振動

減衰振動と強制振動の数学と例題

著者：柚木芹香

数学の道具

定理数学の道具：複素数とオイラーの式

複素数． $i^{2} = - 1$ となる $i$ を使った $z = a + b i$ （ $a, b$ は実数）を複素数といい， $a$ を実部として $a = Re z$ と書く．

オイラーの式． 実数 $a$ の $e^{a t}$ は $f^{'} = a f$ ， $f (0) = 1$ をみたす関数だった．この性質を保ったまま $a = i$ とした関数を $e^{i θ}$ と定める．一方 $g = \cos θ + i \sin θ$ は

g^{'} = - \sin θ + i \cos θ = i g, g (0) = 1

をみたし，1階の微分方程式の解は初期値で決まるので

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

である． $e^{i θ}$ は単位円の上を回る点で，実部が $\cos θ$ である．

微分が掛け算になる． $z = C e^{i ω t}$ なら $\dot{z} = i ω z$ ， $\ddot{z} = - ω^{2} z$ である．強制振動の方程式は，右辺を $f e^{i ω t}$ に替えて解き，実部をとれば解が得られる．

特性方程式． $\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ に $x = e^{λ t}$ を代入すると $λ^{2} + 2 γ λ + ω_{0}^{2} = 0$ ，つまり $λ = - γ \pm \sqrt{γ^{2} - ω_{0}^{2}}$ である． $γ < ω_{0}$ なら $λ = - γ \pm i ω^{'}$ で，実数の形は $A e^{- γ t} \cos (ω^{'} t + ϕ)$ ． $γ > ω_{0}$ は実数の $λ$ が2つ， $γ = ω_{0}$ は重解で $x = (C_{1} + C_{2} t) e^{- γ t}$ である．

定常解． $z = C e^{i ω t}$ を代入すると $(ω_{0}^{2} - ω^{2} + 2 i γ ω) C = f$ ．括弧の中を $D e^{i δ}$ とおくと $D = \sqrt{(ω_{0}^{2} - ω^{2})^{2} + 4 γ^{2} ω^{2}}$ ， $\tan δ = \frac{2 γ ω}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}$ で， $C = \frac{f}{D} e^{- i δ}$ より $x = Re (C e^{i ω t}) = \frac{f}{D} \cos (ω t - δ)$ となる．

練習 1． (1) $Re [\frac{e^{i t}}{1 + i}]$ を $\cos (t - δ)$ の形で表せ．(2) $\ddot{x} + 4 \dot{x} + 13 x = 0$ の一般解を求めよ．

答え：(1) $\frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{- i π / 4}$ より $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t - \frac{π}{4})$ 　(2) $λ = - 2 \pm 3 i$ より $x = e^{- 2 t} (a \cos 3 t + b \sin 3 t)$

練習 2． (1) $e^{i π / 3}$ の実部と虚部を求めよ．(2) $3 + 4 i$ を $r e^{i θ}$ の形に書け．(3) $\ddot{x} + 2 \dot{x} + 5 x = 0$ の一般解を求めよ．

答え：(1) 実部 $\frac{1}{2}$ ，虚部 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．(2) $r = 5$ ， $\tan θ = \frac{4}{3}$ （ $θ \approx 0.93$ ）．(3) $λ^{2} + 2 λ + 5 = 0$ より $λ = - 1 \pm 2 i$ ， $x = e^{- t} (a \cos 2 t + b \sin 2 t)$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $0.50 kg$ のおもりを，ばね定数 $200 N m^{- 1}$ のばねにつなぎ，速度に比例する抵抗（比例定数 $b = 2.0 kg s^{- 1}$ ）のある液体の中で振動させる．

**［図：弱減衰の周期と包絡線］**
例題の係数で曲線を数値評価し，減衰周期と包絡線が十分の一となる位置を記号で示す．数値解答は記さない．

$ω_{0}$ ， $γ$ ，減衰振動の角振動数 $ω^{'}$ を求めよ．
振幅が最初の $1 / 10$ になるまでの時間と，その間の振動の回数を求めよ．
おもりをつり合いの位置からずらして静かに放すとき，振動させずに最も速くつり合いの位置へ戻すには， $b$ をいくらにするか．

解答を見る

考え方 $ω_{0} = \sqrt{k / m}$ ， $γ = b / 2 m$ を求め， $γ < ω_{0}$ を確かめて弱減衰の式を使う．

$ω_{0} = \sqrt{200 / 0.50} = 20 rad s^{- 1}$ ， $γ = 2.0 / (2 \times 0.50) = 2.0 s^{- 1}$ ．弱減衰で $ω^{'} = \sqrt{20^{2} - {2.0}^{2}} \approx 19.9 rad s^{- 1}$ である．
$e^{- γ t_{1}} = 0.1$ より $t_{1} = \ln 10 / γ \approx 1.2 s$ ．周期 $T^{'} = 2 π / ω^{'} \approx 0.316 s$ なので，回数は $t_{1} / T^{'} \approx 3.6$ 回である．
静かに放す場合，振動しない運動のうち最も速くつり合いの位置へ近づくのは臨界減衰 $γ = ω_{0}$ のときである．よって $b = 2 m ω_{0} = 20 kg s^{- 1}$ である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

例題 1 のおもりに外力 $F_{0} \cos ω t$ （ $F_{0} = 1.0 N$ ）を加える．十分に時間がたった後の定常振動を考える．

**［図：共鳴時の外力と変位と速度］**
固有角振動数で駆動した定常振動．赤実線の外力と青破線の速度は同位相で重なり，緑の変位は四分の一周期遅れる．各量を自身の振幅で割って表示する．

$ω = 10 rad s^{- 1}$ のときの振幅 $A$ と位相の遅れ $δ$ を求めよ．
$ω = ω_{0}$ のときの振幅は $F_{0} / k$ の何倍か．
1. のとき，外力の仕事率の平均と，抵抗で失うエネルギーの毎秒の平均を求めよ．

解答を見る

考え方 $f = F_{0} / m = 2.0 m s^{- 2}$ を前の節の式に入れる．(3) は $F v$ と $b v^{2}$ の平均をとる．

$ω_{0}^{2} - ω^{2} = 300$ ， $2 γ ω = 40$ なので $A = \frac{2.0}{\sqrt{300^{2} + 40^{2}}} \approx 6.6 \times 10^{- 3} m$ ， $\tan δ = \frac{40}{300}$ より $δ \approx 0.13 rad$ である．
$A = \frac{f}{2 γ ω_{0}} = 2.5 \times 10^{- 2} m$ ． $F_{0} / k = 5.0 \times 10^{- 3} m$ の5倍で， $Q = ω_{0} / 2 γ = 5$ に等しい．
$x = A \sin ω_{0} t$ ， $v = A ω_{0} \cos ω_{0} t$ で， $v$ は外力と同位相である． $\cos^{2}$ の平均は $1 / 2$ だから，外力の仕事率の平均は $\frac{1}{2} F_{0} A ω_{0} = 0.25 W$ ，抵抗の損失は $\frac{1}{2} b A^{2} ω_{0}^{2} = 0.25 W$ で，両者は等しい．

ポイントここまでのまとめ

オイラーの式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ で，振動の微分を $i ω$ の掛け算に置き換え，実部をとって実数の解を得る．
特性方程式 $λ^{2} + 2 γ λ + ω_{0}^{2} = 0$ の根で，3つの減衰の形が決まる．
定常解は $C = f / (ω_{0}^{2} - ω^{2} + 2 i γ ω)$ の絶対値が振幅，偏角の符号を逆にしたものが位相の遅れ．共鳴では外力の仕事と抵抗の損失がつり合う．変位の振幅が最大になるのは $γ < ω_{0} / \sqrt{2}$ のとき $ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - 2 γ^{2}}$ で（それ以上の $γ$ では $ω = 0$ が最大），位相の遅れが $π / 2$ （速度が外力と同位相）になるのは $ω = ω_{0}$ である． $γ$ が小さければ両者は近い．