運動量と質点系

衝突の計算

著者：柚木芹香

この節では，前の節の一般解の導き方と，重心から見ると衝突が簡単になることを学びます．

定理数学の道具：連立方程式の解き方と重心系

連立方程式　衝突前の速度を $v_{1}, v_{2}$ ，衝突後を $u_{1}, u_{2}$ とする．

(A) m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}, (B) u_{1} - u_{2} = - e (v_{1} - v_{2})

和と差で解く．(B) に $m_{2}$ をかけて (A) に足すと $u_{2}$ が消える．

(m_{1} + m_{2}) u_{1} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} - e m_{2} (v_{1} - v_{2})

これを整理すると $u_{1} = v_{1} - \frac{(1 + e) m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})$ ．(B) から $u_{2} = u_{1} + e (v_{1} - v_{2})$ として $u_{2}$ も得られる．

重心系　衝突の前後で，重心の速度 $V = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ は変わらない（外力がないとき）．重心から見た速度を $v_{i}^{*} = v_{i} - V$ と書くと，定義から

m_{1} v_{1}^{*} + m_{2} v_{2}^{*} = 0, m_{1} u_{1}^{*} + m_{2} u_{2}^{*} = 0

である．重心系では運動量の和が衝突前も後も $0$ で，(B) は $u_{1}^{*} - u_{2}^{*} = - e (v_{1}^{*} - v_{2}^{*})$ となる． $v_{2}^{*} = - \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{1}^{*}$ と $u_{2}^{*} = - \frac{m_{1}}{m_{2}} u_{1}^{*}$ を代入すると $u_{1}^{*} = - e v_{1}^{*}$ ，同様に $u_{2}^{*} = - e v_{2}^{*}$ を得る．

1次元の衝突を重心から見ると，各物体の速度は向きが逆になり，大きさが $e$ 倍になる． 元の系では $V$ を足して，

u_{i} = V + u_{i}^{*} = (1 + e) V - e v_{i}

である．一般解より計算が楽である．

練習．

$m_{1} = 2 kg$ ， $m_{2} = 1 kg$ ， $v_{1} = 3 m s^{- 1}$ ， $v_{2} = 0$ ， $e = 0.5$ のとき， $u_{1}, u_{2}$ を重心系の方法で求めよ．
$e = 0$ なら $u_{1} = u_{2} = V$ となることを示せ．
$m_{1} = 1.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ ， $v_{1} = 4.0 m s^{- 1}$ ， $v_{2} = 0$ ， $e = 1$ のとき， $u_{1}, u_{2}$ を求め，運動エネルギーの和 $\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$ が衝突の前後で等しいことを確かめよ．
$m_{1} = m_{2}$ ， $e = 1$ なら，2つの物体は速度を交換することを示せ．
$m_{1} = 1.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ ， $v_{1} = 5.0 m s^{- 1}$ ， $v_{2} = - 3.0 m s^{- 1}$ （向かい合って進む）， $e = 1$ のとき， $V$ と $u_{1}, u_{2}$ を求めよ．

答え：(1) $V = 2 m s^{- 1}$ ． $u_{1} = 1.5 \cdot 2 - 0.5 \cdot 3 = 1.5$ ， $u_{2} = 1.5 \cdot 2 - 0.5 \cdot 0 = 3$ （いずれも $m s^{- 1}$ ）．運動量は $2 \cdot 1.5 + 1 \cdot 3 = 6$ で衝突前と一致する．　(2) $u_{i} = V - 0 \cdot v_{i} = V$ で，2つは一体となって動く．　(3) $V = \frac{4.0}{4.0} = 1.0 m s^{- 1}$ ， $u_{1} = 2 \times 1.0 - 4.0 = - 2.0 m s^{- 1}$ （はね返る）， $u_{2} = 2 \times 1.0 - 0 = 2.0 m s^{- 1}$ ．運動エネルギーは前 $\frac{1}{2} \times 1.0 \times {4.0}^{2} = 8.0 J$ ，後 $\frac{1}{2} \times 1.0 \times {2.0}^{2} + \frac{1}{2} \times 3.0 \times {2.0}^{2} = 2.0 + 6.0 = 8.0 J$ で等しい．　(4) $V = \frac{v_{1} + v_{2}}{2}$ なので $u_{1} = 2 V - v_{1} = v_{2}$ ， $u_{2} = 2 V - v_{2} = v_{1}$ ．　(5) $V = \frac{1.0 \times 5.0 + 3.0 \times (- 3.0)}{4.0} = - 1.0 m s^{- 1}$ ， $u_{1} = 2 V - v_{1} = - 7.0 m s^{- 1}$ ， $u_{2} = 2 V - v_{2} = 1.0 m s^{- 1}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，質量が等しい小球AとBが，A は右向きに $5.0 m s^{- 1}$ ，B は左向きに $3.0 m s^{- 1}$ で正面衝突する．右向きを正とする．

**［図：向かい合う2球］**
一直線上でAが右向き，Bが左向きに近づく衝突前の図を描く．矢印の向きだけ示す．

反発係数が $e = 1$ のとき，衝突後の速度を求めよ．
反発係数が $e = 0.6$ のとき，衝突後の速度を求めよ．

解答を見る

考え方 重心の速度 $V$ を求め， $u_{i} = (1 + e) V - e v_{i}$ を使う．

$V = \frac{5.0 + (- 3.0)}{2} = 1.0 m s^{- 1}$ ． $u_{A} = 2 \cdot 1.0 - 5.0 = - 3.0$ ， $u_{B} = 2 \cdot 1.0 + 3.0 = 5.0$ （ $m s^{- 1}$ ）．速度が入れ替わる．
$u_{A} = 1.6 \cdot 1.0 - 0.6 \cdot 5.0 = - 1.4$ ， $u_{B} = 1.6 \cdot 1.0 + 0.6 \cdot 3.0 = 3.4$ （ $m s^{- 1}$ ）．相対速度は $- 4.8 = - 0.6 \cdot 8.0$ で，反発係数の式に合う．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

床から高さ $1.6 m$ のところから，ボールを静かに落とした．床に当たってはね返り，最高点の高さは $0.90 m$ になった．重力加速度を $9.8 m s^{- 2}$ とし，空気の抵抗は無視する．

**［図：落下と最初のはね返り］**
出発高さと最初のはね返りを別々の縦線で示す．2回目以後の未知の高さは示さない．

ボールと床の間の反発係数 $e$ を求めよ．
2回目のはね返りの最高点の高さを求めよ．

解答を見る

考え方 床は動かず， $v_{2} = 0$ ， $u_{2} = 0$ である．水平な床への鉛直方向の衝突なので，直前と直後の速さの比が $e$ になる．高さと速さの関係は $v^{2} = 2 g h$ ．

衝突直前の速さを $v$ ，直後の速さを $u$ とすると， $v = \sqrt{2 g \cdot 1.6}$ ， $u = \sqrt{2 g \cdot 0.90}$ ．

e = \frac{u}{v} = \sqrt{\frac{0.90}{1.6}} = \frac{3}{4} = 0.75

1回目の最高点 $0.90 m$ から落ちる．速さが $e$ 倍になれば高さは $e^{2}$ 倍で，

h_{2} = e^{2} \times 0.90 = 0.5625 \times 0.90 \approx 0.51 m

である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上で，質量 $m$ の円板Aが速さ $v$ で進み，静止している同じ質量の円板Bに衝突する．円板どうしの接触もなめらかで，接線方向の力積はない．衝突の瞬間，2つの中心を結ぶ直線（法線）は，Aの進行方向と $30^{\circ}$ の角をなす．

**［図：30度の法線をもつ接触］**
円板Aが右へ進み，静止した円板Bに衝突する瞬間を描く．中心を結ぶ法線と，Aの進行方向のなす角30°を示す．衝突後の速度は描かない．

反発係数が $1$ のとき，衝突後の A と B の速度の向きと大きさを求めよ．
反発係数が $0.5$ のとき，A の衝突後の速さを求めよ．

解答を見る

考え方 法線方向を $n$ ，それに垂直な方向を $t$ にとる． $t$ 成分は力が働かないので変わらない． $n$ 成分は1次元の衝突として扱う．

Aの初めの速度は $v_{n} = v \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} v$ ， $v_{t} = v \sin 30^{\circ} = \frac{v}{2}$ ．Bは静止している．

等質量の弾性衝突なので， $n$ 成分は入れ替わり，A： $0$ ，B： $\frac{\sqrt{3}}{2} v$ ． $t$ 成分は A： $\frac{v}{2}$ ，B： $0$ のまま．よって A は法線に垂直な向きに速さ $\frac{v}{2}$ ，B は法線の向きに速さ $\frac{\sqrt{3}}{2} v$ で動き，2つの向きは直角をなす．
$n$ 成分について， $V = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} v = \frac{\sqrt{3}}{4} v$ ． $u_{A n} = (1 + e) V - e v_{n} = 1.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} v - 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} v = \frac{\sqrt{3}}{8} v$ ． $t$ 成分は $\frac{v}{2}$ のままなので，

u_{A} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{8} v)}^{2} + {(\frac{v}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{19}}{8} v \approx 0.54 v

である．

ポイントここまでのまとめ

衝突の連立方程式は，運動量保存則 (A) と反発係数の式 (B) を和と差でまとめて解く．
1次元の衝突を重心系で見ると，各物体の速度が逆向きの $e$ 倍になる．元の系では $u_{i} = (1 + e) V - e v_{i}$ （ $V$ は重心の速度）．
静止した壁や床への垂直な衝突は，速さが $e$ 倍になる．鉛直に落としたボールが床ではね返るときは，高さが $e^{2}$ 倍ずつ減る．斜めの衝突では接線成分は変わらず，垂直成分だけが $e$ 倍になる．
2次元の衝突は，法線成分を1次元の衝突として解き，接線成分はそのまま残す．