac{R_{M}}{v} = (1 - u / v) t_{s} + \frac{D + R_{M}}{v} + τ .

中継音の位相は $2 π f_{0} t_{s}$ なので $f_{r} = f_{0} / (1 - u / v)$ ．固定遅延は位相に影響するが，この接近区間の振動数には影響しない．

$t = t_{*}$ の直接音は $t_{e} = 0$ に出ており， $f_{d} = f_{0}$ ．中継音の $t_{s} = (H - D - R_{M} - v τ) / (v - u) < 0$ は接近区間にある．よって $b = f_{r} - f_{0} = f_{0} u / (v - u)$ ．これを解いて $u = v b / (f_{0} + b)$ ．数値は $340 \times 12.0 / 612.0 m s^{- 1} = 6.67 m s^{- 1}$ である．
直接経路の長さは両端で同じ $\sqrt{H^{2} + a^{2}}$ なので， $t_{+} - t_{-} = 2 a / u$ ， $t_{e, +} - t_{e, -} = 2 a / u$ ．一方，中継経路の時刻式から $t_{s, +} - t_{s, -} = 2 a / [u (1 - u / v)]$ ．中継音の位相から直接音の位相を引いた量の増分を $2 π$ で割ると

N = f_{0} [\frac{2 a}{u (1 - u / v)} - \frac{2 a}{u}] = \frac{2 a f_{0}}{v - u} .

これは相対位相の進みを周期数で表した実数であり，振幅の極大を数えた整数とは端点の位相に応じて異なる．

$ϵ = u / v$ とすると $b = f_{0} ϵ / (1 - ϵ) \approx f_{0} ϵ$ ．一次近似値は厳密値より小さく，厳密値を分母とする相対誤差は $- ϵ$ ．数値では $ϵ = 0.0196$ ，誤差の大きさは約2.0 %である．一般には $f_{d} (t)$ が変わるため振動数差も変わり，一定のうなりではない．局所的なうなりの観測には，音の周期より長く，差の振動数が変化する時間より短い窓が必要で，その窓内に十分な強弱の周期が入ることも要る．位相の瞬時微分を音高とみなす条件は $u / (f_{0} R)$ が十分小さいことであり，速度についての一次近似にはさらに $u / v$ の小ささが必要である．

演習 2

東京大 1994 後期（改題） ★★★★☆

音を反射する鉛直な平面壁を $x = 0$ ，地面を $z = 0$ とします．音源は壁から未知の距離 $a > 0$ の鉛直線を上向きに動き，高さ $h > 0$ で短い音を出しました．その瞬間の上向き速度は $u$ ，音源自身の振動数は $f_{0}$ です．観測者は $(a + d, 0)$ ， $d > 0$ は既知です．風はなく，音速は $v$ ， $0 < u < v$ とします．地面からの反射は無視し，壁での鏡面反射だけを考えます．直接音と壁からの反射音は分離でき，振動数は $f_{d}, f_{r}$ ，反射音の到着の遅れは $Δ > 0$ と測定されました．音を出す間の高さと速度の変化は，まず無視します．

反射を壁の向こうの鏡像音源で表し，2つの経路長 $R_{d}, R_{r}$ と受信振動数を求めよ．
$η_{d} = f_{0} / f_{d} - 1$ ， $η_{r} = f_{0} / f_{r} - 1$ ， $q = η_{d} / η_{r}$ を使い， $h, u, a$ を測定値で表せ．この模型と両立するための条件も述べよ．
音源の発音時間を $τ_{b}$ ，その間の加速度の大きさの上限を $α$ とする．多くの音の周期を含む短い発音として(1)を使い，2つの音を時間的に分離する条件を示せ． $h \to 0$ でこの逆算のどこが不安定になるかも調べよ．

**［図：上昇する音源からの直接音と壁の反射音］**
壁x=0，音源(a，h)，観測者(a+d，0)を示す．音源の速度uは上向きである．音は直接経路と壁で1回反射する経路を進む．壁の向こうの鏡像音源(−a，h)と，対応する補助線を薄い破線で示す．

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考え方 経路長の時間変化がドップラー効果を決める．振動数の比で経路長の比を求め，到着時間差で絶対的な長さを決める．

鏡像は $(- a, h)$ にあり，実際の音源と同じ上向き速度をもつ．したがって

R_{d} = \sqrt{d^{2} + h^{2}}, R_{r} = \sqrt{{(2 a + d)}^{2} + h^{2}} .

どちらも音源が上へ動くと伸び，放射時刻 $t_{e}$ に関して $d R_{j} / d t_{e} = u h / R_{j}$ ．受信時刻は $t = t_{e} + R_{j} / v$ なので

f_{d} = \frac{f_{0}}{1 + u h / (v R_{d})}, f_{r} = \frac{f_{0}}{1 + u h / (v R_{r})}, v Δ = R_{r} - R_{d} .

壁の一定の反射位相は振動数を変えない． $R_{r} > R_{d}$ だから $f_{d} < f_{r} < f_{0}$ となる．

$η_{j} = u h / (v R_{j})$ より $q = R_{r} / R_{d} > 1$ ．時間差の式と合わせると

R_{d} = \frac{v Δ}{q - 1}, R_{r} = q R_{d}, h = \sqrt{R_{d}^{2} - d^{2}},

u = \frac{v R_{d} η_{d}}{h}, a = \frac{\sqrt{R_{r}^{2} - h^{2}} - d}{2} .

測定値は $η_{d} > η_{r} > 0$ ， $Δ > 0$ ， $R_{d} > d$ ， $0 < R_{d} η_{d} / h < 1$ を満たす必要がある．前の条件から最後の式の $a$ も正になる．経路長は $v Δ$ の次元をもち，速度も $v$ の次元で得られる．

発音中に $h$ と $u$ を一定とみなす十分条件は， $u τ_{b} / h$ ， $α τ_{b} / u$ がともに十分小さいことである．一方，音高を測るためには $f_{0} τ_{b}$ が十分大きい必要がある．受信する音の長さは一次近似で $τ_{b} (1 + η_{d})$ ， $τ_{b} (1 + η_{r})$ ．例えば $τ_{b} (1 + η_{d}) / Δ$ を十分小さくすれば，両音を分離できる． $h \to 0$ では $η_{d}, η_{r} \to 0$ となり， $q$ は小さな測定値同士の比になる．さらに $h = \sqrt{R_{d}^{2} - d^{2}}$ は近い数の差で， $Δ h / h \approx R_{d} Δ R_{d} / h^{2}$ の誤差増幅がある．高さ0では鉛直速度が視線に直交し，この瞬間の振動数から $u$ を決めることはできない．

演習 3

オリジナル ★★★★☆

深い水の重力波は $ω (k) = \sqrt{g k}$ に従います． $g$ は重力加速度で，表面張力を無視します． $0 < q < k_{0}$ とし，波数 $k_{0}, k_{0} + q, k_{0} - q$ の3波を，振幅 $A, A / 2, A / 2$ ，時刻0・原点で同位相として右向きに重ねます．すなわち

y = A \sin (ω_{0} t - k_{0} x) + \frac{A}{2} \sin (ω_{+} t - (k_{0} + q) x) + \frac{A}{2} \sin (ω_{-} t - (k_{0} - q) x)

で， $ω_{0} = ω (k_{0})$ ， $ω_{\pm} = ω (k_{0} \pm q)$ です． $q / k_{0}$ は十分小さいとします．

$k_{0}$ のまわりで $ω$ を2次まで展開し， $v_{g} = d ω / d k$ ， $β = \frac{d^{2} ω}{d k^{2}}$ を求めよ．
$X = x - v_{g} t$ ， $δ = β q^{2} / 2$ とおく．2次近似で，速い振動の包絡振幅 $B (X, t)$ を求めよ．初め包絡振幅が0の $X = π / q$ は，その後も0か．
初めの包絡振幅の極大位置 $X = 0$ と極小位置 $X = π / q$ の役割が初めて完全に入れ替わる時刻を求めよ．その時刻まで2次展開を使える条件を，省いた位相から確かめよ．

**［図：三つの波を重ねた初期波形］**
時刻0の波形y=−A(1+cos qx)sin k_0xを示す．速い振動の波長2π/k_0と，遅い包絡線の間隔2π/qを記す．波は右向きに進む．

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考え方 分散関係の1次の項は包絡線の移動を，2次の項は波数の異なる成分の位相のずれを生む．

微分すると $v_{g} = ω_{0} / (2 k_{0})$ ， $β = - ω_{0} / (4 k_{0}^{2})$ ．したがって $ω_{\pm} \approx ω_{0} \pm v_{g} q + β q^{2} / 2$ ．位相速度 $v = ω_{0} / k_{0}$ に対して $v_{g} = v / 2$ である．
実際の変位を，次の複素量の実部で表す．

Y = - i A e^{i (ω_{0} t - k_{0} x)} [1 + \frac{1}{2} e^{i δ t - i q X} + \frac{1}{2} e^{i δ t + i q X}] = - i A e^{i (ω_{0} t - k_{0} x)} [1 + e^{i δ t} \cos q X] .

よって包絡振幅は

B^{2} = A^{2} [1 + \cos^{2} q X + 2 \cos q X \cos δ t] .

$X = 0$ では $B = 2 A | \cos (δ t / 2) |$ ， $X = π / q$ では $B = 2 A | \sin (δ t / 2) |$ ．初め0の場所にも時間とともに振幅が生じ，単に初期包絡線を $v_{g}$ で移動するだけではない．この包絡線の0を，定常波の永久的な節と混同しない．

完全な入れ替わりは初めて $| δ | t_{*} = π$ となるときである．そのとき $B = A | 1 - \cos q X | = A (1 - \cos q X)$ なので

t_{*} = \frac{2 π}{| β | q^{2}} = \frac{8 π k_{0}^{2}}{ω_{0} q^{2}} .

3階微分は $\frac{d^{3} ω}{d k^{3}} = 3 ω_{0} / (8 k_{0}^{3})$ ．省いた各側波の角振動数の先頭項は $\pm ω_{0} q^{3} / (16 k_{0}^{3})$ なので， $t_{*}$ までに蓄積する位相誤差の大きさは $π q / (2 k_{0})$ ．これが十分小さければ入れ替わりの予測は有効である．長時間では小さな角振動数誤差も累積するため， $q / k_{0}$ だけでなく位相誤差を確かめる必要がある．深水の条件は最小波数でも $(k_{0} - q) h$ が十分大きいことであり，線形近似には $A k_{0}$ の小ささも必要である．ここで $h$ は水深である．

演習 4

オリジナル ★★★★★

鉛直な縄を上端で支え，下端に質量 $m_{0} = μ_{0} a$ のおもりを付けます．下端から上へ $x$ を測り， $0 \leq x \leq l$ の線密度は $μ (x) = μ_{0} e^{x / a}$ です． $a, μ_{0} > 0$ ，重力加速度は $g$ ，伸びを無視します．静的な張力を $S (x)$ とすると，横変位の線形な方程式は

μ (x) \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} [S (x) \frac{\partial y}{\partial x}]

です．上端では横波を吸収できる装置を用い，下端の駆動で右向き，すなわち上向きに進む成分を作ります．おもりは静的な張力を定める役割をもち，下端の駆動変位は外から指定します．

$S (x)$ と局所的な速さ $v_{0} = \sqrt{S (x) / μ (x)}$ を求めよ．
$y = e^{- x / (2 a)} ψ$ と置いて $ψ$ の方程式を導き， $ψ$ を $C e^{i (ω t - k x)}$ の実部とする波の分散関係を求めよ．実数の $k$ をもつ波の角振動数の下限を求めよ．
$k > 0$ の狭い波数帯をもつ波束の伝播時間と，変位振幅の上下端での比を求めよ．平均仕事率 $P = - ⟨ S \partial y / \partial x \partial y / \partial t ⟩$ が高さによらないことも確かめよ．
局所速さだけから見積もる $l / v_{0}$ と波束の時間を比べ，両者が近い条件と先頭の相対補正を求めよ．

**［図：線密度が指数的に変わる鉛直な縄］**
長さlの縄の線密度はμ(x)=μ_0e^(x/a)で，下端のおもりはm_0=μ_0aである．下端の駆動が上向きに波を送り，上端の装置が波を吸収する．

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考え方 張力の変化は，速さの比だけでなく運動方程式の空間微分にも現れる．振幅の高さ依存を取り除いてから，伝播とエネルギーを調べる．

高さ $x$ の張力はその下にある質量の重さなので

S (x) = g [m_{0} + \int_{0}^{x} μ_{0} e^{s / a} d s] = μ_{0} a g e^{x / a} .

したがって $v_{0} = \sqrt{a g}$ は高さによらない．

方程式を $μ$ で割ると $\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v_{0}^{2} (\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} + a^{- 1} \partial y / \partial x)$ ．置換後は

\frac{\partial y}{\partial x} = e^{- x / (2 a)} (\frac{\partial ψ}{\partial x} - \frac{ψ}{2 a}), \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = e^{- x / (2 a)} (\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - \frac{1}{a} \frac{\partial ψ}{\partial x} + \frac{ψ}{4 a^{2}}) .

代入して $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = v_{0}^{2} (\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - ψ / (4 a^{2}))$ ．調和解から

ω^{2} = v_{0}^{2} (k^{2} + \frac{1}{4 a^{2}}), ω_{c} = \frac{v_{0}}{2 a} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{a}} .

実数の $k$ は $ω \geq ω_{c}$ で存在し，進行する波には $ω > ω_{c}$ が必要である．下限未満では $k$ は純虚数になり，この模型の進行波ではない．

群速度は $v_{g} = d ω / d k = v_{0}^{2} k / ω$ なので，波束の時間は $t_{g} = l ω / (v_{0}^{2} k)$ ． $y = A_{0} e^{- x / (2 a)} \cos (ω t - k x)$ と書くと，振幅比は $A (l) / A (0) = e^{- l / (2 a)}$ ．位相を $θ = ω t - k x$ として

\frac{\partial y}{\partial t} = - ω A (x) \sin θ, \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{A (x)}{2 a} \cos θ + k A (x) \sin θ .

$⟨ \sin θ \cos θ ⟩ = 0$ ， $⟨ \sin^{2} θ ⟩ = 1 / 2$ から

P = \frac{1}{2} S (x) ω k A (x)^{2} = \frac{1}{2} μ_{0} a g ω k A_{0}^{2} .

変位振幅は減っても，仕事率は保存されている．

比は $t_{g} / (l / v_{0}) = ω / (v_{0} k) = \sqrt{1 + 1 / (4 a^{2} k^{2})}$ ． $1 / (k a)$ が十分小さいと

t_{g} \approx \frac{l}{v_{0}} (1 + \frac{1}{8 a^{2} k^{2}}) .

局所速さの見積もりは短すぎ，角振動数が下限に近づくと $v_{g} \to 0$ になって大きく外れる．狭い波数帯には $Δ k / k$ の小ささが必要で，小振幅近似には $A_{0} \sqrt{k^{2} + 1 / (4 a^{2})}$ の小ささが必要である．伝播時間の見積もりには，さらに $1 / (k a)$ が小さいことを使った．

演習 5

オリジナル ★★★★★

長さ $2 l$ ，張力 $S$ ，線密度 $μ$ の弦を $x = - l, l$ で固定し，中央を質量 $M$ のピストンに軽い剛い棒でつなぎます．棒は弦中央の横変位 $Y (t) = y (0, t)$ を，管の入口のピストン変位に同じ向き・同じ大きさで伝えます．管の断面積は $A$ ，平衡長は $L$ ，奥は固定壁です．管に沿って奥向きに $z$ を測り，ピストンが奥へ動くとき $Y > 0$ とします．気体の密度 $ρ$ ，音速 $v_{a}$ ，平衡圧力 $p$ ，比熱比 $γ$ を与え， $ρ v_{a}^{2} = γ p$ とします．ピストンの外側は平衡圧力 $p$ に保たれ，平衡の力は相殺しています．

弦の速さは $v_{s} = \sqrt{S / μ}$ ，気体の変位は $ξ (z, t)$ ，音圧は $δ p = - ρ v_{a}^{2} \partial ξ / \partial z$ です．気体は断熱的に振動し，摩擦・漏れ・散逸を無視します．

$Y \neq 0$ の左右対称な調和モードを考える． $k_{s} = ω / v_{s}$ ， $k_{a} = ω / v_{a}$ とし， $\sin k_{s} l \neq 0$ ， $\sin k_{a} L \neq 0$ の範囲で，弦と気体の変位を中央の複素振幅 $Y_{0}$ で表せ．
中央へ働く弦の力と気体の力を求め，角振動数 $ω$ を決める方程式を導け．
弦が左右反対向きに振動する反対称モードで，気体が静止するものの振動数を求めよ．ピストンに力が残らないことを確かめよ．
$ω l / v_{s}$ ， $ω L / v_{a}$ がともに十分小さいモードについて， $ω^{2}$ の先頭の近似を求めよ．気体を単なるばね，弦を単なる2本のばねとする近似の次に，どんな慣性が現れるか，エネルギーからも確かめよ． $q \cot q = 1 - q^{2} / 3 + 4次以降$ を使えます．

**［図：弦中央とピストンを結ぶ剛い棒］**
x=−lとx=lで固定した弦の中央を，軽い剛い棒で質量Mのピストンにつなぐ．断面積𝒜，平衡長Lの管の奥は固定壁で，座標zと変位Yの正方向はともに管の奥向きである．

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考え方 接続点では変位を共通にし，張力と圧力の力をピストンの運動方程式へ入れる．固有振動でも，接続点を節と決めつけない．

$y, ξ$ をそれぞれ $\hat{y} e^{i ω t}$ ， $\hat{ξ} e^{i ω t}$ の実部で表す．両端固定，奥の固定壁，接続点の変位条件から

\hat{y} (x) = Y_{0} \frac{\sin [k_{s} (l - | x |)]}{\sin k_{s} l}, \hat{ξ} (z) = Y_{0} \frac{\sin [k_{a} (L - z)]}{\sin k_{a} L} .

これらは各区間の波動方程式と， $\hat{y} (0) = \hat{ξ} (0) = Y_{0}$ ， $\hat{y} (\pm l) = \hat{ξ} (L) = 0$ を満たす．

中央の左右の傾きは $+ k_{s} Y_{0} \cot k_{s} l$ ， $- k_{s} Y_{0} \cot k_{s} l$ ．張力の横成分を足すと，弦の力の複素振幅は $- 2 S k_{s} Y_{0} \cot k_{s} l$ ．気体については $\partial \hat{ξ} / \partial z |_{z = 0} = - k_{a} Y_{0} \cot k_{a} L$ なので，入口の音圧は $ρ v_{a}^{2} k_{a} Y_{0} \cot k_{a} L$ ．圧力はピストンを外へ押すから，力は $- A ρ v_{a}^{2} k_{a} Y_{0} \cot k_{a} L$ ．ピストンの運動方程式から

M ω^{2} = 2 S k_{s} \cot k_{s} l + A ρ v_{a}^{2} k_{a} \cot k_{a} L .

これが指定した $Y_{0} \neq 0$ の対称モードの条件である．分母が0の特殊なモードは，この式で割り算をする前の境界条件から別に調べる必要がある．

反対称な弦の形は $y = C \sin (n π x / l) \cos ω_{n} t$ ， $n = 1, 2, \dots$ と書ける．中央は変位0で， $ω_{n} = n π v_{s} / l$ ， $f_{n} = n v_{s} / (2 l)$ ．中央の左右の傾きは等しいので $S [\partial y / \partial x |_{0 +} - \partial y / \partial x |_{0 -}] = 0$ ．気体を $ξ = 0$ とすれば圧力のずれも0で，ピストンは静止できる．したがってこの一群の振動数は気柱と $M$ によらない．
$k_{s} \cot k_{s} l \approx 1 / l - k_{s}^{2} l / 3$ ， $k_{a} \cot k_{a} L \approx 1 / L - k_{a}^{2} L / 3$ を(2)に代入すると

(M + \frac{2 μ l}{3} + \frac{A ρ L}{3}) ω^{2} \approx \frac{2 S}{l} + \frac{A ρ v_{a}^{2}}{L} .

よって

ω^{2} \approx \frac{2 S / l + γ p A / L}{M + 2 μ l / 3 + A ρ L / 3} .

低い振動数では $y \approx Y (1 - | x | / l)$ ， $ξ \approx Y (1 - z / L)$ ．その運動エネルギーは

E_{K} = \frac{1}{2} [M + 2 μ \int_{0}^{l} {(1 - x / l)}^{2} d x + ρ A \int_{0}^{L} {(1 - z / L)}^{2} d z] {(\frac{d Y}{d t})}^{2} = \frac{1}{2} (M + \frac{2 μ l}{3} + \frac{ρ A L}{3}) {(\frac{d Y}{d t})}^{2} .

弦と気体の弾性エネルギーは $E_{U} = (2 S / l + ρ v_{a}^{2} A / L) Y^{2} / 2$ なので，同じ角振動数が得られる．分母には動く弦と気体の有効質量が現れる．得られた $ω$ を使って $ω l / v_{s}$ ， $ω L / v_{a}$ の小ささを事後に確かめる必要があり， $M \to 0$ でこの条件を満たさないなら近似式は使えない．さらに $| Y | / l$ ， $| Y | / L$ ，および管の横寸法と音の波長の比が小さく，振動中の熱交換が断熱近似を破らない範囲を前提とした．