運動量と質点系

ロケットの数学と例題

著者：柚木芹香

前の節で落とした微小量の理由と，対数の使い方を確かめてから，例題に進みます．

数学の道具

定理数学の道具：微小量の扱いと対数

微小量の積を落とす． 小さな量どうしの積 $d m d v$ は， $m d v$ のような1次の項に比べて桁違いに小さくなる．前の節の式 $m d v + d m d v + u d m = 0$ を $d t$ で割ると

m \frac{d v}{d t} + d m \cdot \frac{d v}{d t} + u \frac{d m}{d t} = 0

となり， $d t \to 0$ で $d m \to 0$ なので第2項は0に近づく．一般に変化は $d x$ の1次の項だけを残す． $(x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} \approx 2 x d x$ が $d (x^{2}) = 2 x d x$ の意味である．

対数の性質と積分． $\ln (A B) = \ln A + \ln B$ ， $\ln \frac{1}{A} = - \ln A$ ， $\ln A^{n} = n \ln A$ である．積分は

\int \frac{d x}{x} = \ln | x | + C, \int \ln x d x = x \ln x - x + C

である．後者は右辺を微分すると確かめられる．

練習 1． (1) $(x + d x)^{3} - x^{3}$ の $d x$ の1次の項を求めよ．(2) $\int_{1}^{e} \ln x d x$ を求めよ．

練習 2． (1) $(m + d m) (v + d v) - m v$ を展開し，微小量の積を落として1次の項だけを残せ．(2) $\ln 2 \approx 0.693$ ， $\ln 3 \approx 1.099$ を使って $\ln 6$ ， $\ln \frac{1}{9}$ ， $\ln \frac{3}{2}$ を求めよ．

練習 3． (1) $\frac{1}{x + d x} - \frac{1}{x}$ の $d x$ の1次の項を求めよ．(2) $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x}$ を求めよ（ $\ln 2 \approx 0.693$ ）．(3) $u = 2.0 km s^{- 1}$ として， $u \ln \frac{m_{0}}{m}$ を $\frac{m_{0}}{m} = 4$ のときに計算せよ．

答え：練習 1 は (1) $3 x^{2} d x$ 　(2) ${[x \ln x - x]}_{1}^{e} = (e - e) - (0 - 1) = 1$ ．練習 2 は (1) $m d v + v d m$ （ $d m d v$ を落とす）　(2) $\ln 6 = \ln 2 + \ln 3 \approx 1.79$ ， $\ln \frac{1}{9} = - 2 \ln 3 \approx - 2.20$ ， $\ln \frac{3}{2} = \ln 3 - \ln 2 \approx 0.41$ ．練習 3 は (1) $- \frac{d x}{x (x + d x)} \approx - \frac{d x}{x^{2}}$ （ $d (1 / x) = - d x / x^{2}$ の意味）　(2) $\ln 2 - \ln 1 \approx 0.69$ 　(3) $\ln 4 = 2 \ln 2 \approx 1.39$ なので $2.0 \times 1.39 \approx 2.8 km s^{- 1}$

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

噴射速度 $u = 3.0 km s^{- 1}$ のロケットを，重力と空気抵抗の無い宇宙で静止から加速する．全質量は $100 t$ ，積み込む荷物は $2 t$ ，燃料タンクとエンジンの質量は，積む推進剤の質量の10 % とする．

**［図：段構成と切り離す部分］**
(1) 1段式と (2) 2段式の質量の内訳を示す図．荷物，推進剤，構造を色分けした縦長の帯で，2段式は第1段を切り離した後の第2段も描く．

推進剤をすべて使い切る1段のロケットの最終速度を求めよ．
同じ推進剤と構造の質量で2段式にする．第2段の推進剤を $20 t$ とし，第1段の推進剤を使い切った時点で第1段の構造を捨てて第2段に点火する．最終速度を求め，(1) と比べよ．

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考え方 各段の燃焼でツィオルコフスキーの式を使う．第2段の初速は第1段の最終速度である．

推進剤を $P$ とすると $2 + 1.1 P = 100$ ， $P \approx 89.1 t$ ．最終質量は $100 - 89.1 = 10.9 t$ なので

v = u \ln \frac{100}{10.9} = 3.0 \times 2.22 \approx 6.6 km s^{- 1}

第2段は荷物を含めて $2 + 1.1 \times 20 = 24 t$ ．第1段の推進剤を $P_{1}$ とすると，第1段の燃焼後の質量は $100 - P_{1} = 24 + 0.1 P_{1}$ より $P_{1} \approx 69.1 t$ （推進剤の合計は (1) と同じ）．燃焼後の質量は $30.9 t$ なので

v_{1} = u \ln \frac{100}{30.9} = 3.0 \times 1.17 \approx 3.5 km s^{- 1}

第2段は $24 t$ から $2 + 0.1 \times 20 = 4 t$ になるので

v_{2} - v_{1} = u \ln \frac{24}{4} = 3.0 \times 1.79 \approx 5.4 km s^{- 1}

最終速度は $3.5 + 5.4 \approx 8.9 km s^{- 1}$ で，(1) より約 $2.3 km s^{- 1}$ 速い．空の第1段を捨てれば，その分を加速せずに済む．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

水平なベルトコンベアが一定の速さ $v = 2.0 m s^{- 1}$ で動いている．真上のホッパーから砂が毎秒 $50 kg$ の割合で落ち，静止していた砂がベルトに乗って動き出す．ベルトの速さを一定に保つために，ベルトに加えるべき水平の力を求めよ．ベルトと台の間の摩擦は考えない．

**［図：砂を受けるベルトコンベア］**
水平なベルトコンベアと，真上のホッパーから落ちる砂．ベルト上の砂は右向きに速さ $v$ で動き，ベルトを右向きに引く力 $F$ を矢印で示す．

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考え方 微小時間 $d t$ の間の水平方向の運動量の増加を，力積と結びつける．

$d t$ の間に質量 $d m$ の砂が水平の運動量 $0$ から $v d m$ になる．他の砂は速さ $v$ のままである．加える力を $F$ とすると

F d t = v d m ⟹ F = v \frac{d m}{d t} = 2.0 \times 50 = 1.0 \times 10^{2} N

である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $1.0 \times 10^{5} kg$ のロケットが地上から鉛直上向きに，毎秒一定の割合 $5.0 \times 10^{2} kg$ で，噴射速度 $3.0 km s^{- 1}$ でガスを噴射する．質量が $0.40$ 倍になったところで燃焼を終える．空気抵抗は無視し，重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ で一定とする．

**［図：燃焼中と燃焼後の速度］**
燃焼中は質量の減少とともに傾きが増す下に凸の速度曲線．終了後は傾き−gの直線となる．

燃焼時間と燃焼終了時の速さを求めよ．
燃焼終了までに上昇した高さを求めよ．

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考え方 質量は $m = m_{0} - q t$ （ $q$ は毎秒の噴射質量）で減り，速さは $v = u \ln (m_{0} / m) - g t$ である．高さは $v$ の時間積分で， $\ln$ の積分を使う．

質量が $0.40 m_{0}$ になるのは $q T = 0.60 m_{0}$ のときで $T = 0.60 \times 10^{5} / (5.0 \times 10^{2}) = 1.2 \times 10^{2} s$ である．このとき

v_{T} = 3.0 \times 10^{3} \times \ln \frac{1}{0.40} - 9.8 \times 120 \approx 2.75 \times 10^{3} - 1.18 \times 10^{3} \approx 1.6 \times 10^{3} m s^{- 1}

$s = m / m_{0} = 1 - q t / m_{0}$ とおくと $d t = - (m_{0} / q) d s$ ． $s$ は 1 から $s_{T} = 0.40$ まで変わるので

\int_{0}^{T} u \ln \frac{m_{0}}{m} d t = - u \int_{0}^{T} \ln s d t = u \frac{m_{0}}{q} \int_{1}^{s_{T}} \ln s d s = u \frac{m_{0}}{q} {[s \ln s - s]}_{1}^{s_{T}}

括弧の中は $0.40 \times (- 0.916) - 0.40 + 1 \approx 0.233$ で，積分は $3.0 \times 10^{3} \times 200 \times 0.233 \approx 1.40 \times 10^{5} m$ ．重力の項は $\frac{1}{2} g T^{2} \approx 7.1 \times 10^{4} m$ ．よって

h_{1} \approx 1.40 \times 10^{5} - 7.1 \times 10^{4} \approx 7.0 \times 10^{4} m

ポイントここまでのまとめ

微小量の積 $d m d v$ は， $d t$ で割って極限をとると消えるので落としてよい．変化は1次の項だけを残す．
毎秒 $q$ の割合で噴射すると $m = m_{0} - q t$ ．高さは $\int \ln x d x = x \ln x - x$ を使って求める．
多段ロケットは，空の構造を捨てて質量比を稼ぐので，同じ推進剤でも最終速度が大きい．
砂を受けるベルトでは $F = v \frac{d m}{d t}$ の力が要る．