電磁波（発展）

電磁波の場と光圧の演習

著者：柚木芹香

場の向き，時間平均，運動量の流れを結びつけてください．以下，強さ $I$ は単位面積あたりの平均通過電力を表し，真空中の光速を $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

真空中の平面波の電場は $E_{y} = E_{0} \sin (ω t + k x)$ ， $E_{x} = E_{z} = 0$ です． $E_{0}, ω, k > 0$ ， $ω = c k$ とします．

進行方向と磁場の各成分を求めよ．
電場と磁場のエネルギー密度 $u_{E} = ε_{0} E^{2} / 2$ ， $u_{B} = B^{2} / (2 μ_{0})$ を比較し，平均全エネルギー密度を求めよ． $ε_{0} μ_{0} c^{2} = 1$ を使ってよい．

［図：直交座標軸と正のy方向の電場］

直交するx，y，z軸を斜めから見た図．同じ点から正のy方向へ電場E_yを青い矢印で示す．

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考え方 同じ位相の点が動く向きを求め，外積 $E \times B$ をその向きにそろえる．

位相一定では $ω d t + k d x = 0$ だから $\frac{d x}{d t} = - c$ ．磁場は $B_{x} = B_{y} = 0$ ， $B_{z} = - E_{0} \sin (ω t + k x) / c$ である．電場の正負が変わると磁場も反転し，外積は常に負のx方向になる．
$u_{B} = E^{2} / (2 μ_{0} c^{2}) = ε_{0} E^{2} / 2 = u_{E}$ ．よって $u = ε_{0} E_{0}^{2} \sin^{2} (ω t + k x)$ で，1周期平均は $⟨ u ⟩ = ε_{0} E_{0}^{2} / 2$ ．電場と磁場は瞬間ごとにも等分され，平均だけの一致ではない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

大気外のある場所の太陽光を，同じ平均強度の正弦平面波に置き換えます． $I = 7.2 \times 10^{2} W m^{- 2}$ ， $ε_{0} = 8.9 \times 10^{- 12} F m^{- 1}$ とします．

$S = E \times B / μ_{0}$ から $I$ と電場振幅の関係を導き，電場・磁場の振幅を求めよ．
波に垂直な面積 $S = 2.0 m^{2}$ の完全吸収板が受ける力を求めよ．エネルギー $U$ の光は進行方向に運動量 $U / c$ を運びます．

**［図：入射光と完全吸収板］**
平行な入射光が板へ垂直に入る．入射光の強さIと，完全吸収板の面積Sを示す．

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考え方 強さは場の振幅の2乗の時間平均であり，吸収板の力は毎秒受け取る運動量である．

$B = E / c$ より $S_{x}$ の大きさは $E^{2} / (μ_{0} c) = ε_{0} c E^{2}$ ．したがって $I = ε_{0} c E_{0}^{2} / 2$ ， $E_{0} = \sqrt{2 I / (ε_{0} c)} = 7.3 \times 10^{2} V m^{- 1}$ ， $B_{0} = E_{0} / c = 2.4 \times 10^{- 6} T$ ．
時間 $Δ t$ に届くエネルギーは $I S Δ t$ だから， $F = I S / c = 4.8 \times 10^{- 6} N$ ．光圧 $I / c = 2.4 \times 10^{- 6} Pa$ と面積の積に等しい．ここでの振幅は，多くの振動数を含む実際の太陽光の単一の振幅ではなく，指定した置換の値である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

真空中の薄い板に，電力 $P = 0.36 W$ のレーザーを $τ = 2.0 \times 10^{- 2} s$ 照射します．光は板へ垂直に当たり，全て板の中に収まります．入射エネルギーの $1 / 3$ を吸収し，残りを正反対に反射します．板の質量は $M = 1.2 \times 10^{- 8} kg$ ，初速度は0です．外力，照射中の再放射，運動による光の変化を無視します．

平均の力と，照射終了時の速度を求めよ．
板の運動エネルギーと入射エネルギーの比を求め，近似を確かめよ．

**［図：レーザー光と初め静止した板］**
電力Pの入射光が，質量Mの初め静止した板に垂直に当たる．吸収は1/3，残りを正反対へ反射するという条件を示す．照射時間はτである．

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考え方 吸収では $U / c$ ，反射では $2 U / c$ の運動量が板へ渡る．

$F = (1 / 3 + 2 \times 2 / 3) P / c = 2.0 \times 10^{- 9} N$ ．力積 $F τ = M v$ より $v = 3.3 \times 10^{- 3} m s^{- 1}$ で，入射光の向きである．
$U = P τ = 7.2 \times 10^{- 3} J$ ， $K = M v^{2} / 2 = 6.7 \times 10^{- 14} J$ ．したがって $K / U = 9.3 \times 10^{- 12}$ ．吸収エネルギーの大部分は板の内部に残る．無次元量 $v / c = 1.1 \times 10^{- 11}$ が十分小さく，反射光のエネルギー変化を無視する近似も整合する．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

真空中の同振幅の対向波を， $E_{y}^{(+)} = E_{0} \sin (ω t - k x)$ ， $E_{y}^{(-)} = - E_{0} \sin (ω t + k x)$ とします． $ω = c k$ ， $λ = 2 π / k$ です．弱い探針で測った，隣り合う3つの電場強度の極大位置は次の通りでした．各位置の誤差の絶対値は $0.10 cm$ 以下とします．

極大	位置 $x$ （ $cm$ ）
A	3.05
B	9.15
C	15.25

合成電場を求め，極大位置の間隔から波長と振動数 $ν$ を決めよ．
AとCを使った波長の最大誤差と，振動数の相対誤差の1次近似を求めよ．

**［図：対向波と探針の測定位置］**
同振動数・同振幅の対向波を矢印で示す．x軸上の測定位置はAが3.05 cm，Bが9.15 cm，Cが15.25 cmで，探針は軸に沿って走査する．

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考え方 電場を足してから2乗平均をとる．腹の間隔は波長そのものではない．

和積の公式から $E_{y} = - 2 E_{0} \cos ω t \sin k x$ ， $⟨ E_{y}^{2} ⟩ = 2 E_{0}^{2} \sin^{2} k x$ ．極大の間隔は $π / k = λ / 2$ である．AとCは2間隔離れているので， $λ = x_{C} - x_{A} = 12.20 cm$ ， $ν = c / λ = 2.5 \times 10^{9} Hz$ ．Bも中点にあり，等間隔の模型と合う．
差の誤差は両端の誤差の和以下だから $Δ λ = 0.20 cm$ ． $\frac{d ν}{d λ} = - c / λ^{2}$ より $Δ ν / ν \approx Δ λ / λ = 0.016$ ，約1.6 %である．これは最大誤差の評価であり，二乗和ではない．捨てた高次項は ${(Δ λ / λ)}^{2}$ 程度で十分小さい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

等方的に電力 $P_{*}$ を放射する恒星のまわりで，面積 $S$ ，面積あたりの質量 $σ_{m}$ の平らな帆を考えます．帆は恒星から距離 $r$ にあり，法線は半径方向です．入射エネルギーの割合 $α$ を吸収し，残りを正反対へ反射します．透過，吸収後の再放射による合力，他の力は無視します．恒星の質量は $M_{*}$ です．

光圧の力と重力の比を導き，半径方向の合力が外向きになる $σ_{m}$ の条件を求めよ．
$P_{*} = 3.6 \times 10^{26} W$ ， $G M_{*} = 1.3 \times 10^{20} m^{3} s^{- 2}$ ， $α = 1 / 4$ ， $σ_{m} = 8.0 \times 10^{- 4} kg m^{- 2}$ で比を評価せよ．恒星へ近づくだけで，合力の向きは逆転しますか．

**［図：恒星から距離rにある帆］**
質量M_*，放射電力P_*の恒星と，距離rに置かれた帆を示す．帆は半径方向に垂直で，面積S，面密度σ_m，吸収割合αを記す．

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考え方 球面に広がる光の強さと，帆全体への万有引力を同じ距離で比較する．

$I = P_{*} / (4 π r^{2})$ なので， $F_{light} = (2 - α) P_{*} S / (4 π c r^{2})$ ．帆の質量は $σ_{m} S$ だから $F_{g} = G M_{*} σ_{m} S / r^{2}$ ．従って

\frac{F_{light}}{F_{g}} = \frac{(2 - α) P_{*}}{4 π c G M_{*} σ_{m}}, σ_{m} < \frac{(2 - α) P_{*}}{4 π c G M_{*}}

なら合力は外向きである．

境目の面密度は $1.3 \times 10^{- 3} kg m^{- 2}$ ，比は丸める前の値で約1.6．両方が $r^{- 2}$ に比例するため，近づくだけでは向きは逆転しない．右辺は面密度の次元を持つ．恒星と帆の大きさが $r$ より十分小さく，帆の速さと $c$ の比も十分小さい範囲での結論である．

ポイント教える人へ

電場と磁場の外積から，波の進行方向を説明させます．
振幅の2乗とその時間平均，腹の間隔と波長を区別させます．
吸収と反射で力積が違う理由を，光の運動量の変化から問います．
誤差や運動の近似は，小さいとした無次元量で確かめさせます．