減衰振動と強制振動の演習

考え方 抵抗係数 $b$ を直接 ${\omega }_0$ と比較せず，単位の揃う $\gamma =b/(2m)$ に直す．

1. ${\omega }_0=\sqrt{k/m}=4.0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$．各 $\gamma$ は $1.0,4.0,5.0{\mathrm{s}}^{-1}$ だから順に弱減衰，臨界減衰，過減衰である．臨界値は $b_c=2m{\omega }_0=8.0\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$．抵抗が大きいほど速く戻るという予想は，過減衰の範囲では成り立たない．

2. ${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}=\sqrt{15}\approx 3.9\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$，$T^{\prime }=2\pi /\sqrt{15}\approx 1.6\mathrm{s}$．抵抗なしの周期 $2\pi /4$ より長い．臨界減衰と過減衰では周期的な往復がないため，同じ周期の式を実数値として当てはめることはできない．

考え方 同じ位相で比較すれば三角関数の因子が同じになるため，山の比は指数因子の比だけで決まる．

1. $e^{-\gamma T^{\prime }}=0.80$ より $\gamma =-\ln 0.80/0.50\approx 0.446{\mathrm{s}}^{-1}$．$b=2m\gamma \approx 0.18\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1}$．${\omega }^{\prime }=2\pi /T^{\prime }=4\pi \mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ であり，${\omega }_0=\sqrt{(4\pi {)}^2+{\gamma }^2}\approx 12.6\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$．山の間隔から直接分かるのは ${\omega }^{\prime }$ であって ${\omega }_0$ ではない．

2. ${0.80}^n\le 1/2$ より $n\ge \ln (1/2)/\ln 0.80\approx 3.11$．したがって4周期後の山からである．3周期後は0.512倍，4周期後は0.4096倍となる．包絡線そのものが半分になる時刻と，離散的に記録された山が初めて半分以下になる時刻を区別する必要がある．

考え方 重解をもつ特性方程式では，指数関数だけでは独立な解が足りず，時刻を掛けた項も必要である．

1. ${\lambda }^2+6\lambda +9=(\lambda +3{)}^2=0$ で，$\gamma ={\omega }_0=3{\mathrm{s}}^{-1}$ の臨界減衰である．初期位置から $C_1=a$．$\dot{x}=\{C_2-3(C_1+C_{2}t)\}{e}^{-3t}$ に初速度を代入して $C_2=3a$．よって $x=a(1+3t)e^{-3t}$．

2. $t\ge 0$ で $x>0$，$t>0$ で $\dot{x}=-9at{e}^{-3t}<0$．したがって原点を横切らず，向きも変えずに0へ近づく．$x=a{e}^{-3t}$ だけを解とすると初速度が $-3a$ となり，静かに放す条件に合わない．なお，原点を横切らないという結論はここで指定した初期条件についてのものであり，十分大きい初速度を与えた場合まで含む主張ではない．

考え方 固有角振動数で駆動すると，変位は外力より四分の一周期遅れ，速度は外力と同位相になる．変位の最大振幅を与える周波数とは区別する．

1. ${\omega }_0=10\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$，$\gamma =1.0{\mathrm{s}}^{-1}$．$A=F_0/(b{\omega }_0)=0.020\mathrm{m}$，$\delta =\pi /2$．したがって $x=0.020\sin 10t$，$v=0.20\cos 10t$ である．

2. ${\cos }^2$ の1周期平均は $1/2$ なので，$⟨Fv⟩=0.20\times 0.20/2=0.020\mathrm{W}$．$⟨b{v}^2⟩=1.0\times {0.20}^2/2=0.020\mathrm{W}$ で等しい．定常状態とはエネルギーの流入がない状態ではなく，周期平均の流入と損失が釣り合う状態である．

3. 振幅の分母の2乗を微分すると $4\omega ({\omega }^2-{\omega }_0^2+2{\gamma }^2)$．正の極小点は ${\omega }_r=\sqrt{98}\approx 9.90\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ で，10よりわずかに小さい．弱い抵抗で両者を近似的に同じとする場合も，どの応答を最大にするかは明示する．

考え方 運動方程式に速度を掛けると，力の式が仕事率の式になる．1周期後の比と，周期の途中を含む時間変化は別に調べる．

1. 微分して $\dot{E}=mv\dot{v}+kxv=v(m\ddot{x}+kx)=-b{v}^2\le 0$．外力がなければエネルギーは増えず，転回点では $v=0$ なので瞬間の減少率も0になる．

2. 三角関数の位相が $2\pi$ 増えるため，$x(t+T^{\prime })=e^{-\gamma T^{\prime }}x(t)$，$v(t+T^{\prime })=e^{-\gamma T^{\prime }}v(t)$．両方を2乗して足すと $E(t+T^{\prime })/E(t)=e^{-2\gamma T^{\prime }}$ が厳密に成り立つ．しかし全時刻で単純な指数関数なら $\dot{E}=-2\gamma E$ となり，転回点でも $E>0$ なら減少率が負になって(1)と合わない．抵抗が十分小さい場合には，周期中の小さな変動をならしたエネルギーの近似として指数減衰を使える．