運動を記述する

円運動と弧度法

著者：柚木芹香

定理数学の道具：弧度法と小角近似

弧度法のよい点は，三角関数の微分が簡潔になることである． $\frac{d}{d θ} \sin θ = \cos θ$ は， $θ$ がラジアンで測られているときに限って成り立つ．

もう1つ， $θ$ が小さいとき（ラジアンで）次の近似が使える．

\sin θ \approx θ, \tan θ \approx θ, \cos θ \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}

理由は図形から分かる．半径1の円で，中心角 $θ$ に対する弧の長さは $θ$ である． $θ$ が小さいと，弧とその両端を結ぶ弦はほとんど重なる．弦の長さは $2 \sin (θ / 2)$ なので，弧と弦が近いことは $2 \sin (θ / 2) \approx θ$ ，すなわち小さい角 $x = θ / 2$ で $\sin x \approx x$ であることを意味する． $\cos θ$ の式は， $\cos θ = 1 - 2 \sin^{2} (θ / 2) \approx 1 - θ^{2} / 2$ から得られる．

［図：半径1の円の弧と弦，sinθ，tanθ］

半径1の円で，中心角θに対する弧の長さθ（青），弦（黒），sinθ（緑），tanθ（橙）を並べて比べる図．初期状態はθ=0.5rad．θが小さいと弧と弦とsinθとtanθはほとんど同じ長さで，スライダーでθを大きくするとtanθが先に大きく離れ，sinθも少しずつ小さくなる．

練習 1． $θ = 0.05 rad$ のとき， $\sin θ$ の近似値と，近似の誤差を見積もれ．

答え： $\sin 0.05 \approx 0.05$ ．真の値は $0.049979$ なので相対誤差は約 0.04 % である．

練習 2． 月の見かけの大きさ（視直径）は約 ${0.5}^{\circ}$ ，地球からの距離は約 $3.8 \times 10^{5} km$ である．月の直径を見積もれ．

答え： ${0.5}^{\circ} = 0.5 \times π / 180 \approx 8.7 \times 10^{- 3} rad$ なので，直径は $3.8 \times 10^{5} \times 8.7 \times 10^{- 3} \approx 3.3 \times 10^{3} km$ ．

練習 3． (1) $30^{\circ}$ ， $135^{\circ}$ をラジアンで， $1 rad$ を度で表せ．(2) 半径 $2.0 m$ の円で，中心角 $0.30 rad$ の弧の長さを求めよ．

答え：(1) $π / 6 \approx 0.52 rad$ ， $3 π / 4 \approx 2.36 rad$ ， $1 rad = 180^{\circ} / π \approx {57.3}^{\circ}$ ．(2) $2.0 \times 0.30 = 0.60 m$ ．

練習 4． 小角近似で $\cos 0.1$ と $\tan 1^{\circ}$ の値を求めよ．

答え： $\cos 0.1 \approx 1 - 0.01 / 2 = 0.995$ （真の値 $0.99500$ ）． $1^{\circ} = π / 180 \approx 0.01745 rad$ なので $\tan 1^{\circ} \approx 0.0175$ （真の値 $0.01746$ ）．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R = 0.20 m$ の円周上を一定の角速度 $ω$ で回る点がある．位置ベクトルが $r = (R \cos ω t, R \sin ω t)$ と表されるとき，

**［図：円上の位置ベクトル］**
半径Rの円上の点を中心からの位置ベクトルで示す．

速度 $v$ と加速度 $a$ を成分の微分で求め， $a = - ω^{2} r$ を示せ．
毎秒5回転するときの，速さと加速度の大きさを求めよ．重力加速度の何倍か．

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考え方 各成分を時間で微分する．位置ベクトルと加速度ベクトルの成分を見比べると，比例関係に気づく．

成分ごとに微分して，

v = (- R ω \sin ω t, R ω \cos ω t)

a = (- R ω^{2} \cos ω t, - R ω^{2} \sin ω t) = - ω^{2} (R \cos ω t, R \sin ω t) = - ω^{2} r

内積 $v \cdot r = - R^{2} ω \sin ω t \cos ω t + R^{2} ω \cos ω t \sin ω t = 0$ であり，速度は位置ベクトルと垂直である．

$f = 5 s^{- 1}$ より $ω = 2 π f = 10 π \approx 31 rad s^{- 1}$ ．速さは $v = R ω = 0.20 \times 31.4 \approx 6.3 m s^{- 1}$ ，加速度の大きさは $a = R ω^{2} = 0.20 \times (31.4)^{2} \approx 2.0 \times 10^{2} m s^{- 2}$ ．重力加速度 $9.8 m s^{- 2}$ の約 $20$ 倍である．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

アナログ時計の時針と分針は，12時ちょうどに重なっている．

**［図：12時の時計の針］**
12時ちょうどに重なる時針と分針を，長さと線種を変えて示す．

時針，分針の角速度（ $rad \min^{- 1}$ ）を求めよ．
時針から見た分針の相対角速度を求め，次に2つの針が重なるのは何分後かを求めよ．
12時以降，2つの針が初めて直角をなすのは何分後か．

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考え方 相対運動と同様に，角速度の差を考える．針の重なりは，分針が時針より $2 π$ だけ多く回ったときに起こる．

分針は60分で $2 π$ ，時針は720分で $2 π$ 回るので， $ω_{分} = \frac{2 π}{60}$ ， $ω_{時} = \frac{2 π}{720}$ $rad \min^{- 1}$ ．
時針から見た分針の相対角速度は

ω_{分} - ω_{時} = 2 π (\frac{1}{60} - \frac{1}{720}) = \frac{11 \cdot 2 π}{720} rad \min^{- 1}

分針が時針に追いついて再び重なるには，相対角が $2 π$ 進む必要があるから， $t = 2 π / \frac{22 π}{720} = \frac{720}{11} \approx 65.5$ 分後（約1時間5分27秒）．

相対角が $π / 2$ になる時刻は $t = \frac{π / 2}{22 π / 720} = \frac{180}{11} \approx 16.4$ 分後．

例題 3

オリジナル ★☆☆☆☆

レコード盤が毎分 $33 \frac{1}{3}$ 回転で回っている．回転軸から $0.12 m$ の位置にある盤上の点の速さを求めよ．また，その点の加速度の大きさを求めよ．

**［図：レコード盤上の点］**
回転軸から0.12 mの点を示す．回転数は毎分33⅓回．

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考え方 毎分の回転数を毎秒に直して振動数 $f$ を出し， $ω = 2 π f$ から $v = r ω$ と $a = r ω^{2}$ を求める．

$f = 33 \frac{1}{3}$ 回転/分 $= \frac{100 / 3}{60} = \frac{5}{9} s^{- 1}$ なので， $ω = 2 π f = \frac{10 π}{9} \approx 3.49 rad s^{- 1}$ ．速さは $v = r ω = 0.12 \times 3.49 \approx 0.42 m s^{- 1}$ ，加速度の大きさは $a = r ω^{2} = 0.12 \times {3.49}^{2} \approx 1.5 m s^{- 2}$ （向きは中心向き）である．

ポイントここまでのまとめ

ラジアンで測った角では $\frac{d}{d θ} \sin θ = \cos θ$ が成り立つ．円運動の微分は，角をラジアンにそろえてから行う．
角が小さい（ラジアンで1より十分小さい）とき， $\sin θ \approx θ$ ， $\tan θ \approx θ$ ， $\cos θ \approx 1 - θ^{2} / 2$ と近似できる．
位置ベクトル $(R \cos ω t, R \sin ω t)$ を成分ごとに2回微分すると $a = - ω^{2} r$ が出る．
針の問題のように角速度の差を考えると，追いつく時刻や直角になる時刻が相対運動と同じ手順で求まる．