振動

連成振動の演習

著者：柚木芹香

同じ向きの座標軸で各物体の変位を書き，結合ばねの伸びを確かめてください．和と差で分けた運動を，最後に個々の物体の位置と速度へ戻しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

左右の壁と質量 $m$ の2物体を外側のばね $k$ でつなぎ，物体間をばね $κ$ でつなぐ．つり合いではどのばねも自然長であり，変位 $x_{1}, x_{2}$ はともに右向きを正とする．

解答を見る

考え方 結合ばねの右端の変位から左端の変位を引く．左端だけが右へ動けば，結合ばねは短くなる．

伸びは $x_{2} - x_{1}$ なので，同位相では0，逆位相では $- 2 a$ である．負の伸びは圧縮を意味する．結合ばねが物体1に及ぼす力は $κ (x_{2} - x_{1})$ ，物体2への力はその反対になる．
同位相では結合ばねの力が0だから $m {\ddot{x}}_{1} = - k x_{1}$ ， $ω_{1} = \sqrt{k / m}$ ．逆位相では $x_{2} = - x_{1}$ を代入して $m {\ddot{x}}_{1} = - (k + 2 κ) x_{1}$ ， $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m}$ ．逆位相では結合ばねも変形するので，振動数は大きくなる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

演習1の系で $m = 0.50 kg$ ， $k = 8.0 N m^{- 1}$ ， $κ = 5.0 N m^{- 1}$ とする． $x_{1} (0) = a$ ， $x_{2} (0) = - a$ ，両物体の初速度0で放す．

解答を見る

考え方 位置だけでなく速度の和と差も初期条件に含める．一方の基準振動だけを励起すれば，2つの振動数の混合は起こらない．

$ω_{1} = 4.0 rad s^{- 1}$ ， $ω_{2} = 6.0 rad s^{- 1}$ ．初期条件は $q_{+} (0) = 0$ ， ${\dot{q}}_{+} (0) = 0$ ， $q_{-} (0) = 2 a$ ， ${\dot{q}}_{-} (0) = 0$ ．したがって $q_{+} = 0$ ， $q_{-} = 2 a \cos 6 t$ となる．
$x_{1} = (q_{+} + q_{-}) / 2 = a \cos 6 t$ ， $x_{2} = (q_{+} - q_{-}) / 2 = - a \cos 6 t$ ．最初の同時通過は $6 t = π / 2$ ，すなわち $t = π / 12 \approx 0.26 s$ ．このとき変位はともに0だが，速度は $- 6 a$ と $+ 6 a$ であり，静止したわけではない．全エネルギーが運動エネルギーになっている．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

演習1の系をすべてつり合い位置に置き，時刻0に物体1だけへ右向きの短い力積 $J$ を加える．力積中の変位は無視できる．

$q_{+}, q_{-}$ の初速度を求めよ．
$ω_{1} = \sqrt{k / m}$ ， $ω_{2} = \sqrt{(k + 2 κ) / m}$ を使って $x_{1} (t), x_{2} (t)$ を求めよ．結合を0にした極限も調べよ．

解答を見る

考え方 初めに片方だけへ速度を与える操作も，同位相と逆位相の両方の運動を含む．正弦型の解を重ねる．

運動量変化から $v_{1} (0) = J / m$ ， $v_{2} (0) = 0$ ．したがって ${\dot{q}}_{+} (0) = {\dot{q}}_{-} (0) = J / m$ で，初期位置は両方0である．
$q_{+} = J \sin ω_{1} t / (m ω_{1})$ ， $q_{-} = J \sin ω_{2} t / (m ω_{2})$ なので

x_{1} = \frac{J}{2 m} (\frac{\sin ω_{1} t}{ω_{1}} + \frac{\sin ω_{2} t}{ω_{2}}), x_{2} = \frac{J}{2 m} (\frac{\sin ω_{1} t}{ω_{1}} - \frac{\sin ω_{2} t}{ω_{2}})

である． $κ \to 0$ では両角振動数が $ω = \sqrt{k / m}$ に一致し， $x_{1} = J \sin ω t / (m ω)$ ， $x_{2} = 0$ となる．結合がなければ運動が他方へ伝わらないことを確かめられる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

演習1の系で $x_{1} (0) = a$ ， $x_{2} (0) = 0$ ，初速度はともに0とする． $\bar{ω} = (ω_{1} + ω_{2}) / 2$ ， $Δ = (ω_{2} - ω_{1}) / 2 > 0$ とおく．

解答を見る

考え方 変位の包絡因子が0でも，その因子の時間微分は0とは限らない．積を微分して速度を確かめる．

$q_{+} = a \cos ω_{1} t$ ， $q_{-} = a \cos ω_{2} t$ だから，和積の公式より $x_{1} = a \cos Δ t \cos \bar{ω} t$ ， $x_{2} = a \sin Δ t \sin \bar{ω} t$ である．
$Δ t_{*} = π / 2$ より $t_{*} = π / (2 Δ) = π / (ω_{2} - ω_{1})$ ． $x_{1} (t_{*}) = 0$ だが，微分すると $v_{1} (t_{*}) = - a Δ \cos \bar{ω} t_{*}$ で一般には0ではない．また $x_{2} (t_{*}) = a \sin \bar{ω} t_{*}$ で，瞬間の変位が必ず $a$ になるわけでもない．弱結合で $Δ / \bar{ω}$ が小さいと，残る速度は通常の速度尺度 $a \bar{ω}$ に比べて小さい．そこで「ほぼ静まる」と表現できるが，包絡線と実際の軌道は区別が必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

壁につながれていない質量 $m$ と $2 m$ の2物体を，自然長 $l_{0}$ ，ばね定数 $κ$ のばねで結ぶ．水平な一直線上で抵抗なく動き，位置は $x_{1} < x_{2}$ とする．

解答を見る

考え方 質量が違う場合，単純な位置の和ではなく質量を重みにした重心を使う．内力は重心運動を変えない．

$m {\ddot{x}}_{1} = κ r$ ， $2 m {\ddot{x}}_{2} = - κ r$ ．加えると $3 m \ddot{R} = 0$ ．加速度の差をとると $\ddot{r} = - 3 κ r / (2 m)$ となる．重心は等速で，伸びは角振動数 $Ω = \sqrt{3 κ / (2 m)}$ の単振動である．
$r = a \cos Ω t$ ． $x_{1} = R - 2 (l_{0} + r) / 3$ ， $x_{2} = R + (l_{0} + r) / 3$ だから，各つり合い位置からの変位は $- 2 a \cos Ω t / 3$ と $a \cos Ω t / 3$ ．振幅は $2 a / 3$ と $a / 3$ で，軽い方が大きく動く．位置の平均は振動しても重心は固定され，両物体の運動量は常に打ち消し合う．

ポイント教える人へ