光

回折と光の分解能の演習

著者：柚木芹香

光路差から次数と欠ける明線を調べます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

格子定数 $d = 2.40 μ m$ の透過格子に，波長 $λ = 640 nm$ の光を垂直入射させます．主極大は $d \sin θ = m λ$ に現れ，スリット幅の影響を無視します．格子面に沿う方向は除きます．

全次数と，0次を含む総数を求めよ．
正の最大次数の回折角を求めよ．

**［図：透過格子と回折角の基準］**
格子定数dが2.40 μmの透過格子へ，波長640 nmの光を垂直に入射する．透過側の法線と，観測方向の角θを示す．

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考え方 正弦の範囲から整数を選ぶ．

$| \sin θ | < 1$ より $| m | < d / λ = 3.75$ ． $m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ の7本である．
$\sin θ = 3 λ / d = 0.800$ より $θ = {53.1}^{\circ}$ ．角度は無次元の比 $λ / d$ で決まる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

距離 $L = 2.0 km$ の2点光源が，視線に垂直に $s = 3.0 cm$ 離れています．波長は $λ = 600 nm$ ，円形開口の直径は $D$ です．角間隔が $1.22 λ / D$ 以上なら分解でき，収差と大気の影響を無視します．

必要な $D$ の最小値を求めよ．
$D = 8.0 cm$ から同心の絞りで $4.0 cm$ にすると分解できるか．倍率で改善するか．

**［図：2点光源と望遠鏡の開口］**
間隔sが3.0 cmの2点光源を，距離Lが2.0 kmの望遠鏡で見る．正面図は直径Dの円形開口と，同心の絞りを示す．寸法Dは外円の直径，網掛けは同心の絞りの遮光部分を表す．

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考え方 光源の角間隔と開口の限界を比較する．

角間隔は $s / L = 1.5 \times 10^{- 5}$ ． $s / L \geq 1.22 λ / D$ より $D \geq 1.22 λ L / s = 4.9 cm$ である．
絞る前は分解できる．絞った後は $1.22 λ L / D = 3.7 cm$ なので分解できない．倍率で回折像も拡大し，限界は改善しない．近軸近似には $s / L, λ / D$ が十分小さいことが必要である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

波長 $λ = 0.120 nm$ のX線を結晶に当てます． $θ$ は結晶面と入射方向の角です．表の $r$ が同じ面間隔 $d$ の次数か， $2 d \sin θ = r λ$ で調べます．

$r$	1	2	3
$\sin θ$	0.200	0.400	0.600

$r$ を横軸としたグラフの傾きから $d$ を求めよ．
3次の $\sin θ$ の不確かさが $\pm 0.004$ のとき，この1点から求める $d$ の不確かさを一次近似で求めよ．波長は正確とします．

**［図：結晶面での散乱と測定点］**
間隔dの結晶面に対する角θでX線を入射する．下のグラフには次数rとsin θの測定3点のみを示す．

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考え方 原点を通る直線かを確かめ，傾きから面間隔を求める．

$\sin θ = λ r / (2 d)$ の傾きは $q = 0.200$ ．3点は原点を通る直線上にあり，模型に合う． $d = λ / (2 q) = 0.300 nm$ である．
$u = \sin θ$ とすれば $d = 3 λ / (2 u)$ ， $\frac{d d}{d u} = - 3 λ / (2 u^{2})$ ． $δ d / d \approx δ u / u = 0.004 / 0.600$ より $d = (0.300 \pm 0.002) nm$ ．微分の符号から角度が大きいほど推定値は小さく，近似条件は $1 ≫ δ u / u$ である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

幅 $a$ ，中心間隔 $d = 3 a$ の同じ2スリットを，単色光で同位相・同強度に照らします．遠方の強度は

I (θ) = I_{c} {(\frac{\sin β}{β})}^{2} \cos^{2} (\frac{π d \sin θ}{λ}), β = \frac{π a \sin θ}{λ}

です． $I_{c}$ は中央強度， $β = 0$ の比は1， $a > λ$ とします．

干渉条件 $d \sin θ = m λ$ のうち消える次数と，単スリットの中央の2暗線の間に残る次数の数を求めよ．
$m = 1$ の方向の $I / I_{c}$ を求めよ．

**［図：有限の幅をもつ2スリット］**
同じ幅aの2スリットの中心間隔はdが3aである．垂直入射光，法線，観測方向θを示す．

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考え方 単スリット因子が0なら，干渉の明線も消える．

暗線は $a \sin θ = p λ$ ， $p \neq 0$ は整数である．干渉条件と合わせると $m = 3 p$ だから，存在する $\pm 3, \pm 6, \dots$ が消える．0次は消えない．中央は $| a \sin θ | < λ$ より $| m | < 3$ ，残るのは $0, \pm 1, \pm 2$ の5本である．
$β = π / 3$ ，干渉因子は1より $I / I_{c} = {(\sin β / β)}^{2} = 27 / (4 π^{2}) \approx 0.684$ ．包絡線のため厳密な極大とは限らない．距離 $L$ での遠方近似には，全幅 $w = d + a$ に対して $1 ≫ w^{2} / (λ L)$ が必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

透過格子を $x$ 軸上に並べ，透過側への法線を $+ z$ とします． $x z$ 面内の入射・観測方向の角を，法線から $+ x$ へ符号つきで $α, θ$ と測ります． $d = 2.0 μ m, λ = 600 nm, α = 30^{\circ}$ とし，スリット幅は無視します．

入射位相と観測点への光路差を含め，隣接複素振幅の比から主極大条件を導け．
格子面に沿う方向を除き，全次数と両端の回折角を求めよ．

**［図：斜め入射の符号つき角度］**
透過格子をx軸に並べ，透過側への法線を+zとする．αとθは，進行方向と+zとの角を+xへ正として測る．

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考え方 斜め入射では入射時にも位相差がある．

時間因子を $e^{i ω t}$ ，波数を $k = 2 π / λ$ とする． $+ x$ へ $d$ 離れると入射位相は $- k d \sin α$ ，観測点への距離による位相は $+ k d \sin θ$ だけ変わる．比は $e^{i ϕ}$ ， $ϕ = k d (\sin θ - \sin α)$ ． $ϕ = 2 π m$ より $d (\sin θ - \sin α) = m λ$ を得る．
$\sin θ = 0.50 + 0.30 m$ だから $- 5 < m < 5 / 3$ ．次数は $- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1$ の6本で，両端は $θ_{- 4} = \arcsin (- 0.70) \approx - 44^{\circ}$ ， $θ_{1} = \arcsin 0.80 \approx 53^{\circ}$ ． $m = - 5$ は格子面に沿うので除く．0次では $θ = α$ となり，直進を再現する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

垂直入射で同じ複素振幅 $A$ を出す $N \geq 2$ 本の細いスリットがあり，間隔は $d$ ，隣接位相差は $ϕ = 2 π d \sin θ / λ$ です．一方の主極大が他方の最初の暗線に達したら分解できるとします．

等比級数 $A \sum_{j = 0}^{N - 1} e^{i j ϕ}$ から，主極大近傍の最初の暗線と，近い2波長 $λ, λ + δ λ$ の分解条件を導け．
$N = 2500, d = 2.0 μ m, λ = 600.0 nm, δ λ = 0.10 nm$ で，分解できる最小の正の次数を求めよ．照明する本数が半分ならどうか．

**［図：N本のスリットを照らす平行光］**
間隔dの細いスリットN本を同位相で垂直に照らす．各スリットの複素振幅はAで，観測方向を法線との角θで表す．

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考え方 線の間隔と幅を比較する．

和は $A (1 - e^{i N ϕ}) / (1 - e^{i ϕ})$ ，強度は ${| A |}^{2} \sin^{2} (N ϕ / 2) / \sin^{2} (ϕ / 2)$ に比例する．主極大 $ϕ = 2 π m$ の振幅は $N A$ ，隣の暗線は $ϕ = 2 π m \pm 2 π / N$ ． $d \sin θ$ での半幅 $λ / N$ と2波長の間隔 $| m | δ λ$ を比較し， $| m | N \geq λ / δ λ$ を得る．
右辺は6000より $m \geq 3$ ．観測できる次数は $m < d / (λ + δ λ) \approx 3.33$ より1〜3で，答えは3次．1250本では3次でも3750で分解できない．近似条件は $1 ≫ δ λ / λ$ である．

ポイント教える人へ

次数の上限を正弦の範囲から説明させます．
欠ける明線では干渉因子と回折因子を確かめさせます．
斜め入射の角の符号とブラッグ角の基準を問います．
分解能と倍率を区別し，近似条件を確認します．