電流と回路

コンデンサーの充電と放電

著者：柚木芹香

問い

カメラのフラッシュは，1000分の1秒ほどの間，暗い部屋を昼のように照らします．ところが，その電源は単3電池2本ほどです．同じ電池に豆電球を直接つないでも，ぼんやり光るだけです．電池をそのままつないだのでは出せない明るさを，フラッシュはどうやって一瞬に出しているのでしょうか．

考えてみる

明るさを決めるのは，エネルギーの量ではなく仕事率です．フラッシュ1回のエネルギーは $10 J$ ほどで，単3電池1本のエネルギー（ $10^{4} J$ ほど）に比べればわずかです．困るのは，それを $10^{- 3} s$ ほどで出すと仕事率が $10^{4} W$ ほどになることです．電池には内部抵抗 $r$ があり，最初の題材で見たとおり，外の抵抗をどう選んでも，取り出せる仕事率は $E^{2} / (4 r)$ （外の抵抗を $r$ にしたとき）を超えません． $E = 3 V$ ， $r = 0.3 Ω$ なら $7.5 W$ で，3桁以上足りません．

そこで，電池から少しずつエネルギーを受け取ってためておき，一度に出す入れ物が要ります．それがコンデンサーです．第20章で見たとおり，電圧 $V$ まで充電した容量 $C$ のコンデンサーは，極板の間の電場に $\frac{1}{2} C V^{2}$ のエネルギーをためています．問題は，ためるのと出すのにどれだけ時間がかかり，その間にどれだけエネルギーを失うかです．コンデンサーがあると，電流は時間とともに変わります．

コンデンサーを含む回路の決まり

電荷は極板の間を渡りません．理想的なコンデンサーでは電場は極板の間だけにあり，向かい合う極板の電荷は $+ q$ と $- q$ です． $+ q$ の極板へ電流 $I$ が流れ込むと $q$ が増え，反対側の極板からは同じ電流が流れ出ます．極板の間の電場の線積分が電圧 $v = q / C$ です．時間とともに変わる電圧は小文字の $v$ ，一定の電圧は大文字の $V$ で書きます．

電荷の配置がゆっくり変わるなら，各瞬間の電場はその瞬間の電荷が作る静電場とほとんど同じで，保存場です．だから各瞬間にキルヒホッフの第2法則が使え，コンデンサーは電圧 $v = q / C$ の素子として一周の和に入ります．電流が極板の間で途切れて見えることは，第24章で「足りなかった1項」として見直します．

ポイントコンデンサーを含む回路の決まり

コンデンサーの電圧は $v = q / C$ ， $+ q$ の極板へ流れ込む電流は $I = d q / d t$ ．
各瞬間に，キルヒホッフの2つの法則が成り立つ．
抵抗を通る電流は有限なので， $q$ と $v$ は切り替えの瞬間に跳ばない（電流は跳んでよい）．直後の未充電のコンデンサーは導線と同じ．
十分時間がたつと，コンデンサーへ流れ込む電流は0になる（電荷が0になるとは限らない）．
電源や他の導体から切り離された導体部分（孤立部分）では，そこにつながる極板の電荷の和（符号つき）が変わらない．

充電と時定数

起電力 $E$ の電池（内部抵抗は $R$ に含める），抵抗 $R$ ，未充電のコンデンサー $C$ を直列につなぎ，時刻0にスイッチを入れます．

**［図：コンデンサーの充電回路］**
電池ℰ，閉じたスイッチ，抵抗R，コンデンサーCを直列につなぐ．電流Iが上側の極板へ流れ込み，極板の電荷は+qと−q，電圧はvである．

閉じた道を一周すると $E = R I + q / C$ で， $I = d q / d t$ を入れると

R C \frac{d q}{d t} = C E - q

です．直後は $q = 0$ で $I = E / R$ です．電荷がたまると抵抗にかかる電圧 $E - q / C$ が下がり，電流が減って充電は遅くなります．これは第4章の線形の空気抵抗の運動方程式 $\frac{m}{b} \frac{d v}{d t} = \frac{m g}{b} - v$ と同じ形で，速さが終端速度に近づくように，電荷は $C E$ に近づきます．解は数学の節で求めます．

q = C E (1 - e^{- t / R C}), I = \frac{E}{R} e^{- t / R C}

定義時定数

抵抗 $R$ とコンデンサー $C$ の回路で， $τ = R C$ を時定数という．単位は $Ω F = (V / A) (C / V) = s$ ．時間 $τ$ で，目標の値との差が $e^{- 1} \approx 0.37$ 倍に縮む（63 % まで進む）． $5 τ$ で差は 1 % 以下になる．

$R$ が大きいと電流が小さく， $C$ が大きいと多くの電荷が要るので，どちらも充電を遅くします．最初の題材の衝突時間と同じ文字ですが，ここからの $τ$ は時定数です．

［図：充電の曲線と時定数］

初期状態はR=1 MΩ，C=1 μF，ℰ=6 V，τ=1 s．上のq–tの曲線はCℰに近づき，初めの接線は時刻τでCℰに届く．下のI–tの曲線は0へ減る．RとCを変えると共通の時間軸上でτと曲線が変わる．

放電

電圧 $V_{0}$ のコンデンサーを，時刻0に抵抗 $R$ だけにつなぎます．一周すると $0 = R I + q / C$ なので $R C d q / d t = - q$ で

q = C V_{0} e^{- t / R C}, I = \frac{d q}{d t} = - \frac{V_{0}}{R} e^{- t / R C}

です． $I < 0$ は，電流が $+ q$ の極板から流れ出る向きであることを表します．抵抗で出る熱は

\int_{0}^{\infty} R I^{2} d t = \frac{V_{0}^{2}}{R} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t / R C} d t = \frac{V_{0}^{2}}{R} \cdot \frac{R C}{2} = \frac{1}{2} C V_{0}^{2}

で，ためていたエネルギーがすべて熱になります． $R$ を小さくすると，同じエネルギーを短い時間で出すので仕事率が大きくなります．

切り替えのある回路

抵抗がいくつもあっても，コンデンサーが1つなら，残りの回路はテブナンの定理で起電力 $V_{th}$ と内部抵抗 $R_{th}$ の電源1つにまとめられ，上の充電と同じ形になります．

定理コンデンサーが1つの回路の時間変化

抵抗と電源とコンデンサー1つの回路で，切り替えの後の電圧，電荷，電流は，どれも

x (t) = x_{\infty} + (x_{0} - x_{\infty}) e^{- t / τ}, τ = R_{th} C

で変わる． $x_{0}$ は切り替えの直後の値， $x_{\infty}$ は十分時間がたった後の値， $R_{th}$ はコンデンサーの両端から見た回路の抵抗（理想電源は導線に置き換える）である．

直前の電荷から直後の電流を求め，コンデンサーへの電流を0として十分後の値を求め， $R_{th}$ から時定数を出せば，途中の変化も決まります．コンデンサーが2つ以上あるときは，孤立部分の電荷の和が変わらないことで前後をつなぎます．例は数学の節で扱います．

充電のエネルギーの収支

充電で電池がする仕事と，コンデンサーにたまるエネルギーを比べます．電池は電荷 $C E$ を電位差 $E$ だけ持ち上げるので，仕事は $W = E \cdot C E = C E^{2}$ です．たまるのは $U = \frac{1}{2} C E^{2}$ なので，残りの $\frac{1}{2} C E^{2}$ は抵抗で熱になります．放電と同じように $\int R I^{2} d t$ を計算しても， $R$ が消えて同じ値になります．その理由は，電荷を少しずつ運ぶと考えると分かります．電荷が $q$ のとき，次の $d q$ を運ぶと，電池は $E d q$ の仕事をし，コンデンサーは $v d q = (q / C) d q$ を受け取り，差 $(E - v) d q$ が抵抗で熱になります．電荷が電位差 $E - v$ を「落ちる」ときに熱が出るのです．どれも $q$ だけで決まり， $R$ は「どれだけ速く運ぶか」を変えるだけです．

**［図：充電のエネルギーを表す二つの面積］**
横軸q，縦軸は電圧．水平線ℰと直線v=q/Cで作る長方形の下側の三角形がコンデンサーのエネルギー，上側が抵抗の熱を表し，どちらも½Cℰ²である．

損失を減らすには， $E - v$ をいつも小さく保てばよいのです．電源の電圧を少しずつ上げていくと，図の上の三角形が細い三角形の列に変わり，熱が減ります．代わりに時定数よりずっと長い時間がかかります．有限の温度差で熱を流すと不可逆になり，準静的に流せば可逆に近づく（第16章）のと同じ構造です．一方， $R \to 0$ としても損失は消えません．時定数が短すぎると次に述べる近似が成り立たなくなり，エネルギーは火花や電磁波として出ていきます．

集中定数回路として扱える条件

ここまで，導線の電流はどこでも同じで，電場は各瞬間の静電場と同じ，と扱ってきました．これが最初の題材の最後で触れた集中定数回路の近似です．実際には電荷の配置の変化は光の速さ $c$ で伝わり，大きさ $ℓ$ の回路を伝わるのに $ℓ / c$ かかります．これが $τ$ よりずっと短ければ，遅れを無視できます．

ポイント集中定数回路として扱える条件

無次元量 $ℓ / (c τ)$ が1よりずっと小さいこと．電子の衝突時間（ $10^{- 14} s$ ほど）が $τ$ よりずっと短く各瞬間にオームの法則が成り立つこと，自己誘導（第23章）が無視できることも前提にしている．

$ℓ = 0.1 m$ ， $τ = 1 ms$ なら $ℓ / (c τ) \approx 3 \times 10^{- 7}$ で，十分に成り立ちます．信号が $10^{- 9} s$ ほどで変わるコンピューターの回路では比が $0.3$ ほどになり，導線を伝わる波として扱う必要があります．

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フラッシュの中のコンデンサーは，たとえば $C = 150 μ F$ で，電池の電圧を上げる回路によって $V_{0} = 300 V$ まで充電され， $\frac{1}{2} C V_{0}^{2} \approx 6.8 J$ をためます．電池から取り出せる仕事率は数 W なので，充電には数秒かかり，続けて光らせるときに少し待たされます．

光らせるときは，コンデンサーを放電管（キセノンガスを封じた管）につなぎます．放電管をおおまかに $2 Ω$ ほどの抵抗とみなすと，時定数は $τ = 2 \times 1.5 \times 10^{- 4} = 3 \times 10^{- 4} s$ で，最初の仕事率は $V_{0}^{2} / R \approx 4.5 \times 10^{4} W$ です．数秒かけてためたエネルギーを1000分の1秒ほどで出すので，仕事率は電池だけの場合の数千倍になります．ためる時間と出す時間を，別々の時定数で選べるのです．

ポイントここまでのまとめ

コンデンサーの電荷と電圧は切り替えの瞬間に跳ばない．十分後はコンデンサーへの電流が0．
充電は $q = C E (1 - e^{- t / R C})$ ，放電は $q = C V_{0} e^{- t / R C}$ ．時定数 $τ = R C$ で，目標との差が $e^{- 1}$ 倍に縮む．抵抗が多い回路では $τ = R_{th} C$ ．
一定の起電力で充電すると，電池の仕事の半分が熱になり，その量は $R$ によらない．電源の電圧をゆっくり上げると損失は減る．
集中定数回路の近似は $ℓ / (c τ)$ が1よりずっと小さいときに成り立つ．
フラッシュは，数秒かけてコンデンサーにためた数 J を，小さい抵抗を通して1000分の1秒ほどで出す．