電流と回路

電流と抵抗の演習

著者：柚木芹香

電荷の流れ，導線内の電場，発熱を結びつけて考えてください．この節の $ρ$ は抵抗率を表し，電荷密度には使いません．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

電子の数密度 $n = 8.0 \times 10^{28} m^{- 3}$ ，断面積 $S = 2.0 \times 10^{- 6} m^{2}$ ，抵抗率 $ρ = 2.0 \times 10^{- 8} Ω m$ の一様な導線に，右向きに $I = 3.2 A$ が流れる．電気素量は $e = 1.6 \times 10^{- 19} C$ とする．

電流密度と電子のドリフト速度の大きさ・向きを求めよ．
導線内の電場と，電子が平均して $1.0 m$ 移動する時間を求めよ．

**［図：一様な導線の断面と電流］**
一様な導線の断面積Sと，右向きに流れる電流I = 3.2 Aを示す．数密度nと抵抗率ρは問題で与えられた値である．

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考え方
断面を単位時間に通る電荷を数える．負の電荷の移動と電流の向きは逆である．

$j = I / S = 1.6 \times 10^{6} A m^{- 2}$ ．時間 $d t$ に断面を通る電子数は $n S v_{d} d t$ なので， $I = n e S v_{d}$ ．よって $v_{d} = I / (n e S) = 1.3 \times 10^{- 4} m s^{- 1}$ で，電子は左へ進む．
$E = ρ j$ より電場は右向きで， $E = 3.2 \times 10^{- 2} V m^{- 1}$ ．丸める前の $v_{d} = 1.25 \times 10^{- 4} m s^{- 1}$ を使うと，時間は $1.0 / v_{d} = 8.0 \times 10^{3} s$ ．平均移動の時間は電場の変化が伝わる時間と異なり，点灯の速さを決めない．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

電池の電流 $I$ と端子電圧 $V$ を測った．計器の影響は補正済みで，起電力 $E$ と内部抵抗 $r$ は一定とする．

$I$	$0.20 A$	$0.50 A$	$0.80 A$
$V$	$4.50 V$	$4.20 V$	$3.90 V$

$V$ と $I$ の関係から $E, r$ を決め，中央の測定値も確かめよ．
電流 $0.50 A$ での外部への電力と内部の発熱率を求めよ．両端の電圧の誤差が各 $\pm 0.02 V$ 以内で，電流の誤差を無視すると，両端から求める $r$ の誤差の最大値はいくらか．

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考え方
傾きから内部抵抗，切片から起電力を読む．

$V = E - r I$ だから， $r = (4.50 - 3.90) / (0.80 - 0.20) = 1.0 Ω$ ， $E = 4.50 + 1.0 \times 0.20 = 4.70 V$ ．中央の予測も $4.70 - 1.0 \times 0.50 = 4.20 V$ で一致する．
外部電力は $I V = 2.1 W$ ，内部発熱率は $I^{2} r = 0.25 W$ ．電圧差の誤差は $0.04 V$ なので， $r$ の誤差は最大 $0.04 / 0.60 \approx 0.07 Ω$ ．丸める前に $2.10 + 0.25 = 2.35 W = E I$ で収支も合う．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $ℓ$ ，抵抗率 $ρ$ の導体の円形断面の半径は，左端からの距離 $x$ に対して $a (1 + x / ℓ)$ である．両端面を電極とし，側面は絶縁する．断面内の電位は一様と近似し， $a / ℓ$ は十分小さいとする．

抵抗と，定常電流 $I$ を流したときの電場 $E (x)$ を求めよ．
同じ電圧で，半径 $a$ ，長さ $ℓ$ の一様な導線と，全発熱率を比較せよ．

**［図：円すい台状導体の寸法］**
両端面を電極とする円すい台状導体．左端からの座標x，長さℓ，左端の半径aと右端の半径2a，抵抗率ρを示す．

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考え方
断面を通る電流は一定で，小区間の電圧降下を足す．

$S (x) = π a^{2} {(1 + x / ℓ)}^{2}$ ， $j (x) = I / S (x)$ より， $E (x) = ρ I / [π a^{2} {(1 + x / ℓ)}^{2}]$ ．電圧は $V = \int_{0}^{ℓ} E (x) d x$ だから

R = \frac{V}{I} = \frac{ρ}{π a^{2}} \int_{0}^{ℓ} \frac{d x}{{(1 + x / ℓ)}^{2}} = \frac{ρ ℓ}{2 π a^{2}} .

一様な導線の抵抗は $R_{u} = ρ ℓ / (π a^{2}) = 2 R$ ．電圧一定では $P = V^{2} / R$ なので円すい台の発熱率は2倍である． $ρ ℓ / a^{2}$ は抵抗の次元で， $E (0) / E (ℓ) = 4$ である．近似には半径の傾き $a / ℓ$ が十分小さいことが必要である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

起電力 $E > 0$ ，内部抵抗 $r > 0$ の電池に，可変抵抗 $R > 0$ をつなぐ．

外部抵抗の電力 $P$ を最大にする $R$ と，そのときの外部への供給効率を求めよ．効率は $P / (E I)$ とする．
装置が要求する端子電圧 $V \geq 3 E / 4$ を守る場合の最大電力を求めよ．

**［図：内部抵抗をもつ電池と外部抵抗］**
起電力ℰと内部抵抗rをもつ電池に外部抵抗Rを接続する．破線内が電池で，外部抵抗の両端に端子電圧Vの極性の基準を示す．

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考え方
電圧条件を抵抗の範囲に直して最大化する．

$I = E / (r + R)$ ， $P = E^{2} R / (r + R)^{2}$ ．微分すると $\frac{d P}{d R} = E^{2} (r - R) / (r + R)^{3}$ なので， $R = r$ で最大 $P_{max} = E^{2} / (4 r)$ ．効率は $I R / E = R / (r + R) = 1 / 2$ である．
$V / E = R / (r + R) \geq 3 / 4$ から $R \geq 3 r$ ．この範囲では $P$ は減少するため，最大は $R = 3 r$ で $P = 3 E^{2} / (16 r)$ ，効率は $3 / 4$ ． $R \to 0$ と $R \to \infty$ で電力は0となり，途中の最大と整合する．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

温度上昇 $θ = T - T_{0}$ の電熱線が， $R = R_{0} (1 + α θ)$ に従う． $α > 0$ ，熱容量を $H$ ，周囲への放熱率を $h θ$ とし，温度は一様， $θ (0) = 0$ ， $h > α I^{2} R_{0}$ とする．

定電流 $I$ を流すときの $θ (t)$ と平衡温度上昇を求めよ．
$V = I R_{0}$ の定電圧に変え，発熱率を $α θ$ の1次まで展開せよ．平衡温度上昇を比較し，近似が使える条件を示せ．

**［図：電熱線と周囲への放熱］**
定電流Iで加熱する熱容量Hの電熱線と，温度T₀の周囲への放熱hθを示す．小問(2)ではV = IR₀の定電圧源を用いる．

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考え方
発熱と放熱の差が温度を変える．

$P_{0} = I^{2} R_{0}$ とおけば， $H \frac{d θ}{d t} = P_{0} - (h - α P_{0}) θ$ ． $h > α P_{0}$ なら $θ_{s} = P_{0} / (h - α P_{0})$ とおいて， $\frac{d (θ_{s} - θ)}{d t} = - (h - α P_{0}) (θ_{s} - θ) / H$ ．積分と初期条件から $θ (t) = θ_{s} [1 - e^{- (h - α P_{0}) t / H}]$ となる．
$V^{2} / R_{0} = P_{0}$ より， $V^{2} / R \approx P_{0} (1 - α θ)$ ．したがって $H \frac{d θ}{d t} = P_{0} - (h + α P_{0}) θ$ ，平衡値は $θ_{s}^{'} = P_{0} / (h + α P_{0})$ であり，定電流より低い．近似には $η = α P_{0} / h$ が十分小さい必要があり， $α θ_{s} = η / (1 - η)$ も小さい． $η \to 1$ の発散は適用範囲外である． $α \to 0$ では両平衡値が $P_{0} / h$ に一致し， $H / h$ は時間の次元をもつ．

ポイント教える人へ

電荷の符号から電子の速度と電流の向きを説明させてください．
測定直線の傾き・切片と供給電力・内部損失を結びつけてください．
小区間の電圧降下を足す理由を問うてください．
電源による発熱の違いと，1次近似の条件を確かめてください．