衝突の演習

考え方 右向きを正とし，未知の速度を $u_{\mathrm{A}},u_{\mathrm{B}}$ とする．運動量だけでは未知数が2つ残るので，相対速度の式を加える．

1. 運動量保存から $u_{\mathrm{A}}+u_{\mathrm{B}}=v$，反発係数から $u_{\mathrm{B}}-u_{\mathrm{A}}=v/2$．足して $2u_{\mathrm{B}}=3v/2$ となり，$u_{\mathrm{B}}=3v/4$，$u_{\mathrm{A}}=v/4$．両球とも右向きに進むが，Bの方が速いので衝突後は離れる．

2. Aへの力積は $m(v/4-v)=-3mv/4$，Bへの力積は $m(3v/4-0)=3mv/4$．和は0であり作用反作用と一致する．反発係数が0なら共通速度 $v/2$，1なら速度交換となるので，今回の答えが両者の間にあることも確認できる．

考え方 重心系へ移すには両方の速度から同じ重心速度を引く．1次元衝突では，その速度を $-e$ 倍してから元に戻せる．

1. $V=\{2m(3v)+m(-v)\}/(3m)=5v/3$．初めの重心系での速度はAが $4v/3$，Bが $-8v/3$．衝突後はAが $-2v/3$，Bが $4v/3$ であるから，地面系では $u_{\mathrm{A}}=5v/3-2v/3=v$，$u_{\mathrm{B}}=5v/3+4v/3=3v$ となる．

2. Aは左側，Bは右側にあり，ともに右へ進む．右のBが速いため間隔が広がる．重心系ではAは左，Bは右へ動くが，地面系で逆向きに動く必要はない．運動量は衝突後も $2mv+3mv=5mv$，離れる速さは $2v$ で，近づく速さ $4v$ の半分となる．

考え方 自由落下と鉛直投げ上げの等加速度運動を使う．高さの比がそのまま反発係数になるわけではない．

1. 衝突直前の速さは $v=\sqrt{2gh}$．直後の速さを $u$ とすれば，上昇中は $0=u^2-2g(h/4)$ なので $u=\sqrt{gh/2}$．よって $e=u/v=1/2$ である．

2. 次も速さが半分になるので，上がる高さはさらに4分の1の $h/16$ になる．1回目の床との衝突直後から最高点までの時間は $u/g$，戻る時間も同じである．したがって求める時間は $2u/g=\sqrt{2h/g}$．初めに放してから最初の衝突までの時間も偶然同じ値になるが，それは今回 $e=1/2$ だからである．一般には衝突間隔は直前の落下時間の $2e$ 倍になる．

考え方 壁が滑らかなので力積は壁の法線方向だけである．反発係数を速度ベクトル全体に掛けない．

1. 法線方向は $x$ 方向なので $u_x=-3v/2$．接線方向は変わらず $u_y=4v$．したがって $\mathit{u}=(-3v/2,4v)$，速さは $\sqrt{73}v/2$．力積は $m\{\mathit{u}-(3v,4v)\}=(-9mv/2,0)$ で，壁に垂直である．

2. 前後の量は $Q_0=25m{v}^2/2$，$Q_1=73m{v}^2/8$ であり，減少量は $Q_0-Q_1=27m{v}^2/8$ となる．$y$ 成分の寄与は前後で等しいため差から消える．もし全速度を $-1/2$ 倍してしまうと，壁に平行な力積まで存在する誤った結果になる．

考え方 観測された速度から，まず運動量保存で質量比を，次に相対速度から反発係数を決める．その条件を逆向きの衝突へ引き継ぐ．

1. $mv=Mv/2$ なので $M=2m$．離れる速さは $v/2$，近づく速さは $v$ なので $e=1/2$．

2. 右向きを正とする．衝突後の速度を $u_{\mathrm{A}},u_{\mathrm{B}}$ とすると，$u_{\mathrm{A}}+2u_{\mathrm{B}}=-2v$，$u_{\mathrm{B}}-u_{\mathrm{A}}=v/2$ である．後者を前者に入れて $3u_{\mathrm{A}}+v=-2v$ から $u_{\mathrm{A}}=-v$，$u_{\mathrm{B}}=-v/2$．Aが左側にいてより速く左へ進むため，衝突後は確かに離れる．

3. 言えない．停止する条件は質量比と反発係数の両方で決まり，今回の $e=1/2$ は弾性衝突ではない．同質量で静止した相手に正面衝突するという追加条件があって初めて，速度交換から弾性衝突と判断できる．