仕事とエネルギー

エネルギー保存の使い方

著者：柚木芹香

問い

ジェットコースターには，多くの場合エンジンがありません．最初にゆっくり高い所まで引き上げられたあとは，坂を下る勢いだけで走ります．コースの途中には，垂直なループがあります．ループの頂上で落ちずに回り切るためには，出発点を最低どれだけの高さにしておく必要があるでしょうか．

考えてみる

エネルギー保存則から考えてみましょう．コースがなめらかなら，出発点の高さ $h$ の位置エネルギーが，ループの頂上（高さ $2 R$ ）での位置エネルギーと運動エネルギーになります．素朴には「頂上まで届けばよいので $h = 2 R$ 」と考えたくなります．この場合，頂上での速さは $0$ です．

しかし，頂上で速さが $0$ の物体は，その場で落ちてしまいます．頂上は円運動の一部なので，向心力が必要です．頂上でちょうど落ちないために必要な速さは，エネルギー保存だけでは決まりません．円運動の条件（運動方程式）と組み合わせる必要があります．

エネルギー保存で解く手順

エネルギー保存則を使う問題は，次の流れで解きます．「図・原理・式・検算」の枠組みに沿っています．

ポイント手順

図：始点と終点を決める．物体にはたらく力をすべて描き，高さの基準を決める．
原理：力を3種類に分ける．保存力（位置エネルギー $U$ で表す），仕事をしない力（動きに垂直な力．固定点からの糸の張力や固定された面の垂直抗力など），仕事をする非保存力（動摩擦力など）．
式：始点と終点で $E = K + U$ を書き，非保存力の仕事 $W^{'}$ を含めて立てる．
検算：単位，符号（ $W^{'} < 0$ なら $E$ が減る），極端な場合を確かめる．

非保存力がはたらくとき，式は次のようになります．仕事と運動エネルギーの定理 $Δ K = W_{保存} + W^{'}$ に， $W_{保存} = - Δ U$ を入れて導けます．

法則力学的エネルギーと非保存力の仕事

Δ E = Δ (K + U) = W^{'}

$W^{'}$ は，保存力以外の力がする仕事の合計．動摩擦のように $W^{'} < 0$ なら $E$ は減り，減った分は内部エネルギーなどに変わる（この章の「エネルギーの諸形態」の節と第16章で扱う）．

静止した面の上を物体が滑り，動摩擦力の大きさ $μ^{'} N$ が経路上で一定のとき，動摩擦力の仕事は，動いた道のり $s$ を用いて $W^{'} = - μ^{'} N s$ と書けます．道のりであって変位でないのは，動摩擦力が常に面に対する滑りと逆向きだからです．曲面などで $N$ が変わるときは， $W^{'} = - \int μ^{'} N d s$ と積分で求めます．

束縛と組み合わせる：ループの最小の高さ

問いに戻ります．ループの半径を $R$ ，質量 $m$ の台車（乗客を含む）は摩擦なしで高さ $h$ から静かに出発し，ループの最下点を基準の高さとします．

**［図：高さhからループへ入るコース］**
高さhからループへ入るコース．なめらかなコースが高さ $h$ の出発点から下り，最下点で半径 $R$ の円形のループに入る．出発点，ループの最下点，頂上の位置を示す．

ループの頂上では，重力 $m g$ と垂直抗力 $N$ （どちらも下向き，円の中心向き）が向心力になります．運動方程式は

m \frac{v^{2}}{R} = N + m g

です． $N$ は面が物体を押す力で，負にはなれません．面から離れる限界が $N = 0$ です．したがって落ちない条件は $N \geq 0$ ，つまり

v^{2} \geq g R

です．

**［図：ループ頂上での力］**
ループ頂上での力．ループの頂上にある台車にはたらく力を示している．重力 $m\vec{g}$ と垂直抗力 $\vec{N}$ が下向き（円の中心向き）で，速度 $\vec{v}$ が水平であることを示す．

次に，出発点から頂上までに力学的エネルギー保存則を用います．コースは固定されているので，垂直抗力は動きに垂直で仕事をしません．

m g h = m g (2 R) + \frac{1}{2} m v^{2}

これに $v^{2} \geq g R$ を入れます．

h = 2 R + \frac{v^{2}}{2 g} \geq 2 R + \frac{R}{2} = \frac{5}{2} R

最小の高さは $\frac{5}{2} R$ で，ループの頂上の高さ $2 R$ の $1.25$ 倍です．頂上でちょうど $N = 0$ （速さは $\sqrt{g R}$ ）の状態です．たとえば $R = 8.0 m$ なら $h \geq 20 m$ ，そのときの頂上の速さは約 $8.9 m s^{- 1}$ です．

検算します． $h$ は長さの次元です．半径が大きければ高い所から出発する必要があり，結果もそうなっています．質量 $m$ が式に残らないのも，重力と慣性が同じ $m$ に比例するからで，自然です．

エネルギー保存は，時間を知らなくても高さと速さを結べる点が強みです．反対に，始点と終点のエネルギーの式だけでは「何秒かかるか」は分かりません．時間を知るには，速度と時間を結ぶ追加の計算が要ります．たとえば1次元の保存力による運動で，向きが変わらない区間なら，エネルギー保存から得た $v (x)$ を使って $t_{2} - t_{1} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{v (x)}$ と求められます．一般には運動方程式に戻ります．

エネルギーと運動量の使い分け

運動量保存則とエネルギー保存則は，どちらも使えるときと，片方しか使えないときがあります．

	運動量保存	エネルギー保存
成り立つ条件	外力の合計が $0$ （または衝突の瞬間など外力が無視できる短い時間）	保存力だけ（または非保存力の仕事を足す）
向き	ベクトル（成分ごと）	数（スカラー）
向く場面	衝突，分裂，内力が複雑な系	高さと速さの関係，道筋が複雑なとき

衝突では運動量が保存しても，運動エネルギーは保存しません（非弾性衝突）．弾丸が木片に刺さって一緒に動く場合，刺さる瞬間は運動量保存で扱い，そのあと振り上がる運動はエネルギー保存で扱う，というように段階に分けて使います．

ポイントここまでのまとめ

手順は「図・原理・式・検算」．力を保存力，仕事をしない力，非保存力に分けて， $Δ E = W^{'}$ を立てる．
非保存力の仕事は，大きさ $μ^{'} N$ が一定の動摩擦力なら $- μ^{'} N s$ （ $s$ は道のり）．
ループなど面に束縛された運動では，エネルギー保存に運動方程式の条件（頂上で $N \geq 0$ ）を組み合わせる．
運動量保存は衝突などの短い時間，エネルギー保存は高さと速さの関係に向く．組み合わせて段階に分ける．
問いの答え：頂上で $v^{2} \geq g R$ が必要なので，出発点の高さは $h \geq \frac{5}{2} R$ ．頂上の高さ $2 R$ では足りない．