仕事とエネルギー

エネルギー保存の例題

著者：柚木芹香

エネルギー保存則は，使う場面と手順を整えておくと，式の立て方に迷いません．まず手順を整理し，3題で練習します．

ポイント手順の整理：エネルギー保存で解く

1. 始点と終点を選ぶ． 知りたい量がある位置と，値が分かっている位置を選ぶ．途中の経路の形は問わなくてよい．

2. 力を仕分ける．

保存力（重力・ばね）→ $U$ に入れる．
仕事をしない力（動きに垂直な力．固定点からの糸の張力や固定された面の垂直抗力など）→ 無視してよい．力の名前でなく $F \cdot d r = 0$ かどうかで判断する．
非保存力（動摩擦・空気抵抗・手が押す力）→ 仕事 $W^{'}$ を計算して足す．

3. 式を立てる． $K_{1} + U_{1} + W^{'} = K_{2} + U_{2}$ ． $W^{'}$ の符号に注意する（大きさが一定の動摩擦力は $- μ^{'} N s$ ， $s$ は道のり）．

4. 追加の条件を確かめる． 面から離れない（ $N \geq 0$ ），糸がたるまない（ $T \geq 0$ ），動き出す（外力が最大静止摩擦力より大きい）などは，運動方程式で調べる．

5. 検算する． 単位，符号，極端な場合．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R = 5.0 m$ の垂直なループを，なめらかなコースから質量 $m$ の台車が通る．台車は，ループの頂上でちょうど面から離れない最小の高さ $h$ から静かに出発する．ループの最下点を高さの基準とする．重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ とする．

**［図：高さhからループへ入るコース］**
高さhからループへ入るコース．高さ $h$ の出発点から下る滑らかなコースと，その先の半径 $R$ のループ．最下点と頂上の位置を示す．

出発点の高さ $h$ を求めよ．
ループの最下点での，台車が受ける垂直抗力の大きさは，重力の何倍か．

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考え方 頂上で落ちない限界は $N = 0$ ．出発点と頂上で，次に出発点と最下点でエネルギー保存を使う．

頂上で $N = 0$ のとき，運動方程式 $m \frac{v^{2}}{R} = m g$ より $v^{2} = g R$ ．出発点と頂上でエネルギー保存を立てると， $m g h = m g (2 R) + \frac{1}{2} m v^{2}$ ．よって $h = 2 R + \frac{R}{2} = \frac{5}{2} R = 12.5 m$ ．
最下点の速さの2乗は，出発点と最下点のエネルギー保存から $v_{b}^{2} = 2 g h = 5 g R$ ．最下点では垂直抗力が上向き，重力が下向きで，向心方向は上向きなので

m \frac{v_{b}^{2}}{R} = N - m g ⟹ N = m g + 5 m g = 6 m g

つまり重力の6倍である．乗客は最下点で体重の6倍の力で座席に押される．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

傾き $30^{\circ}$ の斜面を，高さ $h = 1.0 m$ の点から物体が静かに滑り降り，なめらかにつながった水平面に入る．斜面と水平面の動摩擦係数はどちらも $μ^{'} = 0.20$ である．物体は，水平面の上でどれだけ進んで止まるか．

**［図：粗い斜面から水平面へ］**
粗い斜面から水平面へ．高さ $h$ の斜面（傾き $30^\circ$）と，それに続く水平面．斜面上の物体の初めの位置を示す．止まる位置は描かない．

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考え方 始点（静止，高さ $h$ ）と終点（静止，高さ $0$ ）の運動エネルギーはどちらも $0$ ．摩擦が斜面と水平面でした仕事の合計が，位置エネルギーの減少に等しい．

物体が動くには $\tan 30^{\circ} \approx 0.58 > μ^{'}$ が必要で，満たしている．斜面を降りる道のりは $\frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2.0 m$ ．斜面での摩擦力は $μ^{'} m g \cos 30^{\circ}$ で，水平面で進む距離を $d$ とすると，水平面の摩擦力は $μ^{'} m g$ ． $Δ E = W^{'}$ から

0 - m g h = - μ^{'} m g \cos 30^{\circ} \cdot \frac{h}{\sin 30^{\circ}} - μ^{'} m g d

d = \frac{h}{μ^{'}} - \frac{h}{\tan 30^{\circ}} = 5.0 - 1.7 = 3.3 m

質量は消える．検算：斜面の水平方向の長さ $h / \tan 30^{\circ} \approx 1.7 m$ と合わせた，出発点からの水平距離の合計は $h / μ^{'} = 5.0 m$ で，斜面の傾きによらない．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

水平な机の上に質量 $M = 2.0 kg$ の物体があり，軽い糸が机の端のなめらかな滑車を通って，質量 $m = 1.0 kg$ のおもりにつながっている．机と物体の動摩擦係数は $0.25$ で，最大静止摩擦力は動摩擦力に等しいとする．静かに放し，おもりが $0.50 m$ 下がったときの速さを求めよ．

**［図：滑車でつながる2物体］**
滑車でつながる2物体．机の上の物体と，机の端の滑車，糸でつるされたおもりを示している．おもりの下がる距離 $0.50\,\mathrm{m}$ を記入する．

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考え方 二つの物体を一つの系と見る．糸の張力は，物体には正，おもりには負の仕事をして，合計は $0$ になる．系の運動エネルギーの変化は，重力と摩擦の仕事の合計に等しい．

動き出すことを確かめる．おもりの重力 $m g = 9.8 N$ が，最大静止摩擦力 $0.25 \times 2.0 \times 9.8 = 4.9 N$ より大きいので動く．距離 $s = 0.50 m$ について， $Δ K = W_{重力} + W_{摩擦}$ ：

\frac{1}{2} (M + m) v^{2} = m g s - μ^{'} M g s

v = \sqrt{\frac{2 (m - μ^{'} M) g s}{M + m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.50 \times 9.8 \times 0.50}{3.0}} \approx 1.3 m s^{- 1}

ここで $m - μ^{'} M = 1.0 - 0.50 = 0.50 kg$ ．

ポイントここまでのまとめ

手順：始点と終点を選ぶ，力を仕分ける， $K_{1} + U_{1} + W^{'} = K_{2} + U_{2}$ を立てる，追加条件を確かめる，検算する．
面から離れない条件は $N \geq 0$ ．ループの最小の高さは $\frac{5}{2} R$ ．
大きさが一定の動摩擦力の仕事は道のりに比例．斜面と水平面で同じ $μ^{'}$ なら，出発点から止まる位置までの水平距離（斜面部分の水平投影を含む）は $h / μ^{'}$ ．
糸でつながれた2物体では，張力の仕事が打ち消し合う．系全体でエネルギー保存を使える．