運動を記述する

円運動の運動学

著者：柚木芹香

問い

回転しているCDの端の点と，そこから半径の半分の位置にある点を比べます．どちらが「速い」でしょうか．また，一定の速さで円を描いて回る点は，速さが変わらないのに「加速している」といえるでしょうか．電車でカーブを曲がるとき，速さが一定でも体が外側へ押されると感じるのはなぜでしょうか．まず自分で考えてみてください．

考えてみる

CDは1周するのにかかる時間が，端でも半径の半分の位置でも同じです．同じ時間に，端の点のほうが大きい円を描くので，進む道のりが長くなります．したがって速さは端のほうが大きく，円周は半径に比例するので，半径が2倍なら速さも2倍になりそうです．一方，「単位時間にどれだけ回るか」という見方なら，どの点も同じ割合で回っています．この「回る割合」を表す量が必要で，これを角速度と呼び，速さと結びつけます．

後半の問いは，加速度の定義に戻って考えます．加速度は速度ベクトルの時間変化率でした．速度ベクトルは速さと向きの両方を持つので，速さが一定でも向きが変わっていれば速度は変化しており，加速度は0ではありません．円運動では速度の向きが常に変わり続けるので，加速度があります．その向きは，速度の向きの変わり方から考えると，円の中心を向くことが予想できます．以下で，これを式で確かめます．

角度と角速度

角度の測り方を1つ決めておきます．半径 $r$ の円で，中心角 $θ$ に対する弧の長さを $s$ とします．

定義弧度法（ラジアン）

中心角 $θ$ を，弧の長さ $s$ と半径 $r$ の比 $θ = \frac{s}{r}$ で測る．単位はラジアン（ $rad$ ）で，1周は $2 π rad$ である．

これで，弧の長さは $s = r θ$ とごく単純に書けます．度数法では $s = \frac{π}{180} r θ$ のように係数が付くので，回転の計算ではラジアンを使います．

定義角速度・周期・振動数

円周上を動く点の，円の中心のまわりの回転角を $θ (t)$ とする．

ω = \frac{d θ}{d t}

を角速度という．一定の角速度での1周の時間を周期 $T$ ，1秒あたりの回転数を振動数（回転数） $f$ とすると，

ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f, f = \frac{1}{T}

この節では，回転角が増える向き（反時計回り）を正の向きに選び，回転の向きは途中で逆転しないものとします．このとき $ω > 0$ で，逆向きに回る場合は $ω < 0$ となるので，一般には速さは $r | ω |$ と書きます．

弧の長さ $s = r θ$ を時間で微分すると，円周に沿った速さは

v = \frac{d s}{d t} = r \frac{d θ}{d t} = r ω

となります．角速度はどの点でも同じ，速さは半径に比例します．冒頭の問いの答えは，端の点のほうが半径の分だけ速い，です．

位置ベクトルから速度・加速度へ

半径 $R$ の円周上を一定の角速度 $ω$ で回る点を，座標で表します．時刻 $t = 0$ に $x$ 軸上の点 $(R, 0)$ を出発するとして，位置ベクトルは

r (t) = (R \cos ω t, R \sin ω t)

です．成分ごとに微分します（連鎖律を使います）．

v = \frac{d r}{d t} = (- R ω \sin ω t, R ω \cos ω t)

a = \frac{d v}{d t} = (- R ω^{2} \cos ω t, - R ω^{2} \sin ω t) = - ω^{2} r

ここから読み取れることを整理します．

法則等速円運動の速度と加速度

速さは $| v | = R ω$ で一定．
速度は位置ベクトルと垂直（ $v \cdot r = 0$ ）．つまり円の接線方向を向く．
加速度は $a = - ω^{2} r$ ．位置ベクトルと逆向きなので，常に円の中心を向く．その大きさ $a = R ω^{2} = \frac{v^{2}}{R} = v ω$ を向心加速度という．

最初の問いの2点では，角速度 $ω$ が等しく半径が $R$ と $R / 2$ です．速さは $R ω$ と $R ω / 2$ ，向心加速度は $R ω^{2}$ と $R ω^{2} / 2$ となり，どちらも端が2倍です．「速さが一定なのに加速度がある」という疑問は，加速度が速度ベクトルの変化率であることを思い出せば解けます．カーブを曲がる電車の中で体が外側へ押される感じがするのは，電車の加速度が内側を向いているためです（なぜ「押される」と感じるのかは第4章で扱います）．

速さが変わる円運動

角速度が時間とともに変わる場合も，同じ手順で扱えます．半径 $R$ の円周上で，回転角が時間の関数 $θ (t)$ のとき，

r = R (\cos θ, \sin θ)

です．接線方向（回転角が増える向き）の単位ベクトルを $e_{t} = (- \sin θ, \cos θ)$ ，中心向きの単位ベクトルを $e_{n} = (- \cos θ, - \sin θ)$ とします．また時間微分を $\dot{θ} = \frac{d θ}{d t}$ ， $\ddot{θ} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}$ と書きます．微分すると，積の微分から

v = R \dot{θ} e_{t}, a = R \ddot{θ} e_{t} + R {\dot{θ}}^{2} e_{n}

となります（ ${\dot{e}}_{t} = - \dot{θ} r / R$ を使いました）．

法則接線加速度と法線加速度

加速度は接線方向と中心方向に分解できる．

a_{t} = R \ddot{θ} = R \frac{d ω}{d t} = \frac{d v}{d t}, a_{n} = R ω^{2} = \frac{v^{2}}{R}

$a_{t}$ は速さの変化を， $a_{n}$ は向きの変化を表す（ $\dot{θ} > 0$ として， $v = R \dot{θ}$ を速さとしたときの式である）．全加速度の大きさは $a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}$ である．

等速円運動は $a_{t} = 0$ の特別な場合です．

ポイントここまでのまとめ

角度はラジアンで測り，弧の長さは $s = r θ$ ．角速度 $ω = \frac{d θ}{d t}$ ，周期 $T$ ，振動数 $f$ の間に $ω = 2 π / T = 2 π f$ が成り立つ．
回転角が増える向きを正とし，回転が逆転しないとき，速さは $v = r ω$ で，角速度はどの点でも同じ，速さは半径に比例する（一般には $v = r | ω |$ ）．
等速円運動の加速度は $a = - ω^{2} r$ で，常に円の中心を向く．大きさは $r ω^{2} = v^{2} / r$ ．速さが一定でも，向きが変わるので加速度がある．
速さが変わる円運動では，加速度は接線成分 $a_{t} = \frac{d v}{d t}$ と法線成分 $a_{n} = v^{2} / r$ に分かれる．