電流と回路

直流回路と測定器の演習

著者：柚木芹香

電荷保存と電圧の収支を書いてください．測定器も回路の一部です．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

抵抗 $R_{g} = 80 Ω$ ，最大電流 $I_{g} = 1.0 mA$ の指針式計器がある．

最大 $0.20 A$ の電流計にするため，計器に並列につなぐ分流抵抗を求めよ．
別の同じ計器を最大 $8.0 V$ の電圧計にするため，直列につなぐ抵抗と完成した電圧計の抵抗を求めよ．

**［図：計器の分流抵抗と倍率抵抗］**
抵抗R_g = 80 Ω，最大電流I_g = 1.0 mAの計器に，分流抵抗を並列につなぐ構成と倍率抵抗を直列につなぐ構成．測定範囲はそれぞれ0.20 Aと8.0 Vである．

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考え方
並列の等電圧，直列の等電流を使う．

計器の電圧は $I_{g} R_{g} = 0.080 V$ ．分流抵抗の電流は $0.20 - 0.0010 = 0.199 A$ なので，抵抗は $0.080 / 0.199 \approx 0.40 Ω$ ．
全抵抗は $8.0 / I_{g} = 8.0 \times 10^{3} Ω$ ．追加抵抗は $8.0 \times 10^{3} - 80 = 7.92 \times 10^{3} Ω \approx 7.9 \times 10^{3} Ω$ ．電流計は小抵抗，電圧計は大抵抗となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

接続点A，Bの間に3本の枝がある．第1枝は起電力 $12 V$ の理想電源と抵抗 $4.0 Ω$ ，第2枝は起電力 $6.0 V$ の理想電源と抵抗 $2.0 Ω$ ，第3枝は抵抗 $6.0 Ω$ である．両電源ともBからAへ進むと電位が上がる向きに置く．

第1・第2枝をBからAへ流れる電流を $I_{1}, I_{2}$ として，2つの閉じた道の式から全枝の電流を求めよ．
第3枝を外した端子A，Bから見たテブナンの起電力と内部抵抗を求め，(1)の端子電圧を検算せよ．

**［図：二つの電源を含む3枝回路］**
AとBの間に3枝を接続する．第1枝は12 Vと4.0 Ω，第2枝は6.0 Vと2.0 Ω，第3枝は6.0 Ωである．両電源の正極はA側で，仮の電流I₁，I₂はBからAを正とする．

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考え方
第3枝は $I_{1} + I_{2}$ が流れ，負の解は逆向きを表す．

第3枝をAからBへ戻る2つの道について

12 = 4 I_{1} + 6 (I_{1} + I_{2}), 6 = 2 I_{2} + 6 (I_{1} + I_{2})

が成り立つ．係数の単位は $Ω$ ，左辺の単位は $V$ である．整理した第1式を4倍，第2式を3倍して差をとると $22 I_{1} = 30$ ．よって $I_{1} = 15 / 11 A \approx 1.4 A$ ， $I_{2} = - 3 / 11 A \approx - 0.27 A$ ．第3枝はAからBへ $12 / 11 A \approx 1.1 A$ である．

開放時の電圧 $V_{th}$ は $(12 - V_{th}) / 4 + (6 - V_{th}) / 2 = 0$ より $8.0 V$ ．理想電源を短絡して見ると $R_{th} = 4 \times 2 / (4 + 2) = 4 / 3 Ω \approx 1.3 Ω$ ．負荷を戻すと $V = 8 \times 6 / (6 + 4 / 3) = 72 / 11 V \approx 6.5 V$ ，負荷電流は $V / 6 = 12 / 11 A$ と一致する．第2電源には正極から電流が入り，電気エネルギーを受け取る向きである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

未知の一定抵抗 $R$ に，内部抵抗 $R_{V} = 10 k Ω$ の電圧計を並列につなぐ．理想電流計は抵抗と電圧計へ分かれる前に置く．電源電圧を変えて次の値を得た．電流の誤差は $\pm 0.01 mA$ 以内で，電圧の誤差は無視する．

電圧計の読み $V$	$1.00 V$	$2.00 V$	$3.00 V$
電流計の読み $I$	$0.30 mA$	$0.61 mA$	$0.90 mA$

両端の測定値から $R$ を推定し，中央の値が一定抵抗の模型と両立するか判定せよ．
電圧計の電流を無視して $V / I$ を抵抗とすると，真の値から何 %ずれるか．電圧計の電流が抵抗の電流の1 %以下となる条件も示せ．

**［図：枝分かれ前の電流を測る回路］**
理想電流計の後で未知抵抗Rと内部抵抗R_v = 10 kΩの電圧計へ分岐する．電流計は枝分かれ前の電流Iを測る．

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考え方
傾きから電圧計の電流の寄与を引く．

$I = V / R + V / R_{V}$ ．両端から $I / V = 0.30 mA V^{- 1}$ ，電圧計の寄与は $1 / R_{V} = 0.10 mA V^{- 1}$ だから， $1 / R = 0.20 mA V^{- 1}$ ， $R = 5.0 k Ω$ ．中央での予測は $0.60 mA$ であり，測定の誤差範囲に入る．
見かけの抵抗は $R_{app} = R R_{V} / (R + R_{V}) = 10 / 3 k Ω$ ． $(R_{app} - R) / R = - 1 / 3$ より約33 %小さい．電流の比は $I_{v} / I_{R} = R / R_{V}$ なので，条件は $R_{V} \geq 100 R$ ． $R_{V} \to \infty$ では補正が不要となることも確かめられる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

理想電源の正極と接続点Aを抵抗 $R_{s} = 1.0 k Ω$ ，Aと負極Bを同じ抵抗 $R_{s}$ でつなぐ．さらにA，B間に非線形抵抗素子をつなぐ．素子はAからBへの電流 $I \geq 0$ に対して $V = V_{*} {(I / I_{*})}^{2}$ に従う． $V_{*} = 1.0 V$ ， $I_{*} = 1.0 mA$ ，電源の起電力は $E = 10 V$ とする．

素子以外をテブナンの回路に置き換え，素子の電流と電圧を求めよ．
起電力を $δ E = 0.090 V$ 増したとき，微分抵抗 $r_{d} = \frac{d V}{d I}$ を使い，素子の電流と電圧の変化を1次まで求めよ．

**［図：分圧回路につなぐ非線形抵抗素子］**
電源の正極から抵抗R_sを通ってAへ接続し，Aと負極Bの間に同じR_sと非線形素子を並列につなぐ．素子の与えられた電圧特性を記す．

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考え方
回路の電圧降下と素子の特性を同時に満たす点を探す．小変化には接線を使う．

素子を外すと $V_{th} = E / 2 = 5.0 V$ ，電源を短絡すると $R_{th} = R_{s} / 2 = 0.50 k Ω$ ． $u = I / I_{*}$ とおけば， $V_{th} = R_{th} I + V$ は $5 = 0.50 u + u^{2}$ ． $(u - 2) (u + 2.5) = 0$ だから，許される解は $I = 2.0 mA$ ， $V = 4.0 V$ ．
$r_{d} = 2 V_{*} I / I_{*}^{2} = 4.0 k Ω$ ． $δ V_{th} = δ E / 2 = 0.045 V$ と $δ V = r_{d} δ I$ より， $δ I = 0.045 / (500 + 4000) = 1.0 \times 10^{- 5} A$ ， $δ V = 0.040 V$ ．近似には $| δ I | / I$ が十分小さい必要があり，ここでは0.0050である．省いた2次の電圧は $V_{*} {(δ I / I_{*})}^{2} = 1.0 \times 10^{- 4} V$ と1次項より小さい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

立方体の辺に抵抗を置き，体対角線の両端をA，Bとする．AまたはBに接する6辺は抵抗 $R$ ，残りの6辺は抵抗 $2 R$ とし，A，Bを直接結ぶ抵抗 $3 R$ も加える．A，B間に一定電圧 $V > 0$ を加える．

対称性を使って合成抵抗を求めよ．
各種類の辺の電流と，抵抗 $2 R$ の6辺全体の発熱率を求めよ．

**［図：辺ごとに抵抗を置いた立方体］**
体対角線の両端A，Bに接する6辺はR，残りの6辺は2Rである．AとBを直接結ぶ3Rの枝は立方体の外側に描く．A，B間の印加電圧はV > 0である．

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考え方
A，Bを固定する回転で入れ替わる頂点は等電位で，まとめても電流は変わらない．

Aに隣接する3頂点を一群，Bに隣接する3頂点を一群とする．Aから第1群までは3本の並列で $R / 3$ ，群の間は6本の並列で $2 R / 6 = R / 3$ ，第2群からBまでは $R / 3$ ．辺全体は直列で $R$ となり，追加した $3 R$ と並列だから，合成抵抗は $3 R / 4$ ．
辺の網を流れる電流は $V / R$ である．A，Bに接する各辺は $V / (3 R)$ ，残りの各辺は $V / (6 R)$ ．直接つないだ抵抗 $3 R$ の電流はAからBへ $V / (3 R)$ である．抵抗 $2 R$ の6辺の発熱率は $6 {[V / (6 R)]}^{2} (2 R) = V^{2} / (3 R)$ ．A側とB側の3辺も各群で同じ発熱率となる．直接枝の発熱率 $V^{2} / (3 R)$ を加えた全体は $4 V^{2} / (3 R) = V^{2} / (3 R / 4)$ で，合成抵抗からの計算と一致する．

ポイント教える人へ

仮の電流が負になる意味を，実際の向きと電源の仕事から説明させてください．
電圧計の電流を引く理由を問うてください．
開放電圧と等価抵抗から負荷電流を検算させてください．
等電位の頂点と，接線で近似する条件を確かめてください．