仕事とエネルギー

エネルギー保存の使い方の演習

著者：柚木芹香

始めと終わりの状態を図で決め，摩擦の仕事や接触条件を必要に応じて加えてみましょう．衝突を含む問題では，過程を分けて使う法則を選びます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

小物体を滑らかな固定コース上の高さ $h$ から静かに放す．コースは途中で上下するが，出発点以外の高さはすべて $h$ 未満で，物体はコースから離れないものとする．

高さ $h / 4$ での速さを求めよ．
同じ高さを下りと上りに通過するとき，速さと速度は同じか．
質量を2倍にした場合，この速さは変わるか．

**［図：谷を通る滑らかなコース］**
谷を通る滑らかなコース．高さhの出発点から谷を経て上る滑らかなコースと，高さh/4の水平な補助線を示している．

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考え方 仕事をするのは重力だけである．速度の向きはコースの形に依存するが，速さは高さとエネルギーから決まる．

高さ0を基準にすると，初めは $E = m g h$ ．高さ $h / 4$ では $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h / 4$ だから $v = \sqrt{3 g h / 2}$ である．途中に谷や山があっても，非保存力の仕事がなければ式は変わらない．
同じ高さなら $U$ が同じなので $K$ も同じで，速さは等しい．速度は向きを含む量であり，接線の向きや進行方向が異なれば等しくない．エネルギーの式だけから速度ベクトルの向きを決めることはできない．
質量を2倍にすると $U$ と同じ速さでの $K$ が共に2倍になるので，質量は保存式から消える．よって速さは変わらない．ただし空気抵抗のある運動にまでこの結論を広げてはいけない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の物体を，傾き $θ$ の長い斜面の下端から，上向きの初速 $v_{0}$ で滑らせる．静止摩擦係数を $μ$ ，動摩擦係数を $μ^{'}$ とし， $\tan θ > μ \geq μ^{'}$ を満たす．

上って止まるまでの斜面に沿った距離 $s$ を求めよ．
下端へ戻るときの速さを求めよ．
往復で失う力学的エネルギーを求めよ．

**［図：摩擦のある斜面を上る］**
摩擦のある斜面を上る．傾きθの斜面の下端に物体と上向きの初速度v₀を示す．静止摩擦係数μと動摩擦係数μ′を記す．

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考え方 上りも下りも摩擦は負の仕事をする．最高点で速さが0になった後，滑り出すかどうかは静止摩擦で判定する．

$N = m g \cos θ$ なので

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g s \sin θ + μ^{'} m g s \cos θ

より $s = v_{0}^{2} / [2 g (\sin θ + μ^{'} \cos θ)]$ である．

最高点では $m g \sin θ > μ m g \cos θ$ なので静止し続けることはできない．下りで $\frac{1}{2} m v^{2} = m g s \sin θ - μ^{'} m g s \cos θ$ ．(1) を代入すると

v = v_{0} \sqrt{\frac{\sin θ - μ^{'} \cos θ}{\sin θ + μ^{'} \cos θ}}

となる．仮定により根号の中は正である．

摩擦の仕事の大きさは $2 μ^{'} m g s \cos θ$ ．これは $\frac{1}{2} m (v_{0}^{2} - v^{2})$ に一致する． $μ^{'} = 0$ の極限では戻りの速さが $v_{0}$ になり，損失も0になる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

粗い水平面上を質量 $m$ の物体が速さ $v_{0}$ で進み，壁に固定された軽いばねの自由端に接触する．ばね定数を $k$ ，動摩擦係数を $μ^{'}$ とする．物体はばねにつながれていない．

最大圧縮量 $x$ を求めよ．
$m = 1.0 kg$ ， $k = 100 N m^{- 1}$ ， $v_{0} = 2.0 m s^{- 1}$ ， $μ^{'} = 0.20$ ， $g = 10 m s^{- 2}$ の値を求めよ．
最大圧縮で静止したままになるための，静止摩擦係数 $μ$ の条件を求めよ．

**［図：粗い床上でばねに近づく物体］**
粗い床上でばねに近づく物体．粗い水平面上の物体が，右側の壁に固定されたばねへ速さv₀で近づく配置を示している．

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考え方 圧縮中にも摩擦の仕事を数える．エネルギー式の正の根が圧縮量であり，その後の再始動は力の条件で別に調べる．

接触した瞬間を始点とすると $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + μ^{'} m g x$ ．正の根は

x = \frac{\sqrt{(μ^{'} m g)^{2} + k m v_{0}^{2}} - μ^{'} m g}{k}

である．もう一つの根は負で，この圧縮過程の距離として採用できない．

$x = (\sqrt{404} - 2) / 100 \approx 0.18 m$ ．摩擦なしの $v_{0} \sqrt{m / k} = 0.20 m$ より小さく，損失の符号とも合う．
止まったときのばねの力 $k x$ を静止摩擦が支えられる条件は $k x \leq μ m g$ ．したがって $μ \geq k x / (m g)$ であり，数値では約 $1.8$ 以上である．等号なら限界の静止が可能である． $μ^{'}$ の値だけから，再び動くと断言することはできない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ の滑らかな鉛直円形レールの内側を，質量 $m$ の小物体が走る．最下点の速さは $v_{0} = \sqrt{6 g R}$ である．最下点から測る角を $θ$ とし，頂点を $θ = π$ とする．

接触中の速さと垂直抗力を $θ$ で表せ．
一周を通じて接触が保たれるか確かめ，垂直抗力の最大値と最小値を求めよ．

**［図：ループの一般位置］**
ループの一般位置．鉛直ループの最下点と一般位置を示し，下向き半径から測る角θ，半径R，最下点の速度v₀を示す．

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考え方 高さを角度で表してエネルギーを使い，求めた速さを中心向きの運動方程式へ入れる．垂直抗力そのものは保存則から直接求まらない．

高さは $R (1 - \cos θ)$ ．よって

v^{2} = 6 g R - 2 g R (1 - \cos θ) = g R (4 + 2 \cos θ)

である．中心向きの重力成分は $- m g \cos θ$ なので $N - m g \cos θ = m v^{2} / R$ ．したがって $N = m g (4 + 3 \cos θ)$ ．最下点で重力が中心と逆向きになることを，符号の検算に使える．

$- 1 \leq \cos θ \leq 1$ より，速さの2乗は常に正で， $m g \leq N \leq 7 m g$ ．頂点で最小値 $m g$ ，最下点で最大値 $7 m g$ となり，一周の全ての位置で $N > 0$ を満たす．頂点だけでなく一般の角度で式を作ったため，途中でも離れないことが確認できた．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

滑らかな水平面上の質量 $M$ の台車が，軽いばねで壁につながれ，ばねは自然長で静止している．質量 $m$ の粘土が水平に速さ $u$ で衝突し，台車に付着する．衝突時間は十分短く，その間のばねの力積を無視できる．ばね定数は $k$ である．

衝突直後の速さを求めよ．
その後の最大圧縮量を求めよ．
衝突で失われた運動エネルギーを求めよ．

**［図：台車への粘土の付着］**
台車への粘土の付着．右の壁につながる自然長のばねと台車M，左から速度uで来る粘土mを示している．

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考え方 付着の瞬間と，その後の圧縮を分ける．衝突中は運動量，圧縮中は力学的エネルギーを使う．

水平方向の外力の力積を無視できるので $m u = (M + m) V$ ．したがって $V = m u / (M + m)$ である．衝突の前後に運動エネルギー保存を使ってはいけない．
衝突直後にはばねの変形は無視できる．その後はばねだけが仕事をするので $\frac{1}{2} (M + m) V^{2} = \frac{1}{2} k x^{2}$ ．よって $x = m u / \sqrt{k (M + m)}$ である．停止時に粘土と台車の相対運動はなく，両方の運動エネルギーが0になる．
初めの $m u^{2} / 2$ から直後の $m^{2} u^{2} / [2 (M + m)]$ を引いて

Q = \frac{m M}{2 (M + m)} u^{2}

となる．これは変形や内部エネルギーなどに移った分であり，後のばねの圧縮で回収される量には含めない．初めの運動エネルギーは，この損失と最大圧縮時の弾性エネルギーの和に等しい．

ポイント教える人へ

高さと道のりを区別して記号を置かせることが出発点である．
速さが0になることと，その後も静止することを区別させる．
垂直抗力の符号を最下点と頂点で検算させると，向心方向の誤りを見つけやすい．
衝突前のエネルギーをそのままばねに渡していないか，段階ごとの式を確認する．