仕事とエネルギー

衝突の語り直しの演習

著者：柚木芹香

散乱角，反跳角，渡されるエネルギーを，同じ速度の円から読み取ってみましょう．以下の衝突は外力の力積を無視できる弾性衝突とし，的は初め静止しています．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m$ の入射球が速さ $u$ で，質量 $2 m$ の的に当たった．入射方向を $x$ 軸の正の向きとし，衝突後の的がそこから下へ $30^{\circ}$ の方向に進んだとする．

的の速度の円を描き，重心系の散乱角 $χ$ を求めよ．
的の速さを $u$ で表せ．

**［図：観測された反跳角］**
質量mが速さuで静止した2mに当たる．的の観測方向は下へ30°で，速さは未知．

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考え方 的の速度の円はOを通る．GとO，的の速度の先端 $B_{2}$ が作る二等辺三角形を使う．

$OG = u / 3$ なので，Gを中心に半径 $u / 3$ の円を描く．Oから下へ $30^{\circ}$ の半直線を引き，O以外の交点を $B_{2}$ とする．三角形 ${OGB}_{2}$ の底角は $φ = 30^{\circ}$ ，頂角は $χ = 180^{\circ} - 2 φ = 120^{\circ}$ である．
底辺の長さより $v_{2 後} = 2 OG \cos 30^{\circ} = u / \sqrt{3}$ ．方向と合わせると速度は $(u / 2, - \sqrt{3} u / 6)$ である．速さは $u$ に比例し， $u = 0$ なら0になる．的の最大速さ $2 u / 3$ より小さいことも確かめられる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $\sqrt{2} m$ の入射球が速さ $u$ で質量 $m$ の的に当たる．

速度の円にOから接線を引き，入射球の最大散乱角を求めよ．
そのときの入射球の速さと，重心系の散乱角 $χ$ を求めよ．
正面衝突は最大散乱角を与えるか．

**［図：質量比√2の衝突］**
質量√2mの球が速さuで静止したmに入射する．求める最大角や衝突後の方向は描かない．

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考え方 重い入射球の円はOを含まない．曲がれる限界は，速度を表す半直線が円に接する位置である．

$OG = \sqrt{2} u / (\sqrt{2} + 1)$ ，円の半径は $r = u / (\sqrt{2} + 1)$ ．接点を $T$ として $OT ⟂ GT$ だから $\sin θ_{max} = r / OG = 1 / \sqrt{2}$ ．よって $θ_{max} = 45^{\circ}$ ．
接線の長さは $\sqrt{{OG}^{2} - r^{2}} = u / (\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2} - 1) u$ ．また $\cos χ = - r / OG = - 1 / \sqrt{2}$ なので $χ = 135^{\circ}$ ．速さは正で，入射速さより小さい．
与えない．正面衝突では円の左端を読むので，入射球の速度は $OG - r = (\sqrt{2} - 1) u / (\sqrt{2} + 1) > 0$ ．進行方向は変わらず $θ = 0$ である． $χ$ を増やせば実験室系の $θ$ も必ず増える，とは限らない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ ，速さ $u$ の粒子を，質量 $q m$ （ $q > 0$ ）の的に当てる．的に渡すエネルギーを，入射エネルギーの $3 / 4$ 以上にしたいと考えている．

当て方を選べば目標を達成できる $q$ の範囲を求めよ．
$q = 3$ の場合，目標を達成する反跳角 $φ$ を求めよ．
$q = 1$ の場合は，どの反跳角なら目標を達成するか．

**［図：エネルギー移行の目標］**
質量mからqmの的へ入射する．入射エネルギーKの3/4以上を的へ渡すことが目標である．

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考え方 的の円の直径が最大速さを与える．そこから最大のエネルギー移行率を調べ，必要なら反跳角で絞る．

$OG = u / (1 + q)$ で，的の最大速さは $2 u / (1 + q)$ ．移行率の最大は $f_{max} = 4 q / (1 + q)^{2}$ である． $f_{max} \geq 3 / 4$ を整理すると $3 q^{2} - 10 q + 3 \leq 0$ ，つまり $(3 q - 1) (q - 3) \leq 0$ ．したがって $1 / 3 \leq q \leq 3$ ． $q$ と $1 / q$ で同じ最大値になる対称性とも合う．
$q = 3$ では $f = (3 / 4) \cos^{2} φ$ ． $0 \leq φ < 90^{\circ}$ で目標を満たすのは $φ = 0$ だけであり，正面衝突が必要となる．
$q = 1$ では $f = \cos^{2} φ$ なので $0 \leq φ \leq 30^{\circ}$ ．等質量でも，かすめる衝突では多くを渡せない．角度が未指定なら質量比だけで実際の移行率を決めてはいけない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が速さ $u$ で質量 $2 m$ の的に当たり，重心系で $χ = 150^{\circ}$ 散乱された．入射方向を $x$ 軸とし，入射粒子は上側へ散乱されるものとする．

速度の円を描いてから，衝突後の入射粒子の速度の成分と，実験室系の散乱角 $θ$ を求めよ．
的の反跳角と，的に渡したエネルギーの割合を求めよ．必要なら $\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$ を使ってよい．

**［図：角度換算の出発点］**
O=A₂，A₁=(u,0)と質量比1:2，重心系の散乱角150°のみを与える．

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考え方 $\tan θ$ だけでは角の象限が決まらない．図の先端がOの左右どちらにあるか，成分の符号で判定する．

$G = (u / 3, 0)$ ，入射粒子の円の半径は $2 u / 3$ ．Gから $150^{\circ}$ の方向に半径を引くと

v_{1 後} = (\frac{1 - \sqrt{3}}{3} u, \frac{1}{3} u)

である． $x$ 成分は負， $y$ 成分は正なので $90^{\circ} < θ < 180^{\circ}$ ． $\tan θ = 1 / (1 - \sqrt{3})$ より $θ \approx 126^{\circ}$ ．速さは $u \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}} / 3$ である． $\tan θ$ の値だけでは象限が決まらないので，速度成分の符号で角を決める．

$φ = (180^{\circ} - 150^{\circ}) / 2 = 15^{\circ}$ ．エネルギー移行率は

f = \frac{8}{9} \cos^{2} 15^{\circ} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{9} \approx 0.83

である．入射粒子に残る割合 $v_{1 後}^{2} / u^{2} = (5 - 2 \sqrt{3}) / 9$ と足すと1になる．的は前方へ進む一方，軽い入射粒子は後方へ散乱されている．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $4 m$ の物体が速度 $U$ で右へ進み，質量 $m$ のAと $3 m$ のBに分裂する．分裂で運動エネルギーに変わる量は $Q = 3 m U^{2} / 2$ で，外力はない．

重心系での速さを求め，実験室系の速度の先端が描く2つの円を作図せよ．
それぞれの飛べる方向の範囲と速さの範囲を求めよ．
Aが実験室系で真上へ飛ぶとき，AとBの速度を求めよ．

**［図：分裂で解放されるエネルギー］**
親物体4mは右へ速度Uで進み，mと3mへ分かれる．Q=3mU²/2を与え，方向と速さは示さない．

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考え方 重心系の運動量は0なので，円の半径の比は質量の逆比になる．Oが各円の内側か外側かで方向の範囲が変わる．

Aの速さを $a$ とするとBは $a / 3$ ． $Q = 2 m a^{2} / 3 = 3 m U^{2} / 2$ より $a = 3 U / 2$ ，Bは $U / 2$ ． $G = (U, 0)$ を中心に半径 $3 U / 2$ ， $U / 2$ の円を描く．2つの先端はGをはさんで反対向きに置く．
Aの円はOを内部に含むので，全方向に飛べる．速さの範囲は $U / 2 \leq v_{A} \leq 5 U / 2$ ．Bの円はOの外側にあり，接線の向きでは $\sin θ_{max} = 1 / 2$ なので，最大角は $30^{\circ}$ ．前方の上下 $30^{\circ}$ 以内で，速さは $U / 2 \leq v_{B} \leq 3 U / 2$ となる．
Aの先端をOからの上向き半直線と円の交点に置く． $U^{2} + v_{A}^{2} = (3 U / 2)^{2}$ なので $v_{A} = (0, \sqrt{5} U / 2)$ ． $GB = - GA / 3$ より $v_{B} = (4 U / 3, - \sqrt{5} U / 6)$ ．運動量の和は $(4 m U, 0)$ ，エネルギーの和は $7 m U^{2} / 2 = 2 m U^{2} + Q$ で，分裂前の運動に解放エネルギーを加えた値になる．

ポイント教える人へ

反跳角はOで測り，散乱角 $χ$ はGで測る．同じ三角形のどの角かを指さして説明させる．
最大散乱角と最大エネルギー移行は，円上の異なる点で起こりうる．接点と直径の端を区別させる．
角度の換算では， $\tan θ$ の数値より先に速度成分の符号を調べさせる．
崩壊の円では，Oが円上に来る境界にも問いを広げられる．その点の速度は0なので方向は定まらず，直角方向は動く破片が達する最大値ではなく極限である．