電磁波（発展）

電磁波の波動方程式と時間平均

著者：柚木芹香

本体の節では，突然流れ始めた電流の板が作る場の面から，電磁波の速さが $c$ になることを見ました．ここでは，場の波動方程式を，細長い長方形の道に積分形を使う方法と，微分形とベクトル解析の公式を使う方法（発展）の2通りで導きます．あわせて，強さの計算に使う正弦波の2乗の時間平均を確かめます．

定理数学の道具：細長い長方形の道から1次元の波動方程式へ

真空中で，場が $x$ と $t$ だけによって，電場が $y$ 成分 $E_{y} (x, t)$ ，磁場が $z$ 成分 $B_{z} (x, t)$ だけをもつとき，ファラデーの法則とアンペール・マクスウェルの法則は

\frac{\partial E_{y}}{\partial x} = - \frac{\partial B_{z}}{\partial t}, \frac{\partial B_{z}}{\partial x} = - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}

となり，組み合わせると $E_{y}$ と $B_{z}$ はどちらも1次元の波動方程式 $\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}$ に従う．

本体の節の2つの長方形の道を，波面をまたぐ代わりに $x$ から $x + d x$ までの幅，高さ $h$ にとります． $x y$ 平面の道（面の向きは $+ z$ ）では，電場の線積分に効くのは $y$ 方向の2辺だけで $[E_{y} (x + d x, t) - E_{y} (x, t)] h = \partial E_{y} / \partial x d x h$ です．これが磁束 $B_{z} h d x$ の減る速さに等しいことが1つ目の式です． $x z$ 平面の道（面の向きは $+ y$ ）では，右ねじの関係から $x$ の辺を $+ z$ 向きにたどるので，磁場の線積分は $- \partial B_{z} / \partial x d x h$ で，これが $μ_{0} ε_{0}$ と電束 $E_{y} h d x$ の増える速さの積に等しいことが2つ目の式です．1つ目の式を $x$ で微分し，偏微分の順序を入れ替えて2つ目の式を使うと

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial B_{z}}{\partial x} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}

で， $B_{z}$ も同じです．第25章で見たように，この方程式の解は $f (x - c t)$ と $g (x + c t)$ の和です．

$E_{y} = f (x - c t)$ （ $+ x$ 向きに進む波）なら，1つ目の式から $\partial B_{z} / \partial t = - f^{'} (x - c t)$ で， $B_{z} = f (x - c t) / c$ です（場のない所につながるので，時間によらない定数は0とする）． $E_{y} = g (x + c t)$ （ $- x$ 向き）なら同じく $B_{z} = - g (x + c t) / c$ です．どちらでも $E = c B$ で $E \times B$ が進む向きを向きますが， $- x$ 向きの波では，電場が同じ向きでも磁場の向きが逆になります．

定理数学の道具：回転の回転（発展）

どんなベクトル場 $F$ についても

\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F

が成り立つ．右辺の $\nabla^{2} F$ は， $F$ の各成分にラプラシアン $\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ を働かせたベクトルである．

$x$ 成分を書き出し， $\frac{\partial^{2} F_{x}}{\partial x^{2}}$ を足して引くと確かめられます．真空ではファラデーの法則 $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ の回転をとり，時間微分と回転の順序を入れ替えて $\nabla \times B = \frac{1}{c^{2}} \partial E / \partial t$ を使うと

\nabla \times (\nabla \times E) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times B) = - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}

で，左辺は公式と $\nabla \cdot E = 0$ から $- \nabla^{2} E$ なので，本体の節の波動方程式が出ます． $B$ も $\nabla \cdot B = 0$ を使って同じです．平面波 $E = E_{0} f (x - c t)$ では $\nabla \cdot E = E_{0 x} f^{'} = 0$ から $E_{0 x} = 0$ で，横波であることもガウスの法則から出ます．

定理数学の道具：正弦波の2乗の時間平均

周期 $T = 2 π / ω$ にわたる平均を $⟨ ⟩$ と書くと，どんな $ϕ$ についても

⟨ \sin^{2} (ω t + ϕ) ⟩ = ⟨ \cos^{2} (ω t + ϕ) ⟩ = \frac{1}{2}, ⟨ \sin (ω t + ϕ) \cos (ω t + ϕ) ⟩ = 0

である．複素振幅で $E = Re (\hat{E} e^{i ω t})$ ， $F = Re (\hat{F} e^{i ω t})$ と書くと

⟨ E F ⟩ = \frac{1}{2} Re (\hat{E} {\hat{F}}^{*})

である． ${\hat{F}}^{*}$ は $\hat{F}$ の共役複素数．

$\sin^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 θ)$ の $\cos 2 θ$ は平均が0だからです．複素数の式は， $E = \frac{1}{2} (\hat{E} e^{i ω t} + {\hat{E}}^{*} e^{- i ω t})$ と $F$ の同じ形を掛けると， $e^{\pm 2 i ω t}$ の項の平均が0で， $\frac{1}{4} (\hat{E} {\hat{F}}^{*} + {\hat{E}}^{*} \hat{F})$ が残ることから出ます．第23章の交流の平均電力 $\frac{1}{2} Re (\hat{V} {\hat{I}}^{*})$ と同じ形です．

練習　真空中の平面電磁波の電場が $E_{z} = E_{0} \cos (ω t - k y)$ ， $E_{x} = E_{y} = 0$ （ $ω = c k$ ）である．磁場を求め，ファラデーの法則の微分形を満たすことを確かめよ．

答え　位相が一定の点は $+ y$ 向きに速さ $c$ で進む． $e_{z} \times e_{x} = e_{y}$ なので，磁場は $E_{z}$ が正のとき $+ x$ 向きで， $B_{x} = E_{0} \cos (ω t - k y) / c$ ， $B_{y} = B_{z} = 0$ ．確かめ： ${(\nabla \times E)}_{x} = \partial E_{z} / \partial y = k E_{0} \sin (ω t - k y)$ ， $- \partial B_{x} / \partial t = ω E_{0} \sin (ω t - k y) / c = k E_{0} \sin (ω t - k y)$ で一致し，他の成分は両辺とも0．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

$y z$ 平面に置いた無限に広い板に，時刻 $t = 0$ から $+ y$ 向きの一様な電流を流し始め，その後は一定に保つ．電流を流す前は電場・磁場とも0とする．流れに垂直な幅 $1 m$ あたりの電流は $K = 1.0 A m^{- 1}$ である．真空中で， $μ_{0} = 1.26 \times 10^{- 6} H m^{- 1}$ ， $c = 3.00 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．

$t = 1.0 μ s$ で，場がある領域の範囲と，そこでの磁場と電場の大きさを求めよ．
板の電流が自分の作った電場に逆らって流れるために，電源が板の単位面積あたりにする仕事率を求めよ．これが，板の両側へ流れ出すエネルギーの流れに等しいことを確かめよ．

**［図：電流の板の両側へ運ばれる場］**
yz平面の板に+y向きの電流Kが流れる．電場Eは板の両側で−y向きで，磁場Bは左側で+z向き，右側で−z向きである．ポインティングベクトルSは左右へ外向きである．+zを紙面の手前にとり，丸の中の点と十字で磁場の向きを示す．

解答を見る

考え方 本体の節で求めたとおり，場の面は速さ $c$ で板の両側へ広がり，その内側では $B = μ_{0} K / 2$ ， $E = c B$ である．電場は電流と逆向きなので，電源は単位面積あたり $E K$ の仕事率で電流を押し続ける．

波面は $x = \pm c t = \pm 3.0 \times 10^{2} m$ にあり，場は $| x | < 3.0 \times 10^{2} m$ にある．

B = \frac{μ_{0} K}{2} = \frac{1.26 \times 10^{- 6} \times 1.0}{2} = 6.3 \times 10^{- 7} T, E = c B = 1.9 \times 10^{2} V m^{- 1}

板の面積 $A$ を流れる電流の電荷は，電場から $- E K A$ の仕事率を受ける（電場と逆向きに動くので負）．電源がする仕事率は単位面積あたり

E K = \frac{c μ_{0} K^{2}}{2} = \frac{3.00 \times 10^{8} \times 1.26 \times 10^{- 6} \times {1.0}^{2}}{2} \approx 1.9 \times 10^{2} W m^{- 2}

である．一方，片側のポインティングベクトルの大きさは $E B / μ_{0} = c μ_{0} K^{2} / 4$ で，両側の合計は $c μ_{0} K^{2} / 2$ となり，一致する．

確かめ：場のある領域は単位時間に両側を合わせて $2 c$ ずつ広がり，そこのエネルギー密度は $u = ε_{0} E^{2} = B^{2} / μ_{0}$ なので，増える場のエネルギーは単位面積あたり $2 c \cdot μ_{0} K^{2} / 4 = c μ_{0} K^{2} / 2$ で，これも一致する．なお， $c μ_{0} \approx 378 Ω$ は抵抗の次元をもち，真空のインピーダンスと呼ばれる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

金属の壁 $x = 0$ に， $x < 0$ の側から真空中の平面波 $E_{y} = E_{0} \cos (ω t - k x)$ が垂直に当たり，完全に反射される．壁の表面では電場の $y$ 成分が0である．

反射波の電場と，入射波・反射波それぞれの磁場を書き，合成した電場と磁場を求めよ．
電場の節と磁場の節の位置を答え，ポインティングベクトルの時間平均を求めよ．
電子レンジ（ $ν = 2.45 \times 10^{9} Hz$ ）の庫内に板チョコを置いて回転を止めて温めると，溶けた点の間隔が $6.1 cm$ だった．庫内の電場は1次元の定在波とみなし，溶けた点は隣り合う電場の腹に対応するとする．この測定から光の速さを求めよ．

**［図：金属壁の前の電場と磁場の定在波］**
右端の金属の壁x = 0の左側に，電場の定在波の包絡線を実線，磁場の定在波の包絡線を破線で描く．壁で電場は節，磁場は腹になる．隣り合う節の間隔はλ/2である．

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考え方 反射波は $- x$ 向きに進むので， $E_{y}$ と $B_{z}$ の関係は $B_{z} = - E_{y} / c$ になる．壁で電場の和が0になるように反射波を決める．

反射波は $E_{y}^{(r)} = - E_{0} \cos (ω t + k x)$ とすれば， $x = 0$ で入射波と打ち消し合う．磁場は，入射波が $B_{z}^{(i)} = E_{0} \cos (ω t - k x) / c$ ，反射波が $B_{z}^{(r)} = - E_{y}^{(r)} / c = E_{0} \cos (ω t + k x) / c$ である．和積の公式から

E_{y} = 2 E_{0} \sin ω t \sin k x, B_{z} = \frac{2 E_{0}}{c} \cos ω t \cos k x

電場の節は $\sin k x = 0$ ，すなわち $x = 0, - λ / 2, - λ, \dots$ で，壁は電場の節である．磁場の節は $\cos k x = 0$ ，すなわち $x = - λ / 4, - 3 λ / 4, \dots$ で，電場の腹と一致する．ポインティングベクトルは

S_{x} = \frac{E_{y} B_{z}}{μ_{0}} = \frac{4 E_{0}^{2}}{μ_{0} c} \sin ω t \cos ω t \sin k x \cos k x

で， $⟨ \sin ω t \cos ω t ⟩ = 0$ から時間平均は0である．エネルギーは電場の腹と磁場の腹の間を4分の1周期ごとに行き来するだけで，正味には流れない．

チョコを温めるのは電場なので，溶けるのは電場の腹で，その間隔は $λ / 2$ である． $λ = 2 \times 6.1 cm = 0.122 m$ から

c = λ ν = 0.122 \times 2.45 \times 10^{9} \approx 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}

確かめ：電場と磁場は時間でも $\sin ω t$ と $\cos ω t$ で4分の1周期ずれているので， $u_{E}$ と $u_{B}$ は交互に最大になる．定在波では，進む波のように各瞬間に $u_{E} = u_{B}$ とはならない．実際の庫内は3次元のモードが重なるので，間隔の測定には数 % の誤差がある．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

太陽の放射の全電力は $L = 3.8 \times 10^{26} W$ ， $G M = 1.33 \times 10^{20} m^{3} s^{- 2}$ （ $G$ は万有引力定数， $M$ は太陽の質量）とし， $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ とする．太陽は等方的に放射し，塵や地球の速さは $c$ より十分小さいとする．

太陽から距離 $r$ にある，半径 $s$ ，密度 $ρ_{m} = 3.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ の球形の塵が，当たる光をすべて吸収する．光の圧力による力と太陽の引力の比を求め，それが $r$ によらないことを示せ．
比が1になる塵の半径を求めよ．地球（半径 $6.4 \times 10^{6} m$ ，平均密度 $5.5 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）ではこの比はいくらか．
1. の塵の半径の値について，この計算の近似が成り立つかを論じよ．

**［図：太陽光を吸収する球形の塵］**
太陽から距離rの所にある半径sの球形の塵に，ほぼ平行な光が当たる．光の圧力による力は太陽から外向き，引力は太陽向きで，矢印は方向を示す．下段は光を受ける半径sの円板を拡大した模式図で，円板は光に垂直である．

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考え方 距離 $r$ での強さは，全電力を半径 $r$ の球面の面積で割った $I = L / (4 π r^{2})$ である．塵が光を受けるのは断面積 $π s^{2}$ の部分で，吸収した電力の $1 / c$ が力になる．

光の圧力による力と引力は

F_{light} = \frac{L}{4 π r^{2}} \cdot \frac{π s^{2}}{c} = \frac{L s^{2}}{4 c r^{2}}, F_{g} = \frac{G M}{r^{2}} \cdot \frac{4}{3} π s^{3} ρ_{m}

で，比は

\frac{F_{light}}{F_{g}} = \frac{3 L}{16 π c G M ρ_{m} s}

となる．どちらの力も $r^{- 2}$ に比例するので，比は $r$ によらない．

比が1になる半径は

s = \frac{3 L}{16 π c G M ρ_{m}} = \frac{3 \times 3.8 \times 10^{26}}{16 π \times 3.0 \times 10^{8} \times 1.33 \times 10^{20} \times 3.0 \times 10^{3}} \approx 1.9 \times 10^{- 7} m

である．地球では，同じ式の $s$ と $ρ_{m}$ を入れかえて

\frac{F_{light}}{F_{g}} = \frac{1.9 \times 10^{- 7} \times 3.0 \times 10^{3}}{6.4 \times 10^{6} \times 5.5 \times 10^{3}} \approx 1.6 \times 10^{- 14}

で，地球の運動には光の圧力はまったく効かない．

光を断面積だけで受け止めるという見方は，物体が波長よりずっと大きいときの近似である．太陽光の波長は $0.5 μ m$ 程度で， $s = 0.19 μ m$ はそれより小さい．この大きさでは，光は回り込み，塵が受け取る運動量は断面積からの見積もりとずれる（次の題材の散乱）．したがって，「およそ $0.1 μ m$ から $1 μ m$ ほどの塵で，光の圧力が引力と同程度になる」という程度の結論にとどめるべきである．塵の速さは $c$ よりずっと小さいので，ドップラー効果による補正は無視してよい．

確かめ：比は $1 / s$ に比例するので，小さい塵ほど光の圧力が効く．彗星から放たれた細かい塵が太陽と反対へ押し流されて尾を作ることと合っている．

ポイントここまでのまとめ

細長い長方形の道に2つの渦の法則を使うと $\partial E_{y} / \partial x = - \partial B_{z} / \partial t$ ， $\partial B_{z} / \partial x = - \frac{1}{c^{2}} \partial E_{y} / \partial t$ で，組み合わせると1次元の波動方程式． $\pm x$ 向きの波は $B_{z} = \pm E_{y} / c$ ．
（発展） $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F$ から3次元の波動方程式が出て， $\nabla \cdot E = 0$ から横波．
正弦波の2乗の時間平均は $1 / 2$ で，複素振幅では $⟨ E F ⟩ = \frac{1}{2} Re (\hat{E} {\hat{F}}^{*})$ ．
金属の壁で反射した定在波では，壁は電場の節・磁場の腹で，エネルギーの正味の流れは0．