運動量と質点系

ロケットと質量が変わる系

著者：柚木芹香

問い

宇宙は真空です．地面も空気も無く，ロケットが押せるものは何もありません．それなのにロケットは加速できます．なぜでしょうか．

もう一つ考えてみましょう．ロケットは燃料を燃やしたガスを，ロケットに対して秒速 $3 km$ で後ろへ噴き出します．ロケットは，この噴射速度 $3 km s^{- 1}$ より大きな速さで進めるでしょうか（初め静止していた座標系で測ります）．

考えてみる

「ガスが地面や空気を押して進む」と考えると，真空で進める理由が説明できません．けれども，ボートの上から荷物を後ろへ投げると，ボートが前へ動く経験があります．押す相手は外にいなくてもよく，投げたものそのものが相手になります．

投げられた荷物は後ろ向きの運動量を持ちます．ボートと荷物をひとまとめにした系には外から力が働かないので，系全体の運動量は変わりません．荷物が後ろ向きの運動量を得た分だけ，ボートは前向きの運動量を得ます．ロケットも同じで，ガスを投げ続ける船だと思えばよいのです．

ただし困ることがあります．ロケットはガスを出すたびに軽くなるので，質量 $m$ が一定という前提の $m a = F$ をそのまま使えません．そこで，ごく短い時間 $d t$ の間の運動量の出入りを調べます．

微小時間の運動量の収支

直線上を進むロケットを考え，進む向きを正とします．時刻 $t$ に質量 $m$ ，速度 $v$ だったとします．外力は無いとします． $d t$ の間に，ロケットはガスを後ろへ噴射し，質量が $d m$ だけ変わります．ガスを出すので $d m$ は負の数で，噴き出したガスの質量は $- d m$ です．ガスは，ロケットに対して速さ $u$ で後ろへ出ていきます．この $u$ を噴射速度といいます．

**［図：ロケットと放出直後のガス］**
時刻 $t$ と $t+dt$ の2コマ．上のコマは質量 $m$ で速度 $v$ のロケット．下のコマは質量 $m+dm$ で速度 $v+dv$ のロケットと，後ろへ出ていく質量 $-dm$ のガス．ガスの速度 $v-u$ を矢印で示す．

噴射の前後で，ロケットとガスを合わせた運動量は変わりません．地面から見たガスの速度は $v - u$ なので

m v = (m + d m) (v + d v) + (- d m) (v - u)

です．右辺を展開すると

m v = m v + m d v + v d m + d m d v - v d m + u d m

となり， $m v$ と $v d m$ が消えて

m d v + d m d v + u d m = 0

が残ります． $d m d v$ は微小量どうしの積で，ほかの項よりずっと小さいので落とします（理由は次の節で確かめます）．

法則ロケットの運動方程式

外力が無いとき

m d v = - u d m

がなりたつ． $u$ はロケットに対するガスの噴射速度で， $d m < 0$ なので右辺は正，つまりロケットは加速する．

両辺を $d t$ で割ると $m \frac{d v}{d t} = u (- \frac{d m}{d t})$ です．右辺は，ロケットが受ける前向きの力と見なせます．

F = u (- \frac{d m}{d t})

で，噴射速度と毎秒の噴射質量の積です．これを推力といいます．噴射速度が大きく，たくさん噴き出すほど，推力が大きくなります．

ツィオルコフスキーの式

加速度は $a = \frac{u}{m} (- \frac{d m}{d t})$ で，質量が減ると増えるなど，一般には一定とは限りません．そこで $m d v = - u d m$ を $d v = - u \frac{d m}{m}$ と書き，両辺を積分します．最初の質量を $m_{0}$ ，速度を $0$ ，いまの質量を $m$ ，速度を $v$ とし， $u$ は一定とすると

\int_{0}^{v} d v^{'} = - u \int_{m_{0}}^{m} \frac{d m^{'}}{m^{'}} ⟹ v = - u \ln \frac{m}{m_{0}}

です．

公式ツィオルコフスキーの式

v = u \ln \frac{m_{0}}{m}

最終的な速さは，噴射速度と，質量が何分の1になったか（質量比 $m_{0} / m$ ）の対数だけで決まる．

**［図：質量比と速度増加の対数曲線］**
速度比v/uは質量比m₀/mの対数であり，曲線は(1,0)から始まる．

質量比と速さの関係は次のとおりです．

$m_{0} / m$	2	$e (\approx 2.7)$	10	100
$v / u$	0.69	1	2.3	4.6

質量比が $e$ を超えれば，ロケットの速さは（初め静止していた座標系で測って）噴射速度 $u$ より大きくなります．これは質量の約63 %（ $1 - 1 / e$ ）を噴き出せば達成されます．問いに答えると， $u = 3.0 km s^{- 1}$ で質量が $1 / 10$ になれば $v = 3.0 \times \ln 10 \approx 6.9 km s^{- 1}$ で，噴射速度 $3.0 km s^{- 1}$ の2倍以上です．

また，この式から，速さを増すには噴射速度を上げるのが効くとわかります．質量比で稼ぐには， $v$ を2倍にするために質量比を2乗しなければならず，なかなか効きません．

重力があるとき

地表近くで初速度0から鉛直上向きに飛び，噴射速度 $u$ と重力加速度 $g$ は一定，空気抵抗は無いとします．ロケットには重力 $m g$ が下向きに働きます． $d t$ の間に重力の力積 $- m g d t$ が加わるので

m d v = - u d m - m g d t ⟹ d v = - u \frac{d m}{m} - g d t

です．噴射を始めてから時間 $t$ たったときの速さは

v = u \ln \frac{m_{0}}{m} - g t

となります．重力の分 $g t$ だけ損をするので，燃焼時間が長いほど不利です．燃焼時間が $150 s$ なら $g t \approx 1.5 km s^{- 1}$ を失います．ロケットが短い時間に一気に燃料を使うのはこのためです．

質量が減るもう一つの例

砂を積んだ台車が，滑らかな水平面を一定の速さ $v$ で進んでいます．台車の底の穴から砂がこぼれ続けるとき，台車の速さはどうなるでしょうか．

**［図：こぼれる砂が運ぶ水平運動量］**
水平面を速さ $v$ で進む台車と，底の穴から真下にこぼれ落ちる砂．こぼれる瞬間の砂は台車と同じ水平速度 $v$ を持つ．

こぼれた砂は，離れる瞬間に台車と同じ水平の速度を持っています．ロケットの式でいえば，ガスの噴射速度が $u = 0$ の場合なので， $m d v = 0$ で台車の速さは変わりません．

ポイントここまでのまとめ

ロケットはガスを後ろへ噴射し，その反作用で進む．ロケットとガスを合わせた運動量は保存し，押す相手は噴射したガスなので，地面や空気のような外の相手は要らず，真空でも進める．
外力が無いとき $m d v = - u d m$ ．推力は（噴射速度）×（毎秒の噴射質量）である．
噴射速度 $u$ が一定なら $v = u \ln (m_{0} / m)$ ．質量比が $e$ を超えれば，噴射速度 $u$ より大きな速さで進める． $u = 3.0 km s^{- 1}$ で質量が $1 / 10$ になれば約 $6.9 km s^{- 1}$ である．
鉛直上向きに飛び， $g$ が一定で空気抵抗が無く，初速度0， $u$ が一定なら $v = u \ln (m_{0} / m) - g t$ で，燃焼時間が長いほど損をする．
質量が変わる物体では，持ち去られた分や付け加わった分の運動量も数える．