振動

連成振動の数学と例題

著者：柚木芹香

数学の道具

定理数学の道具：連立の微分方程式を和と差で分離する

2つの変数を入れ替えても同じ形になる連立方程式

{\ddot{x}}_{1} = - α x_{1} + β x_{2}, {\ddot{x}}_{2} = β x_{1} - α x_{2}

で，辺々を足したものと引いたものを作り， $q_{+} = x_{1} + x_{2}$ ， $q_{-} = x_{1} - x_{2}$ とおくと

{\ddot{q}}_{+} = - (α - β) q_{+}, {\ddot{q}}_{-} = - (α + β) q_{-}

となり， $q_{+}$ と $q_{-}$ はそれぞれ独立な方程式になる（和と差で分離できるのは，この入れ替え対称な場合である）． $α - β > 0$ なら $q_{+}$ は角振動数 $ω_{+} = \sqrt{α - β}$ の単振動， $α + β > 0$ なら $q_{-}$ は角振動数 $ω_{-} = \sqrt{α + β}$ の単振動になる（係数が0なら等速運動，負なら指数関数的な運動である）． $x_{1} = \frac{q_{+} + q_{-}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{q_{+} - q_{-}}{2}$ と戻す． $q_{-} = 0$ が同位相， $q_{+} = 0$ が逆位相の基準振動である．前の節の系は $α = \frac{k + κ}{m}$ ， $β = \frac{κ}{m}$ にあたり， $α \mp β > 0$ をみたす．

うなりの計算には和積の公式を使う．

\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}, \cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}

加法定理 $\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$ の2式を足し引きし， $α + β = A$ ， $α - β = B$ とおくと導ける．

練習 1． (1) ${\ddot{x}}_{1} = - 2 x_{1} + x_{2}$ ， ${\ddot{x}}_{2} = x_{1} - 2 x_{2}$ の基準角振動数を求めよ．(2) $\cos 11 t + \cos 9 t$ を積の形に直せ．

答え：(1) $α = 2$ ， $β = 1$ より $ω_{+} = 1$ ， $ω_{-} = \sqrt{3}$ 　(2) $2 \cos 10 t \cos t$

練習 2． (1) ${\ddot{x}}_{1} = - 3 x_{1} + x_{2}$ ， ${\ddot{x}}_{2} = x_{1} - 3 x_{2}$ の基準角振動数を求めよ．(2) $\cos 21 t + \cos 19 t$ を積の形に直し，うなりの角振動数を答えよ．

答え：(1) 和 $s = x_{1} + x_{2}$ は $\ddot{s} = - 2 s$ ，差 $d = x_{1} - x_{2}$ は $\ddot{d} = - 4 d$ に従うので $\sqrt{2}$ と $2$ ．(2) $2 \cos 20 t \cos t$ ．振幅 $| 2 \cos t |$ は角振動数 $2$ で強弱をくり返す（ $21 - 19 = 2$ ）．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面の上で，質量 $0.20 kg$ の2つの質点を，ばね定数 $20 N m^{- 1}$ のばね2本で左右の壁につなぎ，質点どうしを $30 N m^{- 1}$ のばねでつなぐ．

**［図：数値を指定した連成系］**
質量0.20 kgの二つの物体を外側の20 N/mのばねと中央の30 N/mのばねで結ぶ．基準振動数の数値は記さない．

基準角振動数を求めよ．
質点1を右に $2.0 cm$ 引き，質点2をつり合いの位置に保って，同時に静かに放す．質点1の振れの振幅（包絡線）が初めて0になる時刻と，そのときの質点2の振幅を求めよ．

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考え方 前の節の式に数値を入れる．(2) は和積の公式でうなりの形にする．

$k = 20$ ， $κ = 30$ のとき， $ω_{1} = \sqrt{k / m} = \sqrt{20 / 0.20} = 10 rad s^{- 1}$ ， $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m} = \sqrt{80 / 0.20} = 20 rad s^{- 1}$ である．
$\bar{ω} = 15 rad s^{- 1}$ ， $Δ = 5 rad s^{- 1}$ で， $a = 2.0 cm$ として

x_{1} = a \cos 5 t \cos 15 t, x_{2} = a \sin 5 t \sin 15 t

である．質点1の包絡線の大きさ $a | \cos 5 t |$ が初めて0になるのは $5 t = π / 2$ ，すなわち $t = π / 10 \approx 0.31 s$ である．このとき質点2の包絡線の大きさは $a = 2.0 cm$ である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

長さ $L = 1.0 m$ の軽い糸に質量 $m = 0.10 kg$ の小球をつるした2つの振り子が，並んでつるされている．2つの小球を，水平に張った軽いばね（ばね定数 $κ = 0.020 N m^{- 1}$ ）でつなぐ．重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ ，振れは小さく，ばねは水平を保つとする．

**［図：ばねで結ばれた二つの振り子］**
長さlの二つの振り子の小球を定数κのばねで結ぶ．鉛直からの小角をθ₁とθ₂とし，ばねは小角近似で水平とみなす．

基準角振動数を求めよ．
振り子1だけを小さく振らせて放した．振り子1の振れが初めてほぼ0になるまでの時間を求め， $κ$ が小さいとして $ω_{2} - ω_{1}$ を近似した値と比べよ．

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考え方 小球の水平変位 $x_{i} = L θ_{i}$ の運動方程式を立て，前の節の系の $k$ を $m g / L$ に置き換える．

水平方向の力は，重力の成分 $- m g θ_{i} = - (m g / L) x_{i}$ と，ばねの力 $\mp κ (x_{1} - x_{2})$ である．運動方程式は

m {\ddot{x}}_{1} = - \frac{m g}{L} x_{1} - κ (x_{1} - x_{2}), m {\ddot{x}}_{2} = - \frac{m g}{L} x_{2} + κ (x_{1} - x_{2})

で，前の節の $k = m g / L$ の場合である．よって

ω_{1} = \sqrt{\frac{g}{L}} \approx 3.130 rad s^{- 1}, ω_{2} = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2 κ}{m}} = \sqrt{10.2} \approx 3.194 rad s^{- 1}

である．

振り子1の振れの包絡線が0になるのは $Δ t = π / 2$ のときで， $t = \frac{π}{ω_{2} - ω_{1}} = \frac{π}{0.0632} \approx 50 s$ ．近似 $ω_{2} - ω_{1} \approx ω_{1} κ / k$ （ $k = m g / L = 0.98 N m^{- 1}$ ）では $0.0639 rad s^{- 1}$ で， $t \approx 49 s$ とほぼ一致する．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

2原子分子を，質量 $m$ の2つの原子をばね定数 $κ$ のばねでつないだものとみなす．壁は無く，2つの原子は一直線上を動く．酸素分子で $m = 16 u = 2.66 \times 10^{- 26} kg$ ， $κ = 1.2 \times 10^{3} N m^{- 1}$ として，次を答えよ．

**［図：壁を持たない二原子の模型］**
壁に固定されていない二つの質量mの原子模型．位置をx₁，x₂，結合ばねの自然長をl₀とする．

和と差で運動を分け，基準振動が何を表すか述べよ．
分子の振動の周期を求めよ．

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考え方 前の節の系で壁のばねを無くした（ $k = 0$ ）ものと考え，和と差に分ける．

$x_{1} < x_{2}$ とすると，ばねの伸びは $x_{2} - x_{1} - l_{0}$ で， $m {\ddot{x}}_{1} = κ (x_{2} - x_{1} - l_{0})$ ， $m {\ddot{x}}_{2} = - κ (x_{2} - x_{1} - l_{0})$ である．足すと $m ({\ddot{x}}_{1} + {\ddot{x}}_{2}) = 0$ で，重心が等速直線運動をする（角振動数0の基準振動）．引くと， $r = x_{2} - x_{1}$ について $\ddot{r} = - \frac{2 κ}{m} (r - l_{0})$ となり，ばねの長さが $l_{0}$ のまわりで単振動する．
角振動数 $ω = \sqrt{2 κ / m} = \sqrt{2400 / (2.66 \times 10^{- 26})} \approx 3.0 \times 10^{14} rad s^{- 1}$ で，周期は $T = 2 π / ω \approx 2.1 \times 10^{- 14} s$ である．

ポイントここまでのまとめ

入れ替えて同じ形の連立方程式は，和と差を作ると独立な方程式に分かれ，係数が正なら独立な単振動になる．
弱い結合では $ω_{2} - ω_{1} \approx ω_{1} κ / k$ が小さく，エネルギーがほぼ移りきる時間 $π / (ω_{2} - ω_{1})$ は長い．
壁の無い系では，角振動数0の基準振動が重心の等速運動を表す．