電荷と電場

電荷とクーロン力の演習

著者：柚木芹香

電場を成分に分け，電荷の符号と運動の向きを結びつけてください． $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

真空中の $x y$ 平面で， $A = (- a, 0)$ に電荷 $+ Q$ ， $B = (a, 0)$ に電荷 $- 2 Q$ を固定する． $a, Q > 0$ とする．

$P = (0, a)$ における電場の成分 $E_{x}, E_{y}$ を求めよ．
Pに置いた電荷 $- q$ （ $q > 0$ ）が受ける力の成分と向きを求めよ．固定電荷は動かない．

**［図：固定電荷A，Bと点P］**
A，B，Pと座標軸，電荷Qと−2Q，長さaを示す．

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考え方
各電場を成分に分けて加え，試験電荷を掛ける．

距離はともに $\sqrt{2} a$ ．Aの電場の成分はともに $k Q / (2 \sqrt{2} a^{2})$ ，Bの電場の成分は $k Q / (\sqrt{2} a^{2}), - k Q / (\sqrt{2} a^{2})$ だから

E_{x} = \frac{3 k Q}{2 \sqrt{2} a^{2}}, E_{y} = - \frac{k Q}{2 \sqrt{2} a^{2}} ．

$F = - q E$ より $F_{x} = - 3 k Q q / (2 \sqrt{2} a^{2})$ ， $F_{y} = k Q q / (2 \sqrt{2} a^{2})$ ．力は左上向きで，左向きの軸との角を $θ$ とすれば $\tan θ = 1 / 3$ である．負電荷では電場と力の向きが反転する．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

質量が各 $m = 2.0 \times 10^{- 9} kg$ の微粒子2個に，同じ個数 $n$ の電子を余分に与える．大きさを無視し，粒子間距離を $r$ とする． $k = 8.99 \times 10^{9} N m^{2} C^{- 2}$ ， $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ ， $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ を用いる．

電気力と粒子間の重力の大きさの比を求めよ．
電気的な反発が重力の引力を上回る最小の整数 $n$ を求めよ．

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考え方
力の比では距離が消える．電子の個数は整数である．

$F_{E} = k n^{2} e^{2} / r^{2}$ ， $F_{G} = G m^{2} / r^{2}$ より $F_{E} / F_{G} = k n^{2} e^{2} / (G m^{2}) = 0.863 n^{2} \approx 0.86 n^{2}$ ．
$0.863 n^{2} > 1$ より $n > 1.08$ だから最小は2個．1個では比が約0.86，2個では約3.5となる．比は無次元である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

電子が原点から $x$ 軸の正方向へ速さ $u$ で入射する． $0 < x < ℓ$ には上向きの一定電場 $E = E_{0} e_{y}$ があり，その外では電場は0である． $e_{y}$ は上向きの単位ベクトルである． $x = ℓ + D$ にスクリーンを置く．電子の質量は $m$ ，電荷は $- e$ とし，重力，端の電場，放射による損失を無視する．
運動中の電子の速さは光速より十分小さいとする．

電場中の軌道 $y (x)$ と，出るときの速度成分を求めよ．
スクリーン上の到達座標 $y_{s}$ を求めよ．

**［図：電子の入射と電場領域］**
幅ℓの電場領域と上向きのE₀，原点での右向き入射速度u，出口から距離Dのスクリーンを描く．

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考え方
電場中の等加速度運動と，出口後の等速運動をつなぐ．

$m \frac{d v_{x}}{d t} = 0$ ， $m \frac{d v_{y}}{d t} = - e E_{0}$ ．初期条件から $x = u t$ ， $y = - e E_{0} t^{2} / (2 m)$ なので $y = - e E_{0} x^{2} / (2 m u^{2})$ ．出口までの時間は $ℓ / u$ ，速度は $v_{x} = u$ ， $v_{y} = - e E_{0} ℓ / (m u)$ である．
電場のない領域の通過時間は $D / u$ ．したがって

y_{s} = - \frac{e E_{0} ℓ^{2}}{2 m u^{2}} - \frac{e E_{0} ℓ D}{m u^{2}} = - \frac{e E_{0} ℓ}{m u^{2}} (\frac{ℓ}{2} + D) ．

$D = 0$ では出口の位置に一致する．古典的な運動方程式には最大速さを光速で割った量が十分小さいこと，端の電場を無視するにはその領域の長さと $ℓ$ の比が十分小さいことが必要である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

下向きの電場 $E_{0} = 2.00 \times 10^{5} V m^{- 1}$ で，負に帯電した4個の油滴を静止させた．各油滴の重力から浮力を引いた下向きの力 $F$ を別の測定で求めたところ，次の値を得た．電場の誤差は無視し， $F$ の誤差の限界を $0.08 \times 10^{- 14} N$ とする．

油滴	A	B	C	D
$F / (10^{- 14} N)$	6.40	9.60	12.80	16.00

電荷の絶対値を求めよ．
電荷の絶対値は $e$ の整数倍で，4滴には隣り合う整数倍が含まれると仮定する． $e$ と各整数を推定し，その整数を固定したとき全測定と両立する $e$ の範囲を求めよ．

**［図：負に帯電した油滴の測定］**
油滴1個に下向きの電場E₀と，下向きの力Fを示す．滴の電荷の符号だけを記す．

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考え方
つり合いから電荷を求め，差から共通の単位を探す．

上向きの電気力は $| q | E_{0}$ ． $| q | = F / E_{0}$ より順に $3.20, 4.80, 6.40, 8.00$ 倍の $10^{- 19} C$ である．誤差限界は $4.0 \times 10^{- 21} C$ ．
差はすべて $1.60 \times 10^{- 19} C$ なので $e$ をこの値，整数を $2, 3, 4, 5$ と推定する．電荷の測定値を $q_{i}^{obs}$ ，誤差限界を $δ q$ とすると，許される範囲は $(q_{i}^{obs} - δ q) / n_{i} \leq e \leq (q_{i}^{obs} + δ q) / n_{i}$ の共通部分である．Dの範囲が最も狭く， $1.592 \times 10^{- 19} C \leq e \leq 1.608 \times 10^{- 19} C$ ．隣り合う整数倍という仮定がなければ，このデータだけでは推定値の整数分の1も排除できない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

$(a, 0, 0), (- a, 0, 0), (0, a, 0), (0, - a, 0)$ に，同じ正電荷 $Q$ を固定する．原点に質量 $m$ ，電荷 $- q$ の粒子を置く． $a, Q, q > 0$ とし，重力を無視する．

粒子を摩擦のない案内で $z$ 軸上に拘束し，小振幅 $A$ で動かしたときの角振動数を求めよ．
案内を外し，原点から $x$ 方向にわずかにずらしたときの力を1次まで求め，3次元での安定性を判定せよ．

**［図：四つの固定電荷とz軸の案内］**
xy平面の4電荷Qと原点を通るz方向の案内を描く．座標aと負電荷−qを示す．

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考え方
安定性は変位後の力で判定する．拘束方向と自由な方向を分ける．

4電荷の $z$ 成分を加えると $E_{z} = 4 k Q z / (a^{2} + z^{2})^{3 / 2}$ ． $A / a$ が十分小さいなら $F_{z} \approx - 4 k Q q z / a^{3}$ ． $m \frac{d^{2} z}{d t^{2}} = - 4 k Q q z / a^{3}$ より $ω = \sqrt{4 k Q q / (m a^{3})}$ ．
$x$ 軸上の2電荷の電場は $k Q [(a + x)^{- 2} - (a - x)^{- 2}] \approx - 4 k Q x / a^{3}$ ． $y$ 軸上の2電荷からは $2 k Q x / (a^{2} + x^{2})^{3 / 2} \approx 2 k Q x / a^{3}$ ．合計は $E_{x} \approx - 2 k Q x / a^{3}$ ，従って $F_{x} \approx 2 k Q q x / a^{3}$ で変位と同じ向きである．3次元では不安定である．近似条件は $A / a$ または $| x | / a$ が十分小さいことであり，力が0でも安定とは限らない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

$x = a$ に電荷 $+ q$ ， $x = - a$ に電荷 $- q$ を固定する． $a, q > 0$ ， $r > a$ とする．

軸上の $P = (r, 0)$ と，垂直二等分線上の $S = (0, r)$ での電場を厳密に求めよ．
$a / r$ が十分小さいとき，各電場の先頭の項と，両点での電場の大きさの比を求めよ．先頭の項に対する相対補正も $(a / r)^{2}$ の項まで求めよ．

**［図：二つの電荷と観測点P，S］**
x軸上の2電荷と点P，Sを描き，距離rと半間隔aを示す．

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考え方
近似する前に差をまとめ，遠方で打ち消される項を調べる．

Pでは $E_{x} = k q [(r - a)^{- 2} - (r + a)^{- 2}] = 4 k q a r / (r^{2} - a^{2})^{2}$ ， $E_{y} = 0$ ．Sでは上下の成分が消え， $E_{x} = - 2 k q a / (r^{2} + a^{2})^{3 / 2}$ ， $E_{y} = 0$ ．
$s = a / r$ と置くと，Pの成分は $(4 k q a / r^{3}) (1 - s^{2})^{- 2} \approx (4 k q a / r^{3}) (1 + 2 s^{2})$ ，Sの成分は $- (2 k q a / r^{3}) (1 + s^{2})^{- 3 / 2} \approx - (2 k q a / r^{3}) (1 - 3 s^{2} / 2)$ ．先頭の項はともに逆3乗に比例し，大きさの比は2．相対補正はそれぞれ $2 s^{2}, - 3 s^{2} / 2$ で，比も $2 (1 + 7 s^{2} / 2)$ と補正される．次の項は $s^{4}$ の次数であり， $a / r$ が十分小さい範囲でだけこの近似が使える．

ポイント教える人へ

電場の向きと，負電荷が受ける力の向きを別々に説明させる．
電場領域の出口で，位置と速度の両方をつなげているか確かめる．
油滴の整数の割り当ては，測定だけでなく仮定にも依存することを問う．
つり合いと安定性，拘束下の安定性と自由な運動の安定性を区別させる．