仕事とエネルギー

衝突の語り直し：例題

著者：柚木芹香

前の節の作図で，実験や応用の問題を解きます．最後の例題は分裂（崩壊）です．

ポイント作図の道具：分裂の円

質量 $M$ の粒子が速度 $V$ で飛びながら，質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の2つの破片に分かれるとする．重心系では，解放されたエネルギー $Q$ （相対運動のエネルギーの増加分）が破片の運動エネルギーの和になり，運動量の和は $0$ である．破片の速さ $v_{1}^{'}$ ， $v_{2}^{'}$ は， $m_{1} v_{1}^{'} = m_{2} v_{2}^{'}$ と $Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{' 2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{' 2}$ から決まり，決まらないのは向きだけである．

実験室系の破片の速度 $v_{i} = V + v_{i}^{'}$ の先端は，速度空間で G（ $V$ の先端）を中心とする半径 $v_{i}^{'}$ の円周上にあり，2つの破片は G をはさんで正反対に乗る． $v_{i}^{'} < V$ なら原点 $O$ は円の外で，最大角は $\sin θ_{i, max} = v_{i}^{'} / V$ ． $v_{i}^{'} > V$ ならすべての向きに飛ぶ． $v_{i}^{'} = V$ なら動く破片は前方へ飛び，直角方向は速さ0へ近づく極限である．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

霧箱の中で，速さ $v$ のα粒子（質量 $4.0 u$ ）が，静止している原子核に弾性衝突する．多数の飛跡を調べると，α粒子の進路が元の向きから曲がる角度は，どれも $30^{\circ}$ を超えず，ちょうど $30^{\circ}$ になるものがあった．

**［図：α粒子の散乱の観測］**
質量4.0 uのα粒子が静止核に入射する．観測された最大角30°を示し，核の質量や速さは示さない．

的の原子核の質量は何 $u$ か．
最も大きく曲がったときのα粒子の速さと，原子核の速さを $v$ で表せ．
的の質量が $20 u$ だったら，曲がる角度に上限はあるか．

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考え方 的が静止しているので $A_{2} = O$ ．速度空間に，G を中心とする入射球（α粒子）の円を描き，原点から引いた接線で最大の角を読む．

上限があるのは，原点が入射球の円の外にあるとき，つまり α粒子が的より重いときで， $\sin θ_{max} = m_{2} / m_{1}$ である． $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ より $m_{2} = 4.0 \times \frac{1}{2} = 2.0 u$ （重水素の原子核）．
$M = 6.0 u$ なので $OG = \frac{4.0}{6.0} v = \frac{2}{3} v$ ，入射球の円の半径は $\frac{2.0}{6.0} v = \frac{1}{3} v$ である．最大角のとき ${OB}_{1}$ は円の接線で， ${OB}_{1} ⟂ {GB}_{1}$ だから

v_{1 後} = {OB}_{1} = \sqrt{{(\frac{2}{3} v)}^{2} - {(\frac{1}{3} v)}^{2}} = \frac{v}{\sqrt{3}} \approx 0.58 v

である．このとき $\cos χ = - \frac{m_{2}}{m_{1}} = - \frac{1}{2}$ ， $χ = 120^{\circ}$ で，反跳角は $φ = \frac{π - χ}{2} = 30^{\circ}$ ．原子核の速さは ${OB}_{2} = 2 GO \cos φ = \frac{4}{3} v \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 v}{\sqrt{3}} \approx 1.15 v$ である．

確かめ：エネルギーは $\frac{1}{2} \cdot 4.0 \cdot \frac{v^{2}}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot \frac{4 v^{2}}{3} = 2.0 v^{2}$ （ $u$ を単位とする）で，初めの $\frac{1}{2} \cdot 4.0 \cdot v^{2} = 2.0 v^{2}$ と等しい．

的のほうが重い（ $m_{1} < m_{2}$ ）ので， $OG = \frac{4}{24} v = \frac{1}{6} v$ は円の半径 $\frac{20}{24} v = \frac{5}{6} v$ より小さく，原点は円の内側にある．よって上限は無く， $χ = 180^{\circ}$ では逆向きに速さ $\frac{2}{3} v$ ではね返る．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

速さ $v$ の中性子（質量 $1.0 u$ ）が，静止した炭素12の原子核（質量 $12 u$ ）と弾性衝突する．

**［図：炭素と水素の速度の円］**
炭素の場合はOが円の内部，水素の場合は円周上にある．左右の端点を示すが，求める速さやエネルギーの値は記さない．

1回の衝突後の中性子の速さの最大値と最小値を求めよ．1回で失うエネルギーの割合は，最大でどれだけか．
重心系での散乱の向きが全方向に等しい確率で起こるとき，衝突後の運動エネルギーの平均値は，衝突前の何倍か．的が水素の原子核（質量 $1.0 u$ ）ならどうか．
平均の運動エネルギーが衝突前の $\frac{1}{10}$ 以下になるまでに，炭素と水素でそれぞれ何回ほど衝突が必要か．

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考え方 原点 $O$ は円の内側にあり，中性子の速さは ${OB}_{1}$ の長さである． $B_{1}$ が円周上を回ると， ${OB}_{1}$ は最大と最小の間を動く．

$M = 13 u$ なので $OG = \frac{1}{13} v$ ，円の半径は $\frac{12}{13} v$ である．最大は $\frac{12}{13} v + \frac{1}{13} v = v$ （ $χ = 0$ ，変わらない），最小は $\frac{12}{13} v - \frac{1}{13} v = \frac{11}{13} v \approx 0.85 v$ （ $χ = 180^{\circ}$ ，はね返り）である．エネルギーの最小は ${(\frac{11}{13})}^{2} = \frac{121}{169}$ 倍なので，失う割合は最大 $\frac{48}{169} \approx 0.28$ で， $\frac{4 m_{1} m_{2}}{(m_{1} + m_{2})^{2}} = \frac{48}{169}$ と一致する．
三角形 ${OGB}_{1}$ の余弦定理から， ${OB}_{1}^{2} = {OG}^{2} + {GB}_{1}^{2} + 2 OG \cdot {GB}_{1} \cos χ$ である． $χ$ が全方向に一様なら $\cos χ$ の平均は 0 なので， ${OB}_{1}^{2}$ の平均は ${OG}^{2} + {GB}_{1}^{2}$ である．炭素では $\frac{1 + 144}{169} v^{2}$ だから，エネルギーの平均は $\frac{145}{169} \approx 0.86$ 倍．水素では $OG = {GB}_{1} = \frac{1}{2} v$ なので $\frac{1}{2}$ 倍である．
1回ごとに平均が (2) の倍率になるので， $n$ 回で倍率の $n$ 乗である．炭素： ${(\frac{145}{169})}^{n} \leq \frac{1}{10}$ より $n \geq \frac{\ln 10}{\ln (169 / 145)} \approx 15.03$ ，つまり16回である（15回では約0.1005倍で，まだ $1 / 10$ より大きい）．水素： ${(\frac{1}{2})}^{n} \leq \frac{1}{10}$ より $n \geq 3.3$ ，つまり4回である．

例題 3

オリジナル ★★★★☆

質量 $3 m$ の粒子が速さ $V_{0}$ で飛んでいて，質量 $m$ の破片Aと質量 $2 m$ の破片Bに分裂した．粒子と一緒に動く系で見ると，Aの速さは $\frac{V_{0}}{2}$ だった．

［図：動く崩壊の円］

初期分裂方向は100°．Gを中心とする半径V₀/2とV₀/4の円上で，破片A，Bの先端は反対側に並ぶ．スライダーで上の軌跡と下の速度を同時に変更できる．

分裂で解放されたエネルギー $Q$ を求めよ．
実験室系で，Aが飛ぶ向きは粒子の進行方向から最大で何度か．そのときのAの速さと，Aの速さの範囲も求めよ．
実験室系で，Bが飛ぶ向きの最大角を求めよ．
解放されたエネルギーが4倍だったら，AとBの最大角はどうなるか．

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考え方 重心系では運動量の和が $0$ だから $m v_{A}^{'} = 2 m v_{B}^{'}$ ．破片の先端は G を中心とする円周上にあり，原点から引いた接線で最大角が決まる．

$v_{A}^{'} = \frac{V_{0}}{2}$ なので $v_{B}^{'} = \frac{V_{0}}{4}$ ．

Q = \frac{1}{2} m {(\frac{V_{0}}{2})}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) {(\frac{V_{0}}{4})}^{2} = \frac{3}{16} m V_{0}^{2}

粒子は重心系で静止していたので，運動エネルギーの和がそのまま $Q$ である．

速度空間で $OG = V_{0}$ ，Aの円の半径は $\frac{V_{0}}{2}$ で， $O$ は円の外にある．接線のとき $\sin θ_{A, max} = \frac{V_{0} / 2}{V_{0}} = \frac{1}{2}$ なので $θ_{A, max} = 30^{\circ}$ ．速さは接線の長さ $\sqrt{V_{0}^{2} - {(\frac{V_{0}}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} V_{0} \approx 0.87 V_{0}$ ．速さの範囲は $OG$ から円の半径を引いた長さと足した長さの間で， $\frac{1}{2} V_{0}$ 以上 $\frac{3}{2} V_{0}$ 以下である．
Bの円の半径は $\frac{V_{0}}{4}$ なので $\sin θ_{B, max} = \frac{1}{4}$ で，電卓で角を求めると $θ_{B, max} \approx {14.5}^{\circ}$ である．
$Q$ が4倍になると，重心系の速さは $\sqrt{4} = 2$ 倍で， $v_{A}^{'} = V_{0}$ ， $v_{B}^{'} = \frac{V_{0}}{2}$ ．Aの円は原点を通るので $\sin θ = 1$ ，角度の上限は $90^{\circ}$ である．ただし，原点に来る破片の速さは0で方向が定まらないため，動くAは $90^{\circ}$ 未満の前方へ飛び，直角は極限としてのみ近づける．Bは $\sin θ_{max} = \frac{1}{2}$ で $30^{\circ}$ である．

ポイントここまでのまとめ

的が静止した弾性衝突では，的の円が原点を通る． $m_{1} > m_{2}$ の入射球には最大散乱角 $\sin θ_{max} = m_{2} / m_{1}$ があり，これを測れば的の質量が分かる（ $m_{2} = m_{1} \sin θ_{max}$ ）．
1回の衝突後の入射球の速さは ${OB}_{1}$ ．重い的ほど最小値が $v$ に近く，減速が遅い．等方散乱なら平均エネルギーは $\frac{m_{1}^{2} + m_{2}^{2}}{(m_{1} + m_{2})^{2}}$ 倍になる．
分裂した破片は，速度空間で G を中心とする円の上に，G をはさんで正反対に乗る． $0 < v^{'} < V$ での最大角は $\sin θ_{max} = v^{'} / V$ ． $v^{'} > V$ なら全方向に飛び， $v^{'} = V$ なら前方へ飛ぶ（直角は速さ0へ近づく極限）．