運動を記述する

相対運動の演習

著者：柚木芹香

「だれから見た，だれの速度か」を最初に書き，速度の合成の式に添字をつけて立式してください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

自転車が点Pを一定の速さ $5.0 m s^{- 1}$ で通過した．その $20 s$ 後に，オートバイが同じ点Pを同じ向きに一定の速さ $15 m s^{- 1}$ で通過した．

**［図：同じ点を通過する二台］**
自転車が点Pを通過した20 s後にオートバイが同じ点を通過する．各速さと方向を示す．

オートバイが自転車に追いつくのは，オートバイがPを通過してから何秒後か．
追いつく地点はPから何mか．

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考え方 オートバイから見た自転車の相対速度と，通過した瞬間の相対位置（自転車が先にいる距離）に注目する．

オートバイが通過する時点で，自転車は $5.0 \times 20 = 100 m$ 先にいる．自転車から見たオートバイの相対速度は $15 - 5.0 = 10 m s^{- 1}$ だから，詰まるまでに $100 / 10 = 10 s$ かかる．
オートバイはその間に $15 \times 10 = 150 m$ 進む．確認として，自転車は $5.0 \times (20 + 10) = 150 m$ 進んでいて，一致する．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

対気速度（空気に対する速さ）が $60 m s^{- 1}$ の飛行機で，真北にある $120 km$ 離れた空港へ向かう．空気は西から東へ $20 m s^{- 1}$ で動いている（西風）．

**［図：空港と西風］**
出発点の真北120 kmに空港があり，風は東向き20 m s⁻¹．機首の向きは描かない．

機首をどちらへ向ければ，空港まで真北に進めるか．
そのとき，地面に対する飛行機の速さと，所要時間を求めよ．
風がなければ所要時間は何分か．

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考え方 地面に対する速度は，空気に対する速度と風の速度の和である．東向きの成分を打ち消すように機首を傾ける．

東向きに $x$ ，北向きに $y$ をとる．機首を真北から西へ $φ$ だけ傾けると，空気に対する速度は $60 (- \sin φ, \cos φ)$ ，風は $(20, 0)$ である．

東西成分が0になる条件は $- 60 \sin φ + 20 = 0$ ，すなわち $\sin φ = 1 / 3$ ， $φ \approx 19^{\circ}$ ．機首を真北から西へ約 $19^{\circ}$ 傾ける．
地面に対する速さは北向き成分 $60 \cos φ = 60 \sqrt{1 - 1 / 9} = 40 \sqrt{2} \approx 57 m s^{- 1}$ ．所要時間は $1.2 \times 10^{5} / (40 \sqrt{2}) \approx 2.1 \times 10^{3} s$ ，約 $35$ 分である．
風がなければ $1.2 \times 10^{5} / 60 = 2.0 \times 10^{3} s$ ，約 $33$ 分である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

一定の速さ $10 m s^{- 1}$ で右向きに走る電車の床の上で，乗客がボールを床から真上に初速度 $9.8 m s^{- 1}$ で投げ上げた（電車に対して真上）．重力加速度は $g = 9.8 m s^{- 2}$ で，空気の抵抗は無視する．

電車の中から見たボールの運動を述べよ．ボールが床に戻るまでの時間と最高点の高さを求めよ．
地上から見たボールの初速度の大きさと向き，ボールが投げた位置から水平に進む距離，軌道の概形を述べよ．

**［図：電車の中と地上から見たボールの軌道］**
右向きに走る電車の床から，ボールを電車に対して真上に投げ上げる．左は電車の中から見た軌道で，鉛直な直線を往復する．右は地上から見た軌道で，電車が右へ進む間にボールも水平に進むため放物線になる．最高点の高さは二つの図で同じ．

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考え方 電車の中から見る運動は，電車の速度を差し引くだけで得られる．水平方向と鉛直方向は独立に扱える．

電車系では，投げ上げ直後の速度は鉛直上向きの $9.8 m s^{- 1}$ ，加速度は鉛直下向きの $g$ である．ボールは同じ鉛直線上を往復する．戻る時間は $t = 2 v_{0} / g = 2.0 s$ ，最高点の高さは $v_{0}^{2} / (2 g) = 4.9 m$ ．
地上系での初速度は $(10, 9.8) m s^{- 1}$ ．大きさは $\sqrt{100 + 96.04} \approx 14 m s^{- 1}$ ，水平から $\arctan (9.8 / 10) \approx 44^{\circ}$ 上向きである．水平には等速 $10 m s^{- 1}$ で $2.0 s$ 進むので $20 m$ ．軌道は放物線であり，最高点の高さは電車系と同じ $4.9 m$ （高さは水平方向に動く系で変わらない）である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

一定の速さで下流から上流へ向かう船が，橋の真下で川に浮き輪を落とした．船は $10$ 分間そのまま進んでから，落としたことに気づいて直ちに引き返し，橋から下流へ $1.8 km$ の地点で浮き輪に追いついた．川の流速を求めよ．船のエンジンの出力は一定で，水に対する船の速さは上りも下りも同じとする．

**［図：橋と浮き輪］**
橋で落とした浮き輪と，橋から下流1.8 kmの再会地点を示す．船は10分間上ってから引き返す．

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考え方 川と一緒に動く系（水系）に移ると，浮き輪は静止し，船は一定の速さで遠ざかって同じ速さで戻ってくる．

水系では浮き輪は静止している．船の水に対する速さは行きも帰りも同じなので，離れる時間と戻る時間は等しく，どちらも $10$ 分である．つまり浮き輪を落としてから拾うまでに $20$ 分 $= 1200 s$ が経過した．その間に浮き輪は川の流れに乗って橋から $1.8 km = 1800 m$ 下流へ運ばれた．よって流速は

u = \frac{1800}{1200} = 1.5 m s^{- 1} (= 5.4 km / h)

である．船の水に対する速さは分からなくても，流速は求まる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

海上で，船Aは時刻0に原点を出て東向きに一定の速さ $6.0 m s^{- 1}$ で進む．船Bは時刻0に原点から東へ $800 m$ ，北へ $700 m$ の位置にあり，速度 $(- 2.0, - 6.0) m s^{- 1}$ で進む（東向きを $x$ ，北向きを $y$ とする）．

**［図：二隻の船の初期配置］**
時刻0の船Aと船Bの位置と，地面に対する各速度を示す．

Aから見たBの相対速度を求めよ．
2船が最も近づく時刻と，そのときの距離を求めよ．
最接近距離が $100 m$ 以上でなければ危険とするとき，この2船は危険か．

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考え方 相対位置は $r_{0} + u t$ の形になる．最接近は相対位置と相対速度が垂直になる時刻である．数学の道具の公式を使う．

$u = v_{BA} = (- 2.0, - 6.0) - (6.0, 0) = (- 8.0, - 6.0) m s^{- 1}$ ． $| u | = 10 m s^{- 1}$ ．
$r_{0} = (800, 700) m$ なので $r_{0} \cdot u = - 6400 - 4200 = - 10600$ ， ${| u |}^{2} = 100$ ．よって $t^{*} = 10600 / 100 = 106 s$ ．このとき

r (t^{*}) = (800 - 8.0 \times 106, 700 - 6.0 \times 106) = (- 48, 64) m

であり，距離は $\sqrt{48^{2} + 64^{2}} = 80 m$ ．確認として $r \cdot u = 384 - 384 = 0$ で垂直になっている．

$80 m < 100 m$ なので危険である．

ポイント教える人へ

「走ると雨が斜めに見えるのはなぜか」を，「走る人から見て後ろへ動くから」と言葉で説明できるか確かめる．矢印を2本描かせ，差のベクトルを作らせると定着する．
つまずきやすいのは引き算の順序である．「Aから見たBの速度は $v_{B} - v_{A}$ 」を，具体的な車や船で確かめさせる．
川渡りでは「船首の向き」と「実際に進む向き」を混同しがちである．「水に対する速度」と「地面に対する速度」を別の矢印で描かせる．
最接近が「相対位置と相対速度が垂直」で決まる理由を，図でも説明できるか確かめる．
加速度が等速の系で変わらない点は第4章の入り口である．ここでは導入にとどめる．