運動量と質点系

衝突

著者：柚木芹香

問い

ビリヤードで，止まっている的球に手球を正面からまっすぐ当てると，手球はぴたりと止まって，的球だけが走り出すことがあります．2つの球は同じ質量なので，手球が少し前に進み続けても，的球が少し後ろに跳ね返されても，おかしくなさそうです．なぜ，手球だけが止まるのでしょうか．

考えてみる

まず，この章の最初に学んだ運動量保存則を使います．質量 $m$ の手球が速さ $v$ で進み，静止している質量 $m$ の的球に当たり，衝突後の速度が $u_{1}$ ， $u_{2}$ になったとします．外力はないので

m v = m u_{1} + m u_{2}, つまり u_{1} + u_{2} = v

です．手球が止まる $(u_{1}, u_{2}) = (0, v)$ はこれを満たします．ところが， $(v / 2, v / 2)$ も， $(- v / 4, 5 v / 4)$ も満たします．運動量保存則は，未知数2つに式が1つなので，これだけでは結果が決まりません．

実際，粘土の球どうしなら，くっついて $(v / 2, v / 2)$ になります．鋼の球なら，ほとんどはね返ります．衝突の結果を決めるには，「どれだけはね返るか」という情報があと1つ要ります．衝突する2つの物体の組み合わせで決まるその値は，たとえばボールを床へ高い所から落として，はね返る高さを測れば分かります（ボールと床の組み合わせの値です）．実際の値は衝突の速さにも少し依存しますが，本節では衝突ごとに一定の値として扱います．

反発係数

衝突前に近づく速さと，衝突後に離れる速さの比で，はね返り方を表します．

定義反発係数

物体1，2の衝突前の速度を $v_{1}$ ， $v_{2}$ ，衝突後を $u_{1}$ ， $u_{2}$ とする．直線上の衝突で

e = - \frac{u_{1} - u_{2}}{v_{1} - v_{2}}

を反発係数（はね返り係数）という．離れる相対速度と近づく相対速度の大きさの比で， $0 \leq e \leq 1$ ．

$e = 1$ のときを弾性衝突， $0 < e < 1$ を非弾性衝突， $e = 0$ を完全非弾性衝突といいます．完全非弾性衝突では $u_{1} = u_{2}$ で，2つはくっついて一体で動きます．

運動量保存則と反発係数の式は，未知数 $u_{1}, u_{2}$ の連立方程式です．解くと次のようになります（解き方は次の節で見ます）．

法則 1次元衝突の一般解

質量 $m_{1}, m_{2}$ ，衝突前の速度 $v_{1}, v_{2}$ ，反発係数 $e$ のとき，

u_{1} = v_{1} - \frac{(1 + e) m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2}), u_{2} = v_{2} + \frac{(1 + e) m_{1}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})

である．

これを問いに当てはめます． $m_{1} = m_{2} = m$ ， $v_{1} = v$ ， $v_{2} = 0$ ， $e = 1$ とすると， $u_{1} = v - \frac{2 m}{2 m} v = 0$ ， $u_{2} = 0 + \frac{2 m}{2 m} v = v$ です．質量が等しい球の弾性衝突では，速度が入れ替わります．手球が止まり，的球が手球の速度を受け取るのは，このためです．

**［図：等質量球の速度交換］**
同じ質量の2つの球が一直線上にある様子を，衝突前（左の球だけ矢印が付く）と衝突後（右の球だけ矢印が付く）に分けて描く．矢印の長さは同じにする．

質量が違うと結果は変わります．質量 $2 m$ の球が速さ $v$ で，静止している質量 $m$ の球に弾性衝突すると，一般解から $u_{1} = \frac{v}{3}$ ， $u_{2} = \frac{4 v}{3}$ です．重い球は止まらずに進み続け，軽い球は元の速さの $\frac{4}{3}$ 倍で飛び出します．

ほかの極端な場合も見ておきます． $e = 0$ なら $u_{1} = u_{2} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ で，運動量保存則から出る一体の速度です．また，壁や床のように $m_{2}$ が非常に大きく止まっているとき， $u_{2} \approx 0$ なので $u_{1} = - e v_{1}$ です．壁や床に垂直に当たるボールは，速さを $e$ 倍にして，逆向きにはね返ります．

衝突でなくなるもの

弾性でない衝突では，運動量は保存するのに，何かが減っています．運動の勢いを表す量として，速さの2乗に比例する $\frac{1}{2} m v^{2}$ の和を見てみます．

先の一般解から計算すると，衝突による $\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$ の変化は

- \frac{1 - e^{2}}{2} \cdot \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})^{2}

になります． $e = 1$ （弾性衝突）ならこの量は変わらず， $e < 1$ なら減ります． $e = 0$ で最も減り，その分は熱や音や物体の変形に使われます．運動量は保存しても，この量は保存するとは限りません．

2次元の衝突

平面での衝突は，運動量保存則がベクトルなので，成分ごとに考えます．ここでは，なめらかな球や円板どうしの衝突を扱います．衝突で働く力は接触点で面に垂直な向き（中心を結ぶ向き，これを法線とよびます）だけで，力は各物体の中心を通るので，回転は変わりません．したがって，

法線に垂直な成分（接線成分）：力が働かないので，各物体で変わらない．
法線方向の成分：1次元の衝突として，一般解をそのまま使える（回転の変化を考えなくてよい球や円板のとき）．

静止したなめらかな壁に斜めに当たるボールも同じで，壁に平行な成分は保ち，壁に垂直な成分だけが $- e$ 倍されます．

**［図：法線成分と接線成分］**
なめらかな2つの円板が斜めに衝突する瞬間の図．中心を結ぶ法線方向と，それに垂直な接線方向の2本の軸を引き，衝突前の速度を2成分に分けて示す．

ポイントここまでのまとめ

運動量保存則だけでは，衝突後の2つの速度は決まらない．はね返り方を表す反発係数 $e = - \frac{u_{1} - u_{2}}{v_{1} - v_{2}}$ が必要である．
$e = 1$ が弾性衝突， $e = 0$ が完全非弾性衝突（一体になる）．一般解は $u_{1} = v_{1} - \frac{(1 + e) m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})$ など．
外力の力積が無視できる衝突で運動量は保存するが， $e < 1$ では速さの2乗に比例する量の和は減る．
2次元では，法線方向を1次元の衝突として扱い，接線方向の成分は（なめらかなら）変わらない．
問いの答え：質量が等しい球の正面の弾性衝突（ $e \approx 1$ ）では速度が入れ替わるので，手球が止まり，的球が手球の速度で動き出す．