電荷と電場

クーロン力と電場の例題

著者：柚木芹香

点電荷の問題は，どの電荷が「受ける側」かを決め，ほかの電荷が作る電場をベクトルとして足すのが基本です．向きは図に矢印で描き，大きさは $k | q | / r^{2}$ で計算してから成分に分けると，符号の間違いが減ります．ここでは，つり合い，対称性を使った重ね合わせ，力学と組み合わせた測定の3つを練習します．

ポイント点電荷の問題の手順

力を受ける電荷を1つ決め，それ以外の電荷を電場の源とする．
各電荷が作る電場の大きさ $k | q_{i} | / r_{i}^{2}$ と向き（正電荷から遠ざかる向き，負電荷へ近づく向き）を図に描く．
対称性で打ち消し合う成分を先に消し，残りを成分ごとに足す．
受ける力は $F = q E$ ．負電荷では電場と逆向きになる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

$x$ 軸上の原点に電荷 $Q$ （ $Q > 0$ ）， $x = d$ に電荷 $4 Q$ がある．ここに3つ目の点電荷 $q$ を $x$ 軸上に置き，3つの電荷がどれも力のつり合いの状態になるようにしたい．重力は無視する．

3つ目の電荷を置く位置と， $q$ の値を求めよ．
電荷 $Q$ と $4 Q$ を固定し，3つ目の電荷だけを $x$ 軸に沿って少しずらしたとき，つり合いの位置に戻るか．

**［図：x 軸上に置く3つの電荷］**
原点に Q，x = d に 4Q，その間の未定の位置 x に電荷 q を置く．距離 x と d − x を示し，q の符号やつり合いの位置は示さない．

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考え方 まず3つ目の電荷が受ける力のつり合いから位置を決める． $Q$ と $4 Q$ は同符号なので，間に置かないと2つの力が同じ向きになる．次に $Q$ が受ける力のつり合いから $q$ を決め，最後に $4 Q$ のつり合いを確かめる．

3つ目の電荷を $0 < x < d$ に置く． $q$ の符号によらず，2つの電荷から受ける力が逆向きで大きさが等しければよいので

\frac{k Q | q |}{x^{2}} = \frac{k \cdot 4 Q | q |}{(d - x)^{2}}

より $(d - x)^{2} = 4 x^{2}$ ， $d - x = 2 x$ （ $0 < x < d$ なので正の側）， $x = d / 3$ である．

次に原点の $Q$ を考える． $4 Q$ からの斥力は $- x$ 向きで大きさ $4 k Q^{2} / d^{2}$ ．これを打ち消すには， $q$ から $+ x$ 向きの引力が要るので $q < 0$ で

\frac{k Q | q |}{(d / 3)^{2}} = \frac{4 k Q^{2}}{d^{2}}, | q | = \frac{4}{9} Q

よって $q = - \frac{4}{9} Q$ を $x = \frac{d}{3}$ に置く．

確かめに $4 Q$ を考える． $Q$ からの斥力は $+ x$ 向きに $4 k Q^{2} / d^{2}$ ， $q$ からの引力は $- x$ 向きに

\frac{k \cdot 4 Q \cdot \frac{4}{9} Q}{(2 d / 3)^{2}} = \frac{4 k Q^{2}}{d^{2}}

で，確かにつり合う．3つの電荷に働く力の和はいつも0（作用反作用）なので，2つがつり合えば残りもつり合う．

$Q$ と $4 Q$ が作る電場の $x$ 成分は， $0 < x < d$ で

E_{x} (x) = \frac{k Q}{x^{2}} - \frac{4 k Q}{(d - x)^{2}}

であり， $x = d / 3$ で0になる．微分すると

\frac{d E_{x}}{d x} = - \frac{2 k Q}{x^{3}} - \frac{8 k Q}{(d - x)^{3}} < 0

なので， $x = d / 3$ から $+ x$ 向きに $δ$ ずらすと $E_{x} \approx d E_{x} / d x \cdot δ < 0$ となる． $q < 0$ なので力 $q E_{x}$ は正，つまりずらした向きに働く．つり合いの位置からさらに離れていくので，戻らない（不安定）．

確かめ：負電荷 $q$ は近いほうの正電荷に強く引かれるので，少しでも近づいたほうへ引き寄せられる，という直観に合う． $x$ 軸に垂直にずらした場合は2つの引力の和が軸へ戻す向きになるが，どの向きにも安定な点電荷のつり合いは作れないことを，次の次の題材で確かめる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

1辺 $a$ の正三角形 ABC の頂点に点電荷を置く．正三角形の重心を G とする．

3つの頂点に同じ電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を置いたとき，G の電場を求めよ．
A，B に $q$ ，C に $- q$ を置いたとき，G の電場の大きさと向きを求めよ．
1. の G に電荷 $- q$ を置いたとき，それが受ける力の大きさと向きを求めよ．

**［図：正三角形の頂点の電荷と重心］**
1辺 a の正三角形 ABC の A と B に＋q，C に −q を置き，重心 G を示す．G における電場の向きや解答で求める距離は示さない．

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考え方 G から各頂点までの距離は等しい．(1) は対称性で打ち消し合う．(2) は (1) の配置に「C に $- 2 q$ を足したもの」と見ると，重ね合わせで1つの電荷の電場を求めるだけになる．

重心から頂点までの距離は，中線の長さ $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ の $\frac{2}{3}$ で $\frac{a}{\sqrt{3}}$ である．3つの電場は大きさが等しく，互いに $120^{\circ}$ ずつ違う向きを向く．3つのベクトルを足すと，正三角形を描いて元に戻るので，和は0である．よって G の電場は0．
C の $- q$ は，C の $+ q$ に $- 2 q$ を重ねたものと見られる．(1) から3つの $+ q$ の電場の和は0なので，G の電場は C に置いた $- 2 q$ の電場だけになる．大きさは

E = \frac{k \cdot 2 q}{(a / \sqrt{3})^{2}} = \frac{6 k q}{a^{2}}

で，負電荷へ近づく向き，つまり G から C へ向かう向きである．

$F = (- q) E$ なので，大きさ $\frac{6 k q^{2}}{a^{2}}$ ，向きは G から C と反対向き（辺 AB の中点へ向かう向き）である．

確かめ：成分で直接足してもよい．G から C への向きを正にとると，C の $- q$ の電場は正の向きに $3 k q / a^{2}$ ．A，B の $+ q$ の電場は，それぞれ A，B から遠ざかる向きで，G から C への向きと $60^{\circ}$ をなすので，成分は2つ合わせて $2 \times \frac{3 k q}{a^{2}} \cos 60^{\circ} = \frac{3 k q}{a^{2}}$ ，横の成分は打ち消し合う．和は $6 k q / a^{2}$ で一致する．G の $- q$ は C の $- q$ に押され，A，B の $+ q$ に引かれ，どれも AB の側へ向かう．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の小さな2つの球に同じ電荷 $q$ （ $q > 0$ ）を与え，同じ点から長さ $L$ の軽い絶縁体の糸で吊るしたところ，2つの球は距離 $r$ だけ離れて静止した．球の大きさは $r$ より十分小さく，点電荷とみなせるものとする．重力加速度の大きさを $g$ ， $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とする．

糸が鉛直となす角を $θ$ として，つり合いの式を書け．
$r$ が $L$ よりずっと小さいとして $q$ を $m, g, L, r, k$ で表し， $m = 1.0 \times 10^{- 3} kg$ ， $L = 0.50 m$ ， $r = 5.0 \times 10^{- 2} m$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ ， $k = 8.99 \times 10^{9} N m^{2} C^{- 2}$ のときの値を求めよ．
一方の球の電荷だけを $2 q$ にした．2つの糸の角は等しいままか． $r$ は何倍になるか．

**［図：同じ点から吊るした2つの帯電小球］**
質量 m，電荷 q の2つの小球を長さ L の糸で同じ点から吊るす．糸と鉛直の角 θ と球の間隔 r を示し，解答で導入する力の矢印は描かない．

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考え方 1つの球に働く力は重力，張力，もう一方の球からの斥力の3つ．斥力は水平なので，水平と鉛直に分けてつり合いを書く．

張力を $T$ ，斥力の大きさを $F = k q^{2} / r^{2}$ とすると

T \sin θ = \frac{k q^{2}}{r^{2}}, T \cos θ = m g

よって $\tan θ = \frac{k q^{2}}{m g r^{2}}$ ．幾何から $r = 2 L \sin θ$ である．

$r$ が $L$ よりずっと小さいと $θ$ も小さく， $\tan θ \approx \sin θ = \frac{r}{2 L}$ である．(1) に入れて

\frac{r}{2 L} = \frac{k q^{2}}{m g r^{2}}, q = \sqrt{\frac{m g r^{3}}{2 k L}}

数値を入れると

q = \sqrt{\frac{1.0 \times 10^{- 3} \times 9.8 \times (5.0 \times 10^{- 2})^{3}}{2 \times 8.99 \times 10^{9} \times 0.50}} = \sqrt{1.36 \times 10^{- 16}} \approx 1.2 \times 10^{- 8} C

である．

2つの球が受ける斥力は作用反作用で大きさが等しく，質量も等しいので，2つの糸の角は等しいままである．斥力は $k \cdot q \cdot 2 q / r^{2}$ になるので，(2) と同じ近似で $\frac{r}{2 L} = \frac{2 k q^{2}}{m g r^{2}}$ ， $r^{3}$ が2倍になる．よって $r$ は $2^{1 / 3} \approx 1.26$ 倍になる．

確かめ：(2) で $θ \approx r / (2 L) = 0.05$ で， $\tan θ$ と $\sin θ$ の差は $θ^{2} / 2$ の割合，およそ 0.1 % なので近似は十分よい． $q$ は電子 $7 \times 10^{10}$ 個ぶんで，ふつうの摩擦帯電で得られる量である．(3) で角が等しいのは電荷の大小によらないが，質量が違えば $m_{1} \tan θ_{1} = m_{2} \tan θ_{2}$ となって角は違う．小球の半径が $r$ よりずっと小さいことが，点電荷とみなす条件である．

ポイントここまでのまとめ

点電荷の電場は，大きさ $k | q | / r^{2}$ と向きを図に描いてから，成分に分けて足す．
3つの電荷のつり合いでは，1つの電荷の位置を決め，残りの電荷のつり合いで電荷の値を決める．力の和はいつも0なので，最後の1つは確かめになる．
静電気力だけによるつり合いは，どこかの向きに不安定になる．
対称な配置の電場は0になる．配置の一部を変えたときは，「対称な配置＋差の電荷」と見ると重ね合わせが簡単になる．
糸で吊るした帯電球では，作用反作用から2つの角は電荷の大小によらず等しい．小角の近似で電荷を測れる．