運動を記述する

円運動の演習

著者：柚木芹香

円運動では，まず半径と角速度を決めてから速さと加速度を求めます．加速度の向きがどこを向くかも毎回確かめてください．

演習

演習 1

オリジナル ★★☆☆☆

地球は $24$ 時間で1回自転する（ここでは1日を $8.64 \times 10^{4} s$ とする）．地球の半径を $6.4 \times 10^{6} m$ とする．

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考え方 北緯 $φ$ の点は，自転軸のまわりを半径 $R \cos φ$ の円周上で回る．角速度は全地点で共通である．

自転の角速度は $ω = 2 π / (8.64 \times 10^{4}) \approx 7.3 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ ．

赤道では円運動の半径が地球の半径 $R$ に等しいので， $v = R ω = 6.4 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{- 5} \approx 4.7 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ．加速度は $a = R ω^{2} \approx 6.4 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{- 5})^{2} \approx 3.4 \times 10^{- 2} m s^{- 2}$ （重力加速度の約 0.3 %）．
北緯 $35^{\circ}$ では半径 $R \cos 35^{\circ} \approx 0.82 R$ なので，速さ $v \approx 3.8 \times 10^{2} m s^{- 1}$ ，加速度 $a \approx 2.8 \times 10^{- 2} m s^{- 2}$ ．加速度は円運動の中心，つまり自転軸に向かう向きであり，地球の中心を向くのは赤道上だけである．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R = 0.50 m$ の円周上を，点が静止の状態から回転角 $θ = \frac{1}{2} α t^{2}$ （ $α = 2.0 rad s^{- 2}$ ）で動き始める．

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考え方 接線加速度は $R \ddot{θ}$ ，法線加速度は $R {\dot{θ}}^{2}$ である．

$\dot{θ} = ω = α t$ ， $\ddot{θ} = α$ ．

$t = 1.5 s$ で $ω = 3.0 rad s^{- 1}$ ． $a_{t} = R α = 0.50 \times 2.0 = 1.0 m s^{- 2}$ ， $a_{n} = R ω^{2} = 0.50 \times 9.0 = 4.5 m s^{- 2}$ ．加速度の大きさは $\sqrt{{1.0}^{2} + {4.5}^{2}} \approx 4.6 m s^{- 2}$ ．速度は接線方向を向くので，加速度と速度のなす角 $ψ$ は $\tan ψ = a_{n} / a_{t} = 4.5$ ， $ψ \approx 78^{\circ}$ である．
$ψ = 45^{\circ}$ は $a_{n} = a_{t}$ と同値． $R α^{2} t^{2} = R α$ より $t = 1 / \sqrt{α} = 1 / \sqrt{2.0} \approx 0.71 s$ ．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

等速円運動の加速度が中心を向くことを，図形で示す．半径 $R$ ，速さ $v$ の等速円運動で，短い時間 $Δ t$ の間に回転角が $Δ θ$ だけ増える．

時刻 $t$ と $t + Δ t$ の速度ベクトルを同じ始点から描き，速度の変化 $Δ v$ を図示せよ．
$| Δ v |$ を $v, Δ θ$ で表し，小角近似を使って加速度の大きさ $v^{2} / R$ を求めよ．また， $Δ t \to 0$ で $Δ v$ の向きが中心向きになることを示せ．

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考え方 2つの速度ベクトルは大きさが等しく，向きの差が $Δ θ$ ．その差のベクトルは二等辺三角形の底辺になる．

2つの速度ベクトルを始点を共通にして描くと，長さ $v$ の2辺が頂角 $Δ θ$ をなす二等辺三角形ができ，底辺が $Δ v$ である．
底辺の長さは $| Δ v | = 2 v \sin \frac{Δ θ}{2} \approx v Δ θ$ （小角近似）． $Δ θ = ω Δ t$ なので，

a = lim_{Δ t \to 0} \frac{| Δ v |}{Δ t} = v ω = \frac{v^{2}}{R}

二等辺三角形の底角は $\frac{π - Δ θ}{2}$ であり， $Δ t \to 0$ では $π / 2$ に近づく．よって $Δ v$ は速度に垂直で，速度の向きが曲がっていく側，つまり中心を向く．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

長さ $0.80 m$ の糸の先に石をつけ，床から高さ $1.25 m$ の水平面内で，毎秒 $2.0$ 回転の等速円運動をさせた（速く回すので糸は水平とみなし，重力による糸の傾きは無視する）．

石の加速度の大きさと向きを求めよ．
石が糸から離れる瞬間に，石の速度は円の接線方向を向く．石が離れてから床に着くまでの水平距離と，着地点の回転軸からの距離を求めよ．重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ ，空気の抵抗は無視する．
回転数を変えずに糸の長さを2倍にすると，石の加速度は何倍になるか．

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考え方 円運動では速さ $v = r ω$ ，加速度 $a = r ω^{2}$ ．離れた後は，水平方向に等速，鉛直方向に自由落下する放物運動になる．

$ω = 2 π \times 2.0 = 4 π \approx 12.6 rad s^{- 1}$ ． $a = r ω^{2} = 0.80 \times (12.6)^{2} \approx 1.3 \times 10^{2} m s^{- 2}$ ．向きは円の中心（回転軸）である．
石の速さは $v = r ω = 0.80 \times 12.6 \approx 10 m s^{- 1}$ ．離れる瞬間の速度は水平で，接線方向である．落下の時間は $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ より $t = \sqrt{2 \times 1.25 / 9.8} \approx 0.505 s$ ．水平距離は，離れた点から接線方向に $10.05 \times 0.505 \approx 5.08 m$ ，約 $5.1 m$ ．離れた点は回転軸から $0.80 m$ で，接線は半径に垂直だから，着地点の回転軸からの水平距離は $\sqrt{{0.80}^{2} + {5.08}^{2}} \approx 5.14 m$ ，これも約 $5.1 m$ である．糸の長さに比べて飛ぶ距離が長いので，2つの距離の差は $0.06 m$ ほどしかない．
回転数が同じなら $ω$ は同じで， $a = r ω^{2}$ は $r$ に比例するので2倍である．

ポイント教える人へ