振動

連成振動

著者：柚木芹香

問い

同じ長さの振り子を2つ，水平に張った1本の糸からつるします．片方だけを揺らして放すと，はじめは揺れていなかったもう片方が，だんだん揺れ始めます．そのうち最初に揺らしたほうはほとんど止まり，今度はもう片方が大きく揺れます．この揺れの受け渡しは，何度も繰り返されます．なぜ揺れが「移る」のでしょうか．

考えてみる

糸がなければ，2つの振り子はそれぞれ単振動を続け，片方がもう片方に影響することはありません．糸をつなぐと，片方が揺れたときに糸が引かれ，もう片方に小さな力が働きます．力を受ければエネルギーが移るのは自然ですが，それが「ぴったり全部移って，また戻る」ように見えるのが不思議です．

困るのは，一方の動きが他方の力を決め，他方の動きがまたその力を決めることです．2つの変位 $x_{1}$ ， $x_{2}$ の運動方程式が絡み合い，1つずつ解けません．そこで，絡みをほどく見方を探します．

2つの質点と3つのばね

なめらかな水平面の上で，質量 $m$ の2つの質点を，ばね定数 $k$ のばね2本で左右の壁につなぎ，2つの質点の間をばね定数 $κ$ のばねでつなぎます．つり合いの位置からの右向きの変位を $x_{1}$ ， $x_{2}$ とします．結合ばねの伸びは $x_{2} - x_{1}$ なので，運動方程式は次のとおりです．

m {\ddot{x}}_{1} = - k x_{1} - κ (x_{1} - x_{2}), m {\ddot{x}}_{2} = - k x_{2} + κ (x_{1} - x_{2})

**［図：二つの質点と三つのばね］**
左右の壁から定数kのばねで支えた二つの質点mを，定数κのばねで結ぶ．x₁とx₂は各つり合い位置から右向きに測る．

2つの質点が同じ角振動数で振動するパターンを探します．まず $x_{1} = x_{2}$ （同位相）で動く場合を考えます．結合ばねは伸び縮みせず，どちらの式も $m {\ddot{x}}_{1} = - k x_{1}$ になるので，これは実際に起こる運動です．角振動数は $ω_{1} = \sqrt{k / m}$ です．次に $x_{1} = - x_{2}$ （逆位相）で動く場合です．結合ばねの伸びは $x_{2} - x_{1} = - 2 x_{1}$ になり，式は $m {\ddot{x}}_{1} = - (k + 2 κ) x_{1}$ となります．結合ばねの分だけ復元力が強いので，角振動数は $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m}$ で， $ω_{1}$ より大きくなります．

定義基準振動

すべての質点が同じ角振動数で，一定の位相関係を保って振動する運動を基準振動，その角振動数を基準角振動数という．この系の基準振動は，同位相（ $ω_{1} = \sqrt{k / m}$ ）と逆位相（ $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m}$ ）の2つである．

**［図：基準振動の形と時間変化］**
上は同位相，下は逆位相の配置．下段の時間曲線では青をx₁，橙破線をx₂とし，同位相で重なり逆位相で符号が反対になることを示す．

法則重ね合わせ

運動方程式は線形なので，基準振動を足し合わせたものも解になる．一般の運動は

x_{1} = A \cos (ω_{1} t + ϕ_{1}) + B \cos (ω_{2} t + ϕ_{2}), x_{2} = A \cos (ω_{1} t + ϕ_{1}) - B \cos (ω_{2} t + ϕ_{2})

の形で，2つの基準振動の重ね合わせである． $A, B, ϕ_{1}, ϕ_{2}$ は初めの条件で決まる．

揺れが移るわけ

はじめに質点1を $a$ だけ引いて静かに放すと， $x_{1} (0) = a$ ， $x_{2} (0) = 0$ ，初速度は0です．これは，同じ大きさの2つの基準振動が，時刻0でちょうど $x_{2}$ を打ち消し合う重ね合わせです．

x_{1} = \frac{a}{2} (\cos ω_{1} t + \cos ω_{2} t), x_{2} = \frac{a}{2} (\cos ω_{1} t - \cos ω_{2} t)

和積の公式（次の節の「数学の道具」で整理します）で和を積に直すと， $\bar{ω} = \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2}$ ， $Δ = \frac{ω_{2} - ω_{1}}{2}$ として次のようになります．

x_{1} = a \cos Δ t \cos \bar{ω} t, x_{2} = a \sin Δ t \sin \bar{ω} t

速く振動する $\cos \bar{ω} t$ に，ゆっくり変わる振幅 $\cos Δ t$ ， $\sin Δ t$ がかかっています． $Δ t = π / 2$ で質点1の振幅（包絡線）は0になり，質点2が最大の振幅 $a$ になります．結合が弱く $Δ$ が $\bar{ω}$ よりずっと小さいとき，質点1の揺れはこのころにほぼ消えます．厳密に0になるのは包絡線で，速度には $a Δ$ 程度の大きさが残ります．この振幅の入れ替わりがうなりです．

**［図：うなりを生む二つの振動の和と差］**
ω₁=1，ω₂=1.1の厳密な重ね合わせを数値評価．包絡因子が0になる時刻を示すが，その時刻の速度が必ず0とは限らない．

揺れが移る理由は，2つの基準振動の角振動数が少し違うことです．時間がたつと2つの位相がずれていき，はじめは打ち消し合っていた質点2が強め合い，質点1が打ち消し合うようになります．結合が弱い（ $κ$ が $k$ よりずっと小さい）とき，結合ばねに蓄えられるエネルギーは小さく，各質点の揺れのエネルギーはおよそ $\cos^{2} Δ t$ と $\sin^{2} Δ t$ の割合で配られます．質点1から質点2へほぼ移りきる，つまり包絡線が入れ替わるまでの時間は $\frac{π}{2 Δ} = \frac{π}{ω_{2} - ω_{1}}$ です．また， $ω_{2} \approx ω_{1} (1 + κ / k)$ なので， $ω_{2} - ω_{1} \approx ω_{1} κ / k$ と小さく，移るのに長い時間がかかります．

質点が3つ，4つ， $N$ 個と増えると，基準振動も $N$ 個になります． $N$ をどんどん大きくして連続にしたものが波で，第25章で調べます．

ポイントここまでのまとめ

連成した振動は運動方程式が絡み合うが，同位相と逆位相の基準振動に分けると，それぞれ単振動になる．
この系では $ω_{1} = \sqrt{k / m}$ ， $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m}$ ．一般の運動は基準振動の重ね合わせである．
問いの答え：片方だけ揺らすのは，2つの基準振動を同じ大きさで足した状態である．角振動数が少し違うので位相差が進み，結合が弱ければ，一方の揺れがほぼ消えて他方が最大になる．これを繰り返してエネルギーがほぼ往復する．