波と音

倍音と音色の演習

著者：柚木芹香

波形と倍音の並びから，励起と境界条件が音色をどう変えるか調べてください．音の圧力のずれを $δ p$ ，弦の張力を $S$ ，線密度を $μ$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

ある点の音圧が $δ p = p_{*} (\sin ω t + \frac{1}{2} \sin 2 ω t)$ と測定された． $p_{*} > 0$ ， $ω = 2 π f$ ， $f = 240 Hz$ とする．

含まれる振動数と波形の最小周期 $T$ を求めよ．
$t = 0, T / 8, T / 4, 3 T / 8, T / 2$ の値を求め，1周期の波形を描け．半周期後の波形は符号を反転したものか．

**［図：音圧を作図する座標］**
横軸t/T，縦軸δp/p*の作図用座標．横軸には1周期を8等分した目盛りを付ける．

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考え方 各成分の位相を進め，圧力を足す．

振動数は $240 Hz$ と $480 Hz$ ．基本音が存在するので，最小周期は $T = 1 / f \approx 4.17 \times 10^{- 3} s$ である．
指定時刻の $δ p / p_{*}$ は順に $0, (\sqrt{2} + 1) / 2, 1, (\sqrt{2} - 1) / 2, 0$ ．残り半周期では $t = 5 T / 8, 3 T / 4, 7 T / 8, T$ に順に $(1 - \sqrt{2}) / 2, - 1, - (1 + \sqrt{2}) / 2, 0$ を通る滑らかな曲線となる．半周期後は $\sin ω t$ の符号だけが変わり， $\sin 2 ω t$ は変わらないので，全体の符号反転ではない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

周期 $T$ の音圧を， $- T / 2 \leq t \leq T / 2$ で $δ p = p_{*} (1 - 4 | t | / T)$ とし，周期的に延長する． $p_{*} > 0$ ， $ω = 2 π / T$ とする．

$δ p = a_{0} / 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω t + b_{n} \sin n ω t)$ の係数を求めよ．
圧力の2乗の周期平均を求め，そのうち基本音が占める割合を求めよ．

**［図：与えられた三角形の音圧波形］**
周期Tのうち−T/2からT/2の音圧を示す．頂点は音圧p*，両端は音圧−p*で，その間は直線である．

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考え方 偶関数の対称性で正弦成分を消し，直交性で2乗平均を成分ごとに分ける．

平均は0だから $a_{0} = 0$ ，偶関数だから $b_{n} = 0$ ． $q = n ω$ とおくと

a_{n} = \frac{4 p_{*}}{T} \int_{0}^{T / 2} (1 - \frac{4 t}{T}) \cos q t d t = \frac{16 p_{*}}{T^{2} q^{2}} [1 - {(- 1)}^{n}] .

ここで $\int t \cos q t d t = t \sin q t / q + \cos q t / q^{2}$ を使った．よって偶数 $n$ では0，奇数 $n$ では $a_{n} = 8 p_{*} / (π^{2} n^{2})$ である．

波形を直接積分すると $⟨ δ p^{2} ⟩ = \frac{2 p_{*}^{2}}{T} \int_{0}^{T / 2} {(1 - 4 t / T)}^{2} d t = p_{*}^{2} / 3$ ．基本音の2乗平均は $a_{1}^{2} / 2 = 32 p_{*}^{2} / π^{4}$ なので割合は $96 / π^{4} \approx 0.986$ ．直交性から $⟨ δ p^{2} ⟩ = \sum a_{n}^{2} / 2$ とも求まる．割合は1未満で，高い倍音の寄与は小さい．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

理想的な一様気柱の共鳴を掃引測定した．最も低い共鳴から連続する3つの値は次の表であり，各値の誤差の限界は $\pm 1 Hz$ である．この間に他の共鳴はない．音速 $v = 340 m s^{- 1}$ は既知とし，開口端補正を無視する．

共鳴の順	1	2	3
$f$ （ $Hz$ ）	205	615	1025

両端開管と一端閉管のどちらの模型が合うか．基本振動数 $f_{0}$ の許される範囲を求めよ．
有効長 $l$ を推定せよ．この結果だけで実際の楽器名を特定できるか．

**［図：気柱の境界条件の二つの候補］**
長さlの両端開管と一端閉管を候補として並べ，開口端と閉口端を示す．

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考え方 強い音のピークではなく，欠落のない共鳴の並びを境界条件の予言と比べる．

比は $1 : 3 : 5$ であり，閉管の $f_{n} = (2 n - 1) v / (4 l)$ に合う．開管の連続する共鳴の比 $1 : 2 : 3$ には合わない．3点が要求する範囲は順に $204 \leq f_{0} \leq 206$ ， $614 / 3 \leq f_{0} \leq 616 / 3$ ， $1024 / 5 \leq f_{0} \leq 1026 / 5$ （単位は $Hz$ ）．共通範囲は $204.8 \leq f_{0} \leq 205.2$ （ $Hz$ ）である．
中心値から $l = v / (4 f_{0}) = 340 / 820 \approx 0.415 m$ ．限界値は約 $0.4142 m$ と $0.4150 m$ である．実際の楽器では形状や開口端補正も効くので，名前までは決まらない．通常の演奏音のスペクトルなら，励起されない倍音もあり，この共鳴掃引と同じ推定はできない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

両端固定の長さ $l$ の弦を，左端から $b = l / 4$ の点で高さ $a > 0$ まで引き，静かに放す．初期波形は $0 \leq x \leq b$ で $y_{0} = a x / b$ ， $b \leq x \leq l$ で $y_{0} = a (l - x) / (l - b)$ である．小さな傾きの近似を用いる．

初期波形のモード係数 $B_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} y_{0} \sin (n π x / l) d x$ を求めよ．
欠ける倍音と $B_{2} / B_{1}, B_{3} / B_{1}$ を求めよ．

**［図：4分の1の位置を引いた弦］**
両端固定の弦をx=b=l/4で高さaまで引く．与えられた初期波形は二つの直線をつないだ三角形である．

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考え方 はじいた点で積分を分ける．波形の折れ曲がりが各モードへの射影を決める．

$q = n π / l$ とおく．部分積分で端点項は0となり，傾きが一定の区間を積分すると

\int_{0}^{l} y_{0} \sin q x d x = \frac{1}{q} [\frac{a}{b} \int_{0}^{b} \cos q x d x - \frac{a}{l - b} \int_{b}^{l} \cos q x d x] = \frac{a l \sin q b}{b (l - b) q^{2}} .

したがって $B_{n} = 2 a l^{2} \sin (n π b / l) / [n^{2} π^{2} b (l - b)] = 32 a \sin (n π / 4) / (3 π^{2} n^{2})$ ．運動は $y = \sum B_{n} \sin (n π x / l) \cos ω_{n} t$ ， $ω_{n} = n π \sqrt{S / μ} / l$ となる．

$n = 4, 8, 12, \dots$ の成分が欠ける．比は $B_{2} / B_{1} = \sqrt{2} / 4$ ， $B_{3} / B_{1} = 1 / 9$ ．欠けるモードははじく点に節をもつ．近似条件は両側の傾き，特に $a / b = 4 a / l$ が1より十分小さいことである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

両端固定の一様な弦（長さ $l$ ，線密度 $μ$ ，張力 $S$ ）が初め真っすぐだった．短い打撃により， $l / 3 < x < 2 l / 3$ だけに一様な上向き速度 $u > 0$ を与え，他は初速度0とする．運動は線形な弦の模型に従う．

$y = \sum A_{n} \sin (n π x / l) \sin ω_{n} t$ ， $ω_{n} = n π \sqrt{S / μ} / l$ の係数と，励起されないモードを求めよ．
基本振動と第3モードのエネルギーの和は，全エネルギーの何割か．各モードについて $E_{n} = μ l ω_{n}^{2} A_{n}^{2} / 4$ を初期運動エネルギーから導いて用いよ．

**［図：弦の中央3分の1に与える初速度］**
初め真っすぐな両端固定の弦の中央3分の1だけに，一様な上向き初速度uを与える．区間の外では初速度は0である．

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考え方 初速度を正弦級数に分け，変位の振幅へ直すには角振動数で割る．

$c_{n} = ω_{n} A_{n}$ とすれば，直交性から

c_{n} = \frac{2 u}{l} \int_{l / 3}^{2 l / 3} \sin \frac{n π x}{l} d x = \frac{2 u}{n π} (\cos \frac{n π}{3} - \cos \frac{2 n π}{3}) = \frac{4 u}{n π} \sin \frac{n π}{2} \sin \frac{n π}{6} .

よって $A_{n} = c_{n} / ω_{n}$ ．偶数モードはすべて欠け，奇数モードはすべて励起される．

$\int_{0}^{l} \sin^{2} (n π x / l) d x = l / 2$ より，時刻0の各モードのエネルギーは $E_{n} = \frac{μ}{2} c_{n}^{2} \frac{l}{2} = μ l c_{n}^{2} / 4$ ．全体は $E = \frac{μ}{2} u^{2} \frac{l}{3} = μ l u^{2} / 6$ ． $c_{1} = 2 u / π$ ， $c_{3} = - 4 u / (3 π)$ だから $(E_{1} + E_{3}) / E = 26 / (3 π^{2}) \approx 0.878$ ，約8.8割である．係数の符号はエネルギーに影響しない．小振幅の条件は $u / \sqrt{S / μ}$ が1より十分小さいことであり，実際には打撃区間の縁も滑らかになる．

ポイント教える人へ

半周期後の符号反転が，偶数倍音の有無とどう関係するか問います．
波形の係数，音圧の2乗平均，弦のモードのエネルギーを区別させます．
共鳴を掃引した測定と，演奏音のスペクトルの違いを確かめます．
初期変位と初速度のどちらを展開しているか，係数の単位で確認させます．