電流と回路

直流回路の例題

著者：柚木芹香

本体の節の道具を，測定の場面で使います．ブリッジのずれをテブナンの定理で見積もること，測定器の内部抵抗による誤差，非線形素子の動作点の3つです．どれも，測定器や素子を回路の一部として式に入れることが要点です．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

内部抵抗の無視できる起電力 $E = 3.0 V$ の電池の正極を頂点A，負極を頂点Bにつなぐ．AからBへ，抵抗 $R_{1} = 100 Ω$ ，接続点P，抵抗 $R_{2} = 200 Ω$ の順に直列につないだ枝と，抵抗 $R_{3} = 150 Ω$ ，接続点N，抵抗 $X$ の順に直列につないだ枝を置く．P，N間には抵抗 $R_{g} = 50 Ω$ の検流計をつなぐ．

検流計に電流が流れないときの $X$ を求めよ．
$X = 310 Ω$ のとき，検流計を流れる電流の大きさと向きを求めよ．

**［図：検流計を含むブリッジ回路］**
電池の正極をA，負極をBにつなぐ．左枝はR_1，P，R_2，右枝はR_3，N，Xの順．PとNの間に抵抗R_gの検流計を置く．

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考え方 (1) はブリッジの平衡の条件．(2) は検流計を外した残りを，P，N を端子とするテブナンの回路にまとめる．

$R_{1} / R_{2} = R_{3} / X$ より

X = \frac{R_{2} R_{3}}{R_{1}} = \frac{200 \times 150}{100} Ω = 300 Ω

検流計を外すと，Bを基準として

V_{P} = E \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = 2.000 V, V_{N} = E \frac{X}{R_{3} + X} = \frac{3.0 \times 310}{460} V \approx 2.022 V

なので，開放電圧は $V_{th} = V_{N} - V_{P} = \frac{1}{46} V \approx 0.0217 V$ で，N の方が高い．電池を導線に置き換えるとA，Bが同じ点になり，P から見ると $R_{1}$ と $R_{2}$ が並列，N から見ると $R_{3}$ と $X$ が並列で，それらが直列につながる．

R_{th} = R_{1} ∥ R_{2} + R_{3} ∥ X = \frac{100 \times 200}{300} Ω + \frac{150 \times 310}{460} Ω \approx 66.7 Ω + 101.1 Ω = 167.8 Ω

検流計の電流は

I_{g} = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_{g}} = \frac{0.0217}{167.8 + 50} A \approx 1.0 \times 10^{- 4} A

で，N から P の向きに流れる．

確かめ： $X = 300 Ω$ なら $V_{N} = 2.000 V$ で $I_{g} = 0$ に戻る． $X$ のずれ $10 Ω$ で約 $0.1 mA$ なので， $1 μ A$ を読める検流計なら $0.1 Ω$ のずれまで分かる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

抵抗 $R$ を，電圧計の読み $V$ と電流計の読み $I$ から $V / I$ として測る．電流計の内部抵抗は $R_{A} = 0.50 Ω$ ，電圧計の内部抵抗は $R_{V} = 5.0 k Ω$ である．つなぎ方は次の2通りある．

つなぎ方 a：電流計を $R$ と直列にし，電圧計を $R$ と電流計の両方にまたがせる．
つなぎ方 b：電圧計を $R$ の両端だけにつなぎ，電流計は $R$ と電圧計に分かれる前に置く．

$R = 10 Ω$ と $R = 1.0 k Ω$ のそれぞれについて，2通りのつなぎ方で $V / I$ を求め，真の値からのずれを百分率で答えよ．
つなぎ方 a の方が正確になるのは， $R$ がどんな範囲のときか．

**［図：電流計と電圧計の二つのつなぎ方］**
aでは電流計Aと抵抗Rの直列全体に電圧計Vをつなぐ．bではRだけに電圧計をつなぎ，電流計を分岐の手前に置く．計器の内部抵抗はR_AとR_V．

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考え方 電流計と電圧計を内部抵抗をもつ抵抗として回路に入れ， $V / I$ が何を測っているかを式にする．

つなぎ方 a では，電圧計は $R$ と $R_{A}$ の直列の電圧を読み，電流計はそこを流れる電流を読むので $V / I = R + R_{A}$ ．相対的なずれは $+ R_{A} / R$ である．つなぎ方 b では，電流計は $R$ と電圧計の電流の和を読むので $V / I = R ∥ R_{V} = \frac{R R_{V}}{R + R_{V}}$ ．相対的なずれは $- R / (R + R_{V})$ である．

$R$	a の $V / I$	a のずれ	b の $V / I$	b のずれ
$10 Ω$	$10.5 Ω$	$+ 5.0$ %	$9.98 Ω$	$- 0.20$ %
$1.0 k Ω$	$1.0005 k Ω$	$+ 0.050$ %	$0.83 k Ω$	$- 17$ %

小さい抵抗ではつなぎ方 b，大きい抵抗ではつなぎ方 a が正確である．

a の方が正確な条件は，ずれの絶対値を比べて $R / (R + R_{V}) > R_{A} / R$ ． $R > 0$ より，これは $R^{2} - R_{A} R - R_{A} R_{V} > 0$ ，すなわち

R > \frac{R_{A} + \sqrt{R_{A}^{2} + 4 R_{A} R_{V}}}{2}

である．境界の計算値は約 $50.25 Ω$ である． $R_{V}$ が $R$ よりずっと大きい近似では，条件は $R > \sqrt{R_{A} R_{V}} = 5.0 \times 10^{1} Ω$ となる．

確かめ： $R_{A} \to 0$ なら a は常に正しく， $R_{V} \to \infty$ なら b は常に正しい．電流計の抵抗は小さいほど，電圧計の抵抗は大きいほどよいことと合う．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

ある電球の電圧 $V$ と電流 $I$ の関係（特性）を測ると次の表のようになった．表の点の間は直線で結んだ折れ線を特性とみなす．

$V$	$0 V$	$1.0 V$	$2.0 V$	$3.0 V$	$4.0 V$	$5.0 V$	$6.0 V$
$I$	$0 A$	$0.100 A$	$0.150 A$	$0.180 A$	$0.200 A$	$0.220 A$	$0.235 A$

この電球を，内部抵抗の無視できる起電力 $E = 6.0 V$ の電池と抵抗 $R = 10 Ω$ に直列につなぐ．

電球の電圧と電流（動作点）を求めよ．
動作点での電球の抵抗 $V / I$ と，表の $3.0 V$ と $5.0 V$ の点から求めた微分抵抗 $r_{d}$ を比べよ．
起電力を $0.30 V$ だけ増やすと，電球の電流と電圧はどれだけ変わるか．微分抵抗を使って求め，表の折れ線から求めた値と比べよ．

**［図：電球の特性の折れ線と動作点］**
表に与えられた電球の特性を折れ線で描き，I=(ℰ−V)/Rの直線を重ねる．交点を動作点として示す．座標値と解答で用いる接線は描かない．

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考え方 回路の側の関係 $V = E - R I$ と電球の特性を同時に満たす点を探す．小さな変化は，電球を抵抗 $r_{d}$ に置き換えた回路で考える．

回路の側では $I = (6.0 - V) / 10$ （ $I$ は $A$ ， $V$ は $V$ で測る）． $V = 3.0$ では直線が $0.30$ で特性 $0.180$ より上， $V = 5.0$ では直線が $0.10$ で特性 $0.220$ より下なので，交点はその間にある． $V = 4.0$ では直線も特性も $0.200$ で一致するので，動作点は $V = 4.0 V$ ， $I = 0.20 A$ である．直線は右下がり，特性は右上がりなので，交点はこの1つだけである．
動作点での抵抗は $V / I = 4.0 / 0.20 Ω = 20 Ω$ ．微分抵抗は

r_{d} = \frac{5.0 - 3.0}{0.220 - 0.180} Ω = 50 Ω

で， $V / I$ の2.5倍である．電流を増やすとフィラメントが熱くなって抵抗が増すので，電圧の増え方の割に電流が増えにくい．

電池と $R$ から見ると，電球は小さな変化については抵抗 $r_{d}$ としてふるまうので

δ I = \frac{δ E}{R + r_{d}} = \frac{0.30}{10 + 50} A = 5.0 \times 10^{- 3} A, δ V = r_{d} δ I = 0.25 V

表の折れ線で確かめる．新しい直線 $I = (6.3 - V) / 10$ と， $4.0 V$ と $5.0 V$ の間の特性 $I = 0.200 + 0.020 (V - 4.0)$ の交点は， $0.63 - 0.1 V = 0.120 + 0.020 V$ から $V = 4.25 V$ ， $I = 0.205 A$ で，上の結果と一致する．

確かめ：抵抗 $V / I = 20 Ω$ を使って $0.30 / (10 + 20) A = 10 mA$ とすると，変化を2倍に見積もってしまう．小さな変化に効くのは $V / I$ ではなく接線の傾きである．微分抵抗で扱えるのは，変化 $| δ I | / I = 0.025$ のように，特性が直線とみなせる範囲に限られる．

ポイントここまでのまとめ

ブリッジのわずかなずれは，検流計を外した残りをテブナンの回路にまとめると $I_{g} = V_{th} / (R_{th} + R_{g})$ で見積もれる．
$V / I$ は，電流計を内側に入れると $R + R_{A}$ ，電圧計を内側に入れると $R ∥ R_{V}$ を測る． $R > \sqrt{R_{A} R_{V}}$ なら前者，小さければ後者が正確．
非線形素子の動作点は，特性と直線 $V = E - R I$ の交点．小さな変化は，素子を微分抵抗 $r_{d}$ に置き換えて計算する．