波と音

波が運ぶエネルギーと分散

著者：柚木芹香

問い

海底の地震で生まれた津波は，水深 4000 m ほどの外洋をジェット機に近い速さで進みます．外洋では波の高さは数十 cm しかなく，船の上ではほとんど気づかないほどです．ところが海岸に近づいて水深が浅くなると，津波は遅くなり，同時に何倍もの高さに盛り上がります．波の速さは何で決まるのでしょうか．また，遅くなるとなぜ高くなるのでしょうか．

考えてみる

これまでの弦や音では，波の速さは媒質だけで決まっていました．弦なら $v = \sqrt{S / μ}$ ，空気なら $v = \sqrt{γ p / ρ}$ で，波長にはよりません．ところが水面の波は違います．池に石を投げると，波長の長い波が先に広がり，短い波が後から来ます．水面の波の速さは，波長と水深によって変わるのです．

高さについては，エネルギーの保存から考えたくなります．しかし「波のエネルギーが一定」と言うだけでは足りません．波は進みながら，後ろから前へエネルギーを渡していきます．保存するのは，ある場所を単位時間に通り過ぎるエネルギー，つまりエネルギーの流れです．この節では，まずエネルギーの流れを式にし，次に速さが波長によって変わる波（分散のある波）でエネルギーが何の速さで進むかを調べます．

波が運ぶエネルギーの流れ

張力 $S$ ，線密度 $μ$ の弦で考えます．第4題材で見たように，単位長さあたりのエネルギー（線エネルギー密度）は，横に動く運動エネルギーと，傾いて伸びた分の弾性エネルギーの和

e = \frac{μ}{2} {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + \frac{S}{2} {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

です．

点 $x$ の左側の弦は，右側の弦を張力で引いています．その横向きの成分は $- S \partial y / \partial x$ で，その点は速度 $\partial y / \partial t$ で動くので，左から右へ渡す仕事率は

P = - S \frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t}

です．右へ進む波 $y = f (x - v t)$ では $\partial y / \partial t = - v \partial y / \partial x$ なので， $S = μ v^{2}$ を使うと

P = S v {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

となります．一方，同じ関係をエネルギー密度に入れると，運動エネルギーの項は $\frac{1}{2} μ v^{2} {(\partial y / \partial x)}^{2} = \frac{1}{2} S {(\partial y / \partial x)}^{2}$ で弾性エネルギーの項と等しく， $e = S {(\partial y / \partial x)}^{2}$ です．よって $P = e v$ です．

定理波のエネルギーの流れ

形を変えずに速さ $v$ で進む波では，ある点を単位時間に通るエネルギーは $P = e v$ （エネルギー密度×波の速さ）である．弦の正弦波 $y = A \sin (ω t - k x)$ では，時間平均が

⟨ e ⟩ = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2}, ⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} μ v ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}, Z = μ v = \sqrt{S μ}

となる． $Z$ を弦のインピーダンスという．

$P = Z {(\partial y / \partial t)}^{2}$ と書けば， $Z$ は「弦の端を速度 $\partial y / \partial t$ で動かすのに要る力」の比例定数で，右へ進む波では $- S \partial y / \partial x = Z \partial y / \partial t$ です．交流回路の $V = Z I$ と同じ役目をする量で，あとで境界での反射を決めます．

**［図：弦が右側へ渡す力と仕事］**
右へ進む波では，傾きが正なら左側の弦の張力Sの横成分と点の速度はともに下向き，傾きが負ならともに上向きになる．赤は力，青は速度で，仕事率Pは負にならない．横方向は弦に垂直なy方向である．

水面の波でも同じです．水面が $y$ だけ上がった所では，単位面積あたり質量 $ρ y$ の水を高さ $y / 2$ まで持ち上げているので，位置エネルギーは単位面積あたり $\frac{1}{2} ρ g y^{2}$ です． $y = A \sin (ω t - k x)$ で平均すると単位面積あたり $\frac{1}{4} ρ g A^{2}$ で，運動エネルギーの平均も同じだけあるので，水面の単位面積あたりの平均エネルギーは $\frac{1}{2} ρ g A^{2}$ です．

分散：速さが波長で変わる

$e^{i (ω t - k x)}$ の形の波が進むとき，媒質の運動方程式から決まる $ω$ と $k$ の関係を分散関係といいます．波の山が進む速さ $v = ω / k$ を位相速度とよびます．弦や音では $ω = v k$ で， $ω / k$ は $k$ によりません．このとき波は分散が無いといいます． $ω / k$ が $k$ によって変わる波を，分散のある波といいます．プリズムで光が色に分かれる「分散」と同じ言葉です．

第1題材で波動方程式を導いたおもりとばねの列（質量 $m$ ，間隔 $a$ ，ばね定数 $K$ ）を，連続の極限をとらずにそのまま調べてみます． $j$ 番目のおもりの変位を $y_{j} = A e^{i (ω t - k j a)}$ の実部として運動方程式 $m {\ddot{y}}_{j} = K (y_{j + 1} - 2 y_{j} + y_{j - 1})$ に代入すると，共通の因子が消えて

ω = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} \sin \frac{k a}{2} (0 \leq k a \leq π)

が出ます． $k a$ が小さい（波長が間隔よりずっと長い）ときは $ω \approx a \sqrt{K / m} k$ で分散の無い波に戻りますが，波長が間隔に近づくと $ω / k$ は小さくなり， $ω$ には上限 $2 \sqrt{K / m}$ があります．分散は，媒質の粒々の間隔のような「長さの目盛り」が波長と比べられるときに現れるのです．

水面の波では，その長さの目盛りが水深 $h$ です．流体力学で解くと $ω^{2} = g k \tanh k h$ になりますが，2つの極限は次元解析で見当がつきます（数学の節）．

法則水面の重力波の分散関係

深い水の波（ $k h$ が十分大きい．水深が波長の半分ほどより深い）： $ω^{2} = g k$ ，位相速度 $v = \sqrt{g / k} = \sqrt{g λ / 2 π}$ ．波長の長い波ほど速い．
浅い水の波（ $k h$ が十分小さい．水深が波長の20分の1ほどより浅い）： $v = \sqrt{g h}$ ．波長によらず，水深だけで決まる．

どちらも表面張力を無視し，振幅 $A$ が水深と波長より十分小さいとしている．

［図：水深を変えて見る分散関係］

初期水深hは1 m．青い厳密な曲線に，橙の深い水の近似と緑の浅い水の近似を重ねる．水深を小さくすると，浅い水の直線に沿う波数kの範囲が広がる．縦軸の範囲を超える直線は切って表示する．

津波の波長は数十 km から数百 km あり，水深 4000 m の外洋でも「浅い水の波」です．速さは $\sqrt{9.8 \times 4000} \approx 200 m s^{- 1}$ ，時速にして約 700 km になります．水深 10 m の岸近くでは $\sqrt{9.8 \times 10} \approx 10 m s^{- 1}$ まで遅くなります．

群速度：エネルギーはどの速さで進むか

分散のある波では，「波の速さ」が1つに決まりません．波数の近い2つの正弦波 $k_{0} \pm Δ k / 2$ （角振動数 $ω_{0} \pm Δ ω / 2$ ）を重ねると，第2題材のうなりと同じように

y = 2 A \cos \frac{Δ ω t - Δ k x}{2} \sin (ω_{0} t - k_{0} x)

となります．細かい山は位相速度 $ω_{0} / k_{0}$ で進みますが，振幅のふくらみ（包絡線）は $Δ ω / Δ k$ で進みます． $Δ k$ を小さくした極限が群速度です．

定義群速度

波数 $k$ の近くの波を集めてできる波のかたまり（波束）の包絡線が進む速さ

v_{g} = \frac{d ω}{d k}

を群速度という．分散が無ければ $v_{g} = ω / k = v$ である．

深い水の波では $ω = \sqrt{g k}$ を微分して $v_{g} = \frac{1}{2} \sqrt{g / k} = v / 2$ で，群速度は位相速度の半分です．池に石を投げてできた波の輪をよく見ると，一つ一つの山は輪の後ろの端で生まれ，輪の中を前へ進み，前の端で消えていきます．山が波束を追い越していくのです．

［図：位相の山と包絡線の山を追う］

初期状態は深い水の波で，時刻tは規格化した1.5．橙の印が位相の山，緑の輪が包絡線の山を表す．時刻を進めると橙の印が包絡線を追い越す．分散なしでは2つの印が同じ速さで進み，ばねの列では群速度が位相速度より小さい．狭い波数幅の近似で包絡線の広がりは省く．

エネルギーは振幅の2乗に比例するので，エネルギーがあるのは包絡線のふくらんだ所です．だから分散のある波では，エネルギーは群速度で運ばれます．エネルギーの流れも $P = ⟨ e ⟩ v_{g}$ で，分散の無い波の $P = e v$ はその特別な場合です．ばねの列では $v_{g} = a \sqrt{K / m} \cos (k a / 2)$ で，上限の振動数（ $k a = π$ ）で $v_{g} = 0$ になります．その振動数の波はその場で揺れるだけでエネルギーを運ばず，上限を超える振動数では進む波がありません．端を速く揺すっても，揺れは少し入った所で消えてしまいます．

この結論は，ここで扱う保存的な（摩擦や吸収の無い）模型で，波束の波数の幅が狭いときのものです．波数の幅が広いと， $ω (k)$ の曲がり方のために波束は進むにつれて広がっていきます．

浅瀬で波が高くなる

津波が水深のゆっくり変わる海を進むとき，反射が小さく，散逸も無視できれば，波の進む向きに幅 1 m の帯を通るエネルギーの流れは場所によらず一定です．浅い水の波では $v_{g} = v = \sqrt{g h}$ なので

\frac{1}{2} ρ g A^{2} \sqrt{g h} = 一定, A \propto h^{- 1 / 4}

です．これをグリーンの法則といいます．水深が 4000 m から 10 m になると，振幅は $(4000 / 10)^{1 / 4} \approx 4.5$ 倍になります．同じエネルギーの流れを遅い波で運ぶには，エネルギー密度を上げる，つまり振幅を大きくするしかないのです．周期は変わらないので，波長 $λ = v T$ も縮み，波は前後に詰まって高くなります．湾の奥のように幅 $b$ が狭まる所では，同じ考えで $A \propto b^{- 1 / 2} h^{- 1 / 4}$ となり，さらに高くなります．

**［図：浅くなる海で高く詰まる波］**
沖から岸の手前へ右向きに進む波．水深hが小さくなると速さ√(gh)が下がり，周期Tは変わらないため波長λが短くなる．エネルギーの流れが一定なら振幅Aは大きくなる．海底と水面は模式図で，砕波する直前の領域は含めない．

使った近似は，水深の変化が1波長の間で小さいこと（ $| d h / d x | / (k h)$ が十分小さい），振幅が水深より小さいこと（ $A / h$ が十分小さい）の2つです．岸のごく近くでは $A / h$ が1に近づき，波の山の方が速く進んで前のめりになり，砕けます．ここでは線形の波の理論が成り立ちません．

境界での反射と透過

水深や線密度が波長に比べて急に変わると，波の一部が反射します．線密度 $μ_{1}$ と $μ_{2}$ の弦を同じ張力 $S$ で結び，左から振幅 $A_{i}$ の波が来るとします．結び目で成り立つのは，弦が切れないこと（変位がつながる）と，質量の無い結び目に働く横向きの力がつり合うこと（傾きがつながる）の2つです．この2つの条件から反射波と透過波の振幅が決まります（導き方は数学の節）．

定理弦の接続点での反射と透過

インピーダンスを $Z_{1} = \sqrt{S μ_{1}}$ ， $Z_{2} = \sqrt{S μ_{2}}$ とすると，入射波の振幅 $A_{i}$ に対する反射波 $A_{r}$ ・透過波 $A_{t}$ の比は

\frac{A_{r}}{A_{i}} = \frac{Z_{1} - Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}}, \frac{A_{t}}{A_{i}} = \frac{2 Z_{1}}{Z_{1} + Z_{2}}

である．エネルギーの流れの割合は反射率 $R = {(A_{r} / A_{i})}^{2}$ ，透過率 $T = (Z_{2} / Z_{1}) {(A_{t} / A_{i})}^{2}$ で， $R + T = 1$ となる．

$Z_{2}$ が非常に大きい（重い弦や壁につながる）と $A_{r} / A_{i} \to - 1$ で，第3題材の固定端の反射（位相が $π$ ずれる）になります． $Z_{2} \to 0$ なら $A_{r} / A_{i} \to 1$ で自由端です．固定端と自由端は，この式の両極限だったのです．また， $Z_{1} = Z_{2}$ なら反射は起こりません．反射を決めるのは媒質の違いそのものではなく，インピーダンスの違いです．第26章では，ガラスの表面での光の反射をこれと同じ考えで求めます．

［図：線密度を変えて見るパルスの反射と透過］

初期状態はμ₂/μ₁が4で，入射前の上向きのパルスと，反射後の下向きのパルス・上向きの透過パルスを上下に示す．時刻を0に戻すと入射から接続点を通る過程を追える．線密度比を0.1から10まで変えると，反射の符号と振幅，透過の振幅と幅が変わる．

波が運ぶ運動量（発展）

波がエネルギーを運ぶなら，運動量も運ぶでしょうか．光（電磁波）では，エネルギーの流れ $P$ に伴って運動量の流れ $P / c$ が運ばれ，光を吸収する面は力を受けます．これは第26章で場の方程式から確かめます．弦や水面の波でも，波を吸収する壁には平均して押す力が働きます．ただし，この力は振幅の2乗に比例する量で，振幅の1次までしか扱わない線形の波の理論だけでは決まらず，媒質の性質の細部によります．水面の波では，水の粒子が円を描きながら少しずつ前へ流される（ストークスの漂流）ことが，運ぶ運動量の一つの現れです．

問いに戻る

津波は波長が水深よりずっと長いので，外洋でも浅い水の波で，速さは $v = \sqrt{g h}$ です．水深 4000 m では約 $200 m s^{- 1}$ で，太平洋を1日ほどで渡ります．浅い水の波には分散がほとんど無いので，波の形は崩れにくく，エネルギーは遠くまで届きます．岸に近づいて水深が浅くなると速さが落ちますが，運ぶエネルギーの流れ $\frac{1}{2} ρ g A^{2} \sqrt{g h}$ は変わらないので，振幅は $h^{- 1 / 4}$ に比例して大きくなります．湾の幅が狭まればさらに高くなり，最後は振幅が水深に近づいて砕けます．

ポイントここまでのまとめ

波が運ぶエネルギーの流れは，分散が無ければ $P = e v$ ．弦の正弦波では $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} Z ω^{2} A^{2}$ ， $Z = \sqrt{S μ}$ ．水面では単位面積あたり $\frac{1}{2} ρ g A^{2}$ ．
分散関係 $ω (k)$ ．深い水 $ω^{2} = g k$ ，浅い水 $v = \sqrt{g h}$ ．ばねの列は $ω = 2 \sqrt{K / m} \sin (k a / 2)$ で上限がある．
包絡線とエネルギーは群速度 $v_{g} = d ω / d k$ で進む．深い水の波では $v_{g} = v / 2$ ．
浅瀬ではエネルギーの流れが一定なので $A \propto h^{- 1 / 4}$ （グリーンの法則）．津波が岸で高くなる理由．
接続点の反射 $A_{r} / A_{i} = (Z_{1} - Z_{2}) / (Z_{1} + Z_{2})$ ．固定端・自由端はその両極限．