波と音

フーリエ級数と直交性

著者：柚木芹香

本体の節で使った，周期関数を倍音に分ける式と，強さが倍音ごとの和に分かれる式を，三角関数の直交性から導きます．

定理数学の道具：三角関数の直交性

$m, n$ を正の整数とする．

\int_{0}^{2 π} \sin m x \sin n x d x = \int_{0}^{2 π} \cos m x \cos n x d x = π δ_{m n}, \int_{0}^{2 π} \sin m x \cos n x d x = 0

ここで $δ_{m n}$ は $m = n$ なら1， $m \neq n$ なら0．また $\int_{0}^{2 π} \cos n x d x = \int_{0}^{2 π} \sin n x d x = 0$ である．

積を和に直すと $\sin m x \sin n x = \frac{1}{2} [\cos (m - n) x - \cos (m + n) x]$ です．0でない整数 $j$ について $\int_{0}^{2 π} \cos j x d x = {[\sin j x / j]}_{0}^{2 π} = 0$ なので， $m \neq n$ なら両方の項が消えます． $m = n$ なら $\cos 0 = 1$ の項だけが残り， $\frac{1}{2} \cdot 2 π = π$ です．ほかの組も同じように和に直せば分かります．

ベクトルの成分を内積で取り出すのと同じ見方ができます．関数 $f, g$ の「内積」を $\int f g d x$ とすると， $\sin n x$ と $\cos n x$ は互いに直交する軸です．ある軸との内積をとれば，その軸の成分だけが残ります．

変数を変えれば，ほかの区間でも同じことが言えます． $x = ω t$ とおくと周期 $T = 2 π / ω$ の区間で $\int_{0}^{T} \sin m ω t \sin n ω t d t = (T / 2) δ_{m n}$ です．弦のモードでは $x \to π x / l$ として， $0 \leq x \leq l$ の半周期だけで $\int_{0}^{l} \sin (m π x / l) \sin (n π x / l) d x = (l / 2) δ_{m n}$ が成り立ちます（ $\cos (m \pm n) π x / l$ を $0$ から $l$ まで積分すると， $m \pm n \neq 0$ なら0）．

定理数学の道具：フーリエ係数

周期 $T$ （ $ω = 2 π / T$ ）の関数を $f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n ω t + b_{n} \sin n ω t)$ と表すとき

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos n ω t d t (n \geq 0), b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin n ω t d t

積分は長さ $T$ のどの区間でとってもよい． $a_{0} / 2$ は $f$ の平均である．

級数の両辺に $\cos m ω t$ を掛けて1周期で積分すると，直交性で $n = m$ の $\cos$ の項だけが残り， $\int_{0}^{T} f \cos m ω t d t = a_{m} T / 2$ です． $a_{0}$ に $1 / 2$ を付けておくと， $n = 0$ でも同じ式が使えます．

対称性があると計算が減ります． $f$ が偶関数（ $f (- t) = f (t)$ ）なら $b_{n} = 0$ ，奇関数なら $a_{n} = 0$ です． $f (t + T / 2) = - f (t)$ なら偶数番の係数がすべて0です．

跳びのある関数（方形波など）も，区分的になめらかなら級数で表せます．跳びの点では級数は左右の値の平均になり，有限個の項で打ち切ると跳びの近くに跳びの大きさの約9 % のはみ出しが残ります（ギブズの現象）．

定理数学の道具：複素形とパーセバルの等式

オイラーの式で $\cos n ω t$ と $\sin n ω t$ を $e^{\pm i n ω t}$ に直すと

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n ω t}, c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- i n ω t} d t

となる．実数の $f$ では $c_{- n}$ は $c_{n}$ の複素共役で， $c_{n} = (a_{n} - i b_{n}) / 2$ （ $n \geq 1$ ）， $c_{0} = a_{0} / 2$ である．2乗の周期平均は

⟨ f^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^{2} d t = \sum_{n = - \infty}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} = \frac{a_{0}^{2}}{4} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}{2}

$\cos θ = (e^{i θ} + e^{- i θ}) / 2$ ， $\sin θ = (e^{i θ} - e^{- i θ}) / (2 i)$ から， $e^{i n ω t}$ の係数は $(a_{n} - i b_{n}) / 2$ です．複素形の直交性は $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{i (m - n) ω t} d t = δ_{m n}$ の1本で済み， $c_{n}$ の式はこれから出ます．パーセバルの等式は， $f^{2}$ を級数の積に展開して周期平均をとると，異なる番号の積がすべて消えることから出ます．

練習1　 $f (t) = \cos^{2} ω t$ のフーリエ係数を求めよ．

練習2　 $f (t) = 3 \sin ω t + 4 \cos 2 ω t$ の $⟨ f^{2} ⟩$ を，パーセバルの等式で求めよ．

答え　練習1： $\cos^{2} ω t = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 ω t$ なので $a_{0} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，ほかは0．積分しなくても，有限個の項の和に書ければそれが答えである．練習2： $(3^{2} + 4^{2}) / 2 = 12.5$ ．直接計算しても $3 \sin ω t \cdot 4 \cos 2 ω t$ の平均は0である．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

周期 $T$ の方形波 $f (t)$ を， $0 < t < T / 2$ で $f = 1$ ， $T / 2 < t < T$ で $f = - 1$ とする（ $ω = 2 π / T$ ）．

フーリエ係数を求めよ．
パーセバルの等式を使って， $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots$ を求めよ．また， $⟨ f^{2} ⟩$ のうち基本音が占める割合を求めよ．

［図：方形波と有限個の項の部分和］

初期状態はN = 5で，0 < t < T/2では1，T/2 < t < Tでは−1となる方形波に，5項を足した部分和を重ねる．Nのスライダーを1〜25で変えると，跳びから離れた所で方形波に近づく一方，跳びの近くにはみ出しが残る様子が見える．白抜きの丸は区間の端を表す．

解答を見る

考え方 $f$ は奇関数で， $f (t + T / 2) = - f (t)$ も満たす．対称性で消える係数を先に決める．

原点のまわりで奇関数なので $a_{n} = 0$ （ $a_{0}$ も0）． $q = n ω$ とおくと， $q T / 2 = n π$ より

b_{n} = \frac{2}{T} [\int_{0}^{T / 2} \sin q t d t - \int_{T / 2}^{T} \sin q t d t] = \frac{2}{T} \cdot \frac{2 (1 - \cos n π)}{q} = \frac{2}{n π} [1 - (- 1)^{n}]

偶数の $n$ では0，奇数の $n$ では $b_{n} = 4 / (n π)$ である．

f (t) = \frac{4}{π} (\sin ω t + \frac{1}{3} \sin 3 ω t + \frac{1}{5} \sin 5 ω t + \dots)

$f^{2} = 1$ なので $⟨ f^{2} ⟩ = 1$ ．パーセバルの等式から

1 = \sum_{n 奇数} \frac{b_{n}^{2}}{2} = \frac{8}{π^{2}} (1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots)

よって $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{8}$ ．基本音の割合は $b_{1}^{2} / 2 = 8 / π^{2} \approx 0.81$ である．

確かめ：偶数倍音が無いのは $f (t + T / 2) = - f (t)$ から予想どおり． $t = T / 4$ で級数は $\frac{4}{π} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{4} = 1$ で， $f$ と合う．跳びの点 $t = 0$ では級数は0で，左右の値 $\pm 1$ の平均である．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

周期 $T$ ののこぎり波 $f (t)$ を， $- T / 2 < t < T / 2$ で $f = 2 t / T$ とし，周期的に延長する（ $ω = 2 π / T$ ）．複素形の係数 $c_{n}$ を求め，実数の形の $a_{n}, b_{n}$ に直せ．また $⟨ f^{2} ⟩$ のうち基本音が占める割合を求めよ． $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{6}$ を使ってよい．

**［図：周期Tののこぎり波］**
のこぎり波f(t)を−T/2から3T/2までの2周期分示す．−T/2 < t < T/2ではf(t) = 2t/Tで，−1から1へ直線的に増える．T/2で−1へ跳んで戻り，同じ形をくり返す．破線は跳びの位置，白抜きの丸は区間の端を表す．

解答を見る

考え方 $\int t e^{- i q t} d t$ を部分積分で求める．奇関数なので $a_{n} = 0$ が予想できる．

$c_{0}$ は平均で0． $n \neq 0$ では $q = n ω$ とおくと，部分積分で

\int_{- T / 2}^{T / 2} t e^{- i q t} d t = {[\frac{i t e^{- i q t}}{q}]}_{- T / 2}^{T / 2} + {[\frac{e^{- i q t}}{q^{2}}]}_{- T / 2}^{T / 2}

$q T / 2 = n π$ より $e^{\mp i n π} = (- 1)^{n}$ なので，第1項は $\frac{i T (- 1)^{n}}{q}$ ，第2項は0．よって

c_{n} = \frac{1}{T} \cdot \frac{2}{T} \cdot \frac{i T (- 1)^{n}}{q} = \frac{i (- 1)^{n}}{n π}

$c_{n} = (a_{n} - i b_{n}) / 2$ と比べると $a_{n} = 0$ ， $b_{n} = - 2 Im c_{n} = \frac{2 (- 1)^{n + 1}}{n π}$ ．

f (t) = \frac{2}{π} (\sin ω t - \frac{1}{2} \sin 2 ω t + \frac{1}{3} \sin 3 ω t - \dots)

直接計算すると $⟨ f^{2} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} \frac{4 t^{2}}{T^{2}} d t = \frac{1}{3}$ ．パーセバルの等式でも $\sum b_{n}^{2} / 2 = \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{π^{2}}{6} = \frac{1}{3}$ で合う．基本音の割合は $\frac{2 / π^{2}}{1 / 3} = \frac{6}{π^{2}} \approx 0.61$ である．

確かめ： $c_{- n} = - i (- 1)^{n} / (n π)$ は $c_{n}$ の複素共役で， $f$ が実数であることと合う．方形波と違ってすべての倍音を含み，基本音の割合も小さい．弓でこする弦の波形はのこぎり波に近く，バイオリンの音が倍音に富むことと対応する．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

両端固定の弦（長さ $l$ ，線密度 $μ$ ，張力 $S$ ， $v = \sqrt{S / μ}$ ）の中央を高さ $a$ まで引いて，静かに放す． $a / l$ は十分小さい．

初めの弾性エネルギー $E = \int_{0}^{l} \frac{S}{2} {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2} d x$ を求めよ．
初めの傾き $\partial y / \partial x$ は $x$ の方形波である．このことと例題1を使って，モードの係数 $B_{n}$ を求めよ．
各モードのエネルギー $E_{n} = μ l ω_{n}^{2} B_{n}^{2} / 4$ の和が $E$ に等しいことを確かめ，基本振動が占める割合を求めよ．

**［図：中央で引いた弦と初めの傾き］**
両端固定の弦をx = l/2で高さaに引いた，静かに放す直前の三角形を上段に示す．縦方向は拡大している．下段の初めの傾き∂y/∂xは，左半分で2a/l，右半分で−2a/lとなる．中央の折れ目では傾きが跳び，白抜きの丸で区間の端を示す．

解答を見る

考え方 $y = \sum B_{n} \sin k_{n} x$ を $x$ で微分すると $\partial y / \partial x = \sum k_{n} B_{n} \cos k_{n} x$ で，傾きの余弦級数の係数から $B_{n}$ が出る．傾きは方形波を4分の1周期ずらしたものである．

傾きの大きさはどこでも $2 a / l$ なので $E = \frac{S}{2} \cdot \frac{4 a^{2}}{l^{2}} \cdot l = \frac{2 S a^{2}}{l}$ ．
傾きは周期 $2 l$ の関数とみると， $0 < x < l / 2$ で $2 a / l$ ， $l / 2 < x < l$ で $- 2 a / l$ ， $x < 0$ 側へは偶関数として延長したものである．例題1の方形波を4分の1周期ずらすと $\sin$ が $\cos$ に変わり，奇数 $n$ で係数の符号が $\sin (n π / 2)$ だけ交互になる． $t \to x$ ， $T \to 2 l$ ， $ω \to π / l$ と読みかえて

\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{2 a}{l} \cdot \frac{4}{π} \sum_{n 奇数} \frac{\sin (n π / 2)}{n} \cos \frac{n π x}{l}

これを $k_{n} B_{n} = (n π / l) B_{n}$ と比べて

B_{n} = \frac{8 a}{π^{2}} \cdot \frac{\sin (n π / 2)}{n^{2}} (n 奇数), B_{n} = 0 (n 偶数)

本体の節の式で $b = l / 2$ とおいたものと一致する．

$ω_{n} = n π v / l$ ， $μ v^{2} = S$ より，奇数 $n$ で

E_{n} = \frac{μ l}{4} \cdot \frac{n^{2} π^{2} v^{2}}{l^{2}} \cdot \frac{64 a^{2}}{π^{4} n^{4}} = \frac{16 S a^{2}}{π^{2} l} \cdot \frac{1}{n^{2}}

例題1の $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{8}$ を使うと $\sum E_{n} = \frac{16 S a^{2}}{π^{2} l} \cdot \frac{π^{2}}{8} = \frac{2 S a^{2}}{l} = E$ ．基本振動の割合は $E_{1} / E = 8 / π^{2} \approx 0.81$ である．

確かめ：中央が腹になる奇数のモードだけが揺れ，中央が節の偶数モードは鳴らない．モードのエネルギーの和が全体に等しいのは，弦についてのパーセバルの等式である．小さい傾き $2 a / l$ が1より十分小さいときに成り立つ．

ポイントここまでのまとめ

$\sin n x$ ， $\cos n x$ は1周期の積分で互いに直交する．弦のモード $\sin (n π x / l)$ も $0 \leq x \leq l$ で直交する．
フーリエ係数は $a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f \cos n ω t d t$ ， $b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f \sin n ω t d t$ ．複素形は $c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f e^{- i n ω t} d t$ ．
偶関数は $\cos$ だけ，奇関数は $\sin$ だけ， $f (t + T / 2) = - f (t)$ なら奇数番だけ．
パーセバルの等式 $⟨ f^{2} ⟩ = \sum {| c_{n} |}^{2}$ で，強さやエネルギーが倍音ごとに分かれる．
方形波は奇数倍音が $1 / n$ ，のこぎり波は全倍音が $1 / n$ ，はじいた弦は $1 / n^{2}$ で減る．