光

位相の矢印の和と回折の強さ

著者：柚木芹香

本体の節で図に描いた位相の矢印の足し算を複素数で実行し，回折格子と単スリットの強さの分布を導きます．道具は等比級数の和と，和を積分に直すことです．

回折格子の強さ

定理数学の道具：等比級数で位相の矢印を足す

同じ長さで，1本ごとに向きが $ϕ$ ずつ変わる $N$ 本の矢印の和は，公比 $e^{i ϕ}$ の等比級数で

S = \sum_{j = 0}^{N - 1} e^{i j ϕ} = \frac{1 - e^{i N ϕ}}{1 - e^{i ϕ}} = e^{i (N - 1) ϕ / 2} \frac{\sin (N ϕ / 2)}{\sin (ϕ / 2)}

である．したがって

{| S |}^{2} = \frac{\sin^{2} (N ϕ / 2)}{\sin^{2} (ϕ / 2)}

で， $ϕ = 2 π m$ （ $m$ は整数）では ${| S |}^{2} = N^{2}$ となる．

導き方を示します． $x$ を実数として， $1 - e^{i x} = e^{i x / 2} (e^{- i x / 2} - e^{i x / 2}) = - 2 i e^{i x / 2} \sin (x / 2)$ です．分子は $x = N ϕ$ ，分母は $x = ϕ$ として割ると， $- 2 i$ が消えて上の形になります．前の因子 $e^{i (N - 1) ϕ / 2}$ は大きさ1なので，強さには効きません．

$ϕ = 2 π m$ では分子も分母も0ですが， $ϕ = 2 π m + ϵ$ と置くと， $ϵ$ が小さいとき比の2乗は $N^{2}$ に近づきます（矢印がすべてそろう）．分子だけが0になる $N ϕ = 2 π p$ （ $p$ は $N$ の倍数でない整数）が暗線で，主極大の隣の暗線 $ϕ = 2 π m \pm 2 π / N$ は本体の節の「矢印が1周して閉じる」所です．

1本のスリットだけによる強さを $I_{1}$ とすると， $N$ 本の格子の強さは

I = I_{1} \frac{\sin^{2} (N ϕ / 2)}{\sin^{2} (ϕ / 2)}, ϕ = \frac{2 π d \sin θ}{λ}

です．位相の遅れを $e^{- i j ϕ}$ と数えても ${| S |}^{2}$ は変わりません． $N = 2$ では $\sin ϕ = 2 \sin (ϕ / 2) \cos (ϕ / 2)$ から ${| S |}^{2} = 4 \cos^{2} (ϕ / 2)$ となり，前の題材のヤングの実験の強さに戻ります．

練習1　 $N = 3$ の格子で， $ϕ = 0$ と $ϕ = 2 π$ の間にある暗線の $ϕ$ を求めよ．また $ϕ = π$ の強さは主極大の何倍か．矢印の図でも確かめよ．

答え　練習1： $3 ϕ = 2 π p$ で $p = 1, 2$ ，つまり $ϕ = 2 π / 3, 4 π / 3$ （ $N - 1 = 2$ 個）． $ϕ = π$ では ${| S |}^{2} = \sin^{2} (3 π / 2) / \sin^{2} (π / 2) = 1$ で，主極大の $N^{2} = 9$ の $1 / 9$ 倍．矢印は右，左，右の順につながり，合成は1本分が残る．これが小さな山である．

単スリットの強さ

定理数学の道具：和を積分に直す

幅 $a$ のスリットの中の位置を $s$ （ $- a / 2 \leq s \leq a / 2$ ）とし，単位の幅あたりの振幅を一定の $A_{0} / a$ とする．遠方の角 $θ$ の向きでは，位置 $s$ から出る波の道のりは中央からのものより $s \sin θ$ だけ短いので，合成の複素振幅は（共通の位相を除いて）

\frac{A_{0}}{a} \int_{- a / 2}^{a / 2} e^{i k s \sin θ} d s = A_{0} \frac{\sin β}{β}, β = \frac{π a \sin θ}{λ}

である．強さは

I = I_{0} {(\frac{\sin β}{β})}^{2}

で， $I_{0}$ は中央（ $β = 0$ ）の強さである．

$u = k \sin θ$ と置くと， $\int_{- a / 2}^{a / 2} e^{i u s} d s = \frac{e^{i u a / 2} - e^{- i u a / 2}}{i u} = \frac{2 \sin (u a / 2)}{u}$ で， $u a / 2 = π a \sin θ / λ = β$ なので $a \sin β / β$ になります． $β \to 0$ では $\sin β / β \to 1$ です．暗線は $\sin β = 0$ ， $β \neq 0$ ，つまり $β = m π$ （ $a \sin θ = m λ$ ， $m \neq 0$ ）で，本体の節の結果と一致します．

本体の節の円弧の図からも同じ結果が出ます．長さ $A_{0}$ の弧の両端の向きの差が $2 β$ なので，円の半径は $R = A_{0} / (2 β)$ ，弦の長さは $2 R \sin β = A_{0} \sin β / β$ です．幅 $a$ を $N$ 個の点に分けて格子の式で $N$ を大きくしても，同じ形に近づきます．

**［図：単スリットの強さの分布］**
横軸はβ/πで−3から3，縦軸はI/I₀である．中央の強さは1で，β=±π，±2π，±3πの暗線を丸印で示す．最初の小さな山の強さは約0.047で，中央の山に比べて低い．

練習2　最初の小さな山は，ほぼ $β = 3 π / 2$ にあるとみなせる．その強さは中央の何倍か．

答え　練習2： ${(\sin (3 π / 2) / (3 π / 2))}^{2} = 4 / (9 π^{2}) \approx 0.045$ ．正確な山の位置は $\tan β = β$ の解 $β \approx 1.43 π$ で，強さは約0.047倍である．中央の山にほとんどの光が集まっている．

幅をもつスリットの列

幅 $a$ のスリットを間隔 $d$ で $N$ 本並べると， $j$ 番目のスリットからの寄与は，0番目のスリットの積分 $A_{0} \sin β / β$ に，位置のずれ $j d$ による位相 $e^{i j ϕ}$ を掛けたものです．すべて足すと，共通の $A_{0} \sin β / β$ がくくり出せて

I = I_{1} {(\frac{\sin β}{β})}^{2} \frac{\sin^{2} (N ϕ / 2)}{\sin^{2} (ϕ / 2)}, β = \frac{π a \sin θ}{λ}, ϕ = \frac{2 π d \sin θ}{λ}

となります． $I_{1}$ は1本のスリットの中央の強さです．第1の因子が単スリットの回折の包絡線，第2の因子がスリットどうしの干渉で，本体の節の「欠ける次数」（ $m = p d / a$ ， $p$ は0でない整数）はこの積から分かります．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

1 mm あたり500本の溝をもつ透過型の回折格子に，波長 $400 nm$ から $700 nm$ の白色光を垂直に当てる．

可視光のスペクトルが全部そろって現れる最大の次数を求めよ．また3次の光として現れる波長の範囲を求めよ．
2次と3次のスペクトルは重なるか．重なるなら，同じ向きに出る2次の光と3次の光の波長の範囲をそれぞれ求めよ．

**［図：白色光を透過させる回折格子］**
白色光が回折格子に垂直に入射する．透過側では0次が白いまま直進し，1次，2次，3次のスペクトルが扇形に広がる．指定された扇の重なりを網かけで示す模式図である．角度や波長の境界値は示さず，色帯は模式的な表示とする．

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考え方 格子定数は $d = 1 mm / 500 = 2.00 μ m$ ． $m$ 次で波長 $λ$ の光は $\sin θ = m λ / d$ の向きに出る． $\sin θ$ で並べれば，各次数のスペクトルは区間になる．

全部そろうには，最も長い $700 nm$ の光でも $m λ / d \leq 1$ であればよい． $d / λ = 2000 / 700 \approx 2.86$ より，最大の次数は2である．3次で現れるのは $3 λ / d < 1$ ，つまり $λ < 667 nm$ の光で，3次のスペクトルは $400 nm$ から $667 nm$ まで（赤の端が欠ける）．
$\sin θ$ の区間は，2次が $0.400$ から $0.700$ ，3次が $0.600$ から1未満である． $0.600$ から $0.700$ が重なる．この範囲の2次の光は $λ = d \sin θ / 2$ より $600 nm$ から $700 nm$ ，3次の光は $λ = d \sin θ / 3$ より $400 nm$ から $467 nm$ である．たとえば2次の $600 nm$ と3次の $400 nm$ は同じ向きに出る．

確かめ：1次の区間は $0.200$ から $0.350$ で，2次とは重ならない．一般に $m$ 次の赤の端と $(m + 1)$ 次の紫の端を比べると， $700 m$ と $400 (m + 1)$ の大小で決まり， $m \geq 2$ では必ず重なる．格子で波長を測るとき，高い次数では別の次数の光と取り違えないよう注意が要る．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

ナトリウムの D 線は $λ_{1} = 589.0 nm$ と $λ_{2} = 589.6 nm$ の2本である．1 mm あたり600本の溝をもつ透過型の回折格子に垂直に当て，1次の光を観察する．分解はレイリーの基準で判定する．

2本を見分けるには，格子の何 mm 以上の幅を照らす必要があるか．
1次で2本の光が出る向きの角の差を求めよ．

解答を見る

考え方 分解できるかは本数 $N$ で決まる（ $λ / δ λ \leq m N$ ）．角の差は $d \sin θ = m λ$ を $λ$ で微分して出す．

$λ / δ λ = 589.0 / 0.6 \approx 982$ で， $m = 1$ なので $N \geq 982$ 本が必要である．格子定数は $d = 1 mm / 600 = 1.667 μ m$ なので，照らす幅は $N d \geq 982 / 600 mm \approx 1.64 mm$ ．
$\sin θ = λ / d = 589.0 / 1666.7 \approx 0.3534$ より $θ \approx {20.7}^{\circ}$ ， $\cos θ \approx 0.935$ ． $d \cos θ d θ = m d λ$ より

δ θ = \frac{δ λ}{d \cos θ} = \frac{0.6 \times 10^{- 9}}{1.667 \times 10^{- 6} \times 0.935} rad \approx 3.8 \times 10^{- 4} rad

で，約 ${0.022}^{\circ}$ である．

確かめ：照らす幅が $1.64 mm$ のとき，主極大の角の幅（中心から隣の暗線まで）は $\sin θ$ で $λ / (N d)$ ，角では $λ / (N d \cos θ) \approx 589 \times 10^{- 9} / (1.64 \times 10^{- 3} \times 0.935) \approx 3.8 \times 10^{- 4} rad$ で，(2) の角の差とほぼ一致する．これがレイリーの基準の意味である．微分で角の差を出したのは $δ λ / λ \approx 10^{- 3}$ が十分小さいからである．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

幅 $a = 0.10 mm$ のスリットに波長 $λ = 600 nm$ の平行光を垂直に当て， $L = 2.0 m$ 離れたスクリーンで観察する．スクリーン上の中央からの距離を $x$ とする．

中央の明るい部分の幅（両側の最初の暗線の間隔）を求めよ．
$x = 3.0 mm$ の点の強さは，中央の強さの何倍か．
一様な入射光の強さを変えずにスリットの幅を半分にすると，中央の明るい部分の幅と中央の強さはそれぞれ何倍になるか．スリットを通る光の量との関係から確かめよ．

**［図：単スリットの観測方向とスクリーン上の座標］**
幅aのスリットに平行光が垂直に入射し，距離Lのスクリーンに届く．中央Oから上向きを正とする座標xと，法線から測った観測方向θを示す．スクリーン右側の山は強さの分布を模式的に表す．暗線の座標や中央の明るい部分の幅，求める強さの比は示していない．

解答を見る

考え方 $θ$ が小さいので $\sin θ \approx \tan θ = x / L$ ．単スリットの強さ $I = I_{0} (\sin β / β)^{2}$ ， $β = π a x / (λ L)$ を使う．

最初の暗線は $a \sin θ = \pm λ$ ，つまり $x = \pm L λ / a$ ．幅は

\frac{2 L λ}{a} = \frac{2 \times 2.0 \times 600 \times 10^{- 9}}{0.10 \times 10^{- 3}} m = 2.4 \times 10^{- 2} m

で， $24 mm$ である．

$β = \frac{π \times 0.10 \times 10^{- 3} \times 3.0 \times 10^{- 3}}{600 \times 10^{- 9} \times 2.0} = \frac{π}{4}$ ．したがって

\frac{I}{I_{0}} = {(\frac{\sin (π / 4)}{π / 4})}^{2} = \frac{8}{π^{2}} \approx 0.81

幅は $2 L λ / a$ なので2倍の $48 mm$ になる．中央では矢印がすべてそろい，合成の振幅は矢印の総和の長さ，つまりスリットの幅 $a$ に比例する．強さはその2乗で， $1 / 4$ 倍になる．

確かめ：スリットを通る光の量（スクリーンに届く全体の光の量）は幅 $a$ に比例する．全体の量はおよそ「中央の強さ×中央の幅」なので， $a^{2} \times (1 / a) = a$ となって比例関係が合う．遠方回折の条件は $a^{2} / (λ L) = (10^{- 4})^{2} / (6 \times 10^{- 7} \times 2.0) \approx 8 \times 10^{- 3}$ で，1より十分小さい． $\sin θ \approx x / L$ の誤差も， $x / L$ が $10^{- 2}$ 以下なので無視できる．

ポイントここまでのまとめ

同じ長さで $ϕ$ ずつ向きを変える $N$ 本の矢印の和は等比級数で， ${| S |}^{2} = \sin^{2} (N ϕ / 2) / \sin^{2} (ϕ / 2)$ ．主極大で $N^{2}$ ， $N ϕ = 2 π p$ で0．
単スリットは和を積分に直して $I = I_{0} (\sin β / β)^{2}$ ， $β = π a \sin θ / λ$ ．円弧の弦の長さからも同じ結果が出る．
幅をもつスリットの列の強さは，単スリットの包絡線と干渉の因子の積．
格子の次数は $\sin θ$ の区間で考え，高い次数ではスペクトルが重なる．分解は本数で，角の差は $d \sin θ = m λ$ の微分で求める．