運動を記述する

相対運動と最接近

著者：柚木芹香

定理数学の道具：最も近づく時刻（二次関数と内積）

2つの物体が等速で動くとき，相対位置は $r (t) = r_{0} + u t$ と表せます．ここで $r_{0}$ は $t = 0$ の相対位置， $u$ は一定の相対速度です．両者の距離 $d (t) = | r (t) |$ が最小になる時刻を求めます（相対速度は $u \neq 0$ とします． $u = 0$ なら距離は一定です）．

距離の二乗は，内積の定義より

d^{2} = {| r_{0} |}^{2} + 2 (r_{0} \cdot u) t + {| u |}^{2} t^{2}

という $t$ の二次関数です．平方完成すると，

d^{2} = {| u |}^{2} {(t + \frac{r_{0} \cdot u}{{| u |}^{2}})}^{2} + {| r_{0} |}^{2} - \frac{(r_{0} \cdot u)^{2}}{{| u |}^{2}}

となるので，最接近の時刻と最小距離は

t^{*} = - \frac{r_{0} \cdot u}{{| u |}^{2}}, d_{min}^{2} = {| r_{0} |}^{2} - \frac{(r_{0} \cdot u)^{2}}{{| u |}^{2}}

です． $t^{*}$ は $r (t^{*}) \cdot u = 0$ を満たします．つまり最接近の瞬間には，相対位置と相対速度が垂直になります． $t^{*} < 0$ なら， $t \geq 0$ の範囲では $t = 0$ が最小で，最小距離は $| r_{0} |$ です（この場合は最接近の瞬間の垂直条件は成り立ちません）．

練習 1． $r_{0} = (8, 6) m$ ， $u = (- 2, - 1) m s^{- 1}$ のとき，最接近の時刻と最小距離を求めよ．

練習 2． $r_{0} = (10, 0) m$ ， $u = (- 2, 2) m s^{- 1}$ のとき，最接近の時刻と最小距離を求め，その瞬間に $r (t^{*}) \cdot u = 0$ となることを確かめよ．

練習 3． $r_{0} = (3, 4) m$ ， $u = (1, 1) m s^{- 1}$ のとき， $t \geq 0$ での最小距離を求めよ．

答え：(1) $r_{0} \cdot u = - 22$ ， ${| u |}^{2} = 5$ より $t^{*} = 4.4 s$ ． $d_{min}^{2} = 100 - 484 / 5 = 3.2$ なので， $d_{min} = \sqrt{3.2} \approx 1.8 m$ ．(2) $r_{0} \cdot u = - 20$ ， ${| u |}^{2} = 8$ より $t^{*} = 2.5 s$ ． $r (t^{*}) = (5, 5) m$ で， $d_{min} = 5 \sqrt{2} \approx 7.1 m$ ． $(5, 5) \cdot (- 2, 2) = 0$ である．(3) $r_{0} \cdot u = 7 > 0$ なので $t^{*} = - 3.5 s < 0$ ． $t \geq 0$ では離れていく一方で，最小距離は $t = 0$ の $5 m$ ．

ガリレイ変換と慣性系

座標系の取り替えを式で書いておきます．地上系 $S$ の座標を $(x, y)$ ， $S$ に対して $x$ 方向に一定の速さ $V$ で動く系 $S^{'}$ の座標を $(x^{'}, y^{'})$ とします．時刻 $t = 0$ で原点が一致していたとすると，

x^{'} = x - V t, y^{'} = y, t^{'} = t

です．これを微分すると $v_{x}^{'} = v_{x} - V$ ， $v_{y}^{'} = v_{y}$ です．もう一度微分すると

a^{'} = a

となり，系 $S^{'}$ が一定の速度で動くかぎり加速度は両方の系で同じになります．速度は系によって変わりますが，加速度は変わらないのです．一方，系 $S^{'}$ が加速度 $A$ で動いている場合は $a^{'} = a - A$ となり，加速度も変わります．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

川幅 $d = 120 m$ で，水は一様に $u = 3.0 m s^{- 1}$ で流れている．水に対する速さ $v = 5.0 m s^{- 1}$ の船で，対岸へ渡る．

最短時間で渡るには船首をどちらへ向ければよいか．そのときの時間と，対岸に着くまでに流される距離を求めよ．
流されずに真向かいの点に着くには，船首をどちらへ向ければよいか．そのときの時間を求めよ．

**［図：川を渡る船の設定］**
幅dの川が右向きに速さuで流れている．下の岸の出発点Aから，水に対する速さvの船で上の岸へ渡る．Aの真向かいの対岸の点をBとする．船首の向きは自由で，水に対する速さvが半径になる半円で表している．

解答を見る

考え方 岸に垂直な方向の動きは流れの影響を受けない．時間は垂直方向の速さだけで決まり，流れは着く位置にだけ効く．

岸に垂直に $y$ 軸，下流向きに $x$ 軸をとる．

船首を対岸にまっすぐ向け，垂直方向の速さを $v = 5.0 m s^{- 1}$ にするのが最短である．垂直方向の速さが最大だからである．時間は $t = d / v = 120 / 5.0 = 24 s$ ．その間に下流へ流される距離は $u t = 3.0 \times 24 = 72 m$ ．
船首を上流側へ，岸に垂直な方向から角 $θ$ だけ傾ける．岸に沿った成分が打ち消し合う条件は $v \sin θ = u$ で， $\sin θ = 3.0 / 5.0 = 0.60$ ， $θ \approx 37^{\circ}$ ．このとき岸に垂直な速さは $v \cos θ = 5.0 \times 0.80 = 4.0 m s^{- 1}$ だから，時間は $120 / 4.0 = 30 s$ ．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

無風のとき，雨は鉛直に降る．速さ $10 m s^{- 1}$ で直線上を走る電車の窓から見ると，雨粒の筋は鉛直から $30^{\circ}$ 傾いていた．

**［図：電車から見える雨］**
地上では鉛直に降る雨と，速さ10 m s⁻¹の電車から見える鉛直から30°傾いた雨の筋を並べる．

地面に対する雨粒の速さを求めよ．
電車の速さを $20 m s^{- 1}$ に上げると，窓の外の雨粒の筋は鉛直から何度傾いて見えるか．また，電車に対する雨粒の速さはいくらか．

解答を見る

考え方 雨粒の電車に対する速度は，地面に対する速度から電車の速度を引いたものである．地面に対する雨粒の速度は鉛直下向きで，電車の速さによらない．

雨粒の地面に対する速さを $w$ とし，電車の進む向きを $x$ ，鉛直上向きを $y$ とする． $v_{RG} = (0, - w)$ ， $v_{TG} = (V, 0)$ だから，

v_{RT} = v_{RG} - v_{TG} = (- V, - w)

である．筋が鉛直となす角を $ϕ$ とすると $\tan ϕ = V / w$ ．

$V = 10 m s^{- 1}$ ， $ϕ = 30^{\circ}$ より $w = V / \tan 30^{\circ} = 10 \sqrt{3} \approx 17 m s^{- 1}$ ．
$V = 20 m s^{- 1}$ のとき $\tan ϕ = 20 / (10 \sqrt{3}) = 2 / \sqrt{3} \approx 1.15$ なので $ϕ \approx 49^{\circ}$ ．電車に対する雨粒の速さは $\sqrt{20^{2} + (10 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{700} \approx 26 m s^{- 1}$ ．

ポイントここまでのまとめ

等速で動く2物体の距離は，相対位置 $r_{0} + u t$ の大きさ．距離の2乗が $t$ の2次関数なので， $u \neq 0$ なら，平方完成で最接近の時刻 $t^{*} = - r_{0} \cdot u / {| u |}^{2}$ が出る． $t^{*} \geq 0$ のとき，その瞬間に相対位置と相対速度は垂直になる． $t^{*} < 0$ なら $t \geq 0$ では $t = 0$ が最小で，最小距離は $| r_{0} |$ である．
等速で動く系へ移っても，加速度は変わらない（ガリレイ変換）．加速度で動く系では $a^{'} = a - A$ となる．
川の問題では，岸に垂直な成分と沿う成分に分ける．雨の見かけの傾きは $\tan ϕ = V / w$ （電車の速さ $V$ ，雨の速さ $w$ ）で決まる．