仕事とエネルギー

ポテンシャル図

著者：柚木芹香

問い

水素原子を2つ，遠くから少しずつ近づけていくと，ある距離で結びついて水素分子になります．近づけすぎても，離しすぎても，分子はそこに落ち着きません．2つの原子は，なぜ「ちょうどよい距離」で結びつくのでしょうか．力の向きがどう変わるのかを想像しながら考えてみましょう．

考えてみる

遠く離れた2つの原子は，ほとんど力を及ぼし合いません．近づくと，原子全体としては引き合う力（引力）が働きます．水素分子では，2つの原子が電子を共有することで，2つの原子核を結びつける引力が生まれます．ところがさらに近づくと，電子の雲が重なって押し合い，原子核どうしの反発も効いて，強い斥力に変わります．引力が優勢な距離と斥力が優勢な距離があるなら，両者がつり合う距離がどこかにあるはずです．

力の向きを距離の関数としてグラフに描けば，この様子は表せます．ただし，力のグラフだけでは「その距離で止まるのか」「勢いよくぶつかったら離れていくのか」という運動の全体像が見えにくいのです．そこで，力の代わりにポテンシャルエネルギーのグラフを描きます．前の節までで学んだとおり，1次元の保存力では力とポテンシャルエネルギーが $F = - \frac{d U}{d x}$ で結ばれているので， $U (x)$ のグラフ1枚に力の情報はすべて入っています．力学的エネルギー保存則も併せて使えば，運動の範囲まで一目でわかります．

ポテンシャル図の読み方

物体が1次元の保存力だけを受けて動くとき，力学的エネルギー保存則は

E = K + U (x) = \frac{1}{2} m v^{2} + U (x) = 一定

です．横軸に $x$ ，縦軸にエネルギーをとって $U (x)$ を描いたものをポテンシャル図といいます．ここに全エネルギー $E$ の水平線を引くと，次のことが読み取れます．

ポイントポテンシャル図の読み方

運動エネルギー： $E$ の線と $U (x)$ の曲線の間の縦の幅が，その位置での運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} = E - U (x)$ である．幅が広いほど速い．
許される領域：運動エネルギーは負になれないので $U (x) \leq E$ の範囲しか動けない．
転回点： $U (x) = E$ となる位置で速さが $0$ になる． $U^{'} (x) \neq 0$ の通常の転回点では，そこで向きを変える． $U = E$ の位置がつり合い点（ $U^{'} = 0$ ）でもあるときは別で，物体はそこに静止し続けるか，近づくのに無限の時間がかかる．
力：曲線の傾きの符号を逆にしたものが力の向きで， $F = - \frac{d U}{d x}$ である．曲線が右上がりなら力は左向き，右下がりなら右向きに働く．

**［図：ポテンシャルと運動の範囲］**
ポテンシャルと運動の範囲．横軸 $x$，縦軸エネルギーのポテンシャル図．なだらかな谷をもつ $U(x)$ の曲線と水平な破線 $E$ を示している．$E$ と曲線が交わる2点に「転回点」と書き，その間を「許される領域」として太線で示す．谷の底では $E-U$ の幅が最大で，運動エネルギーが最大であることを矢印で示す．

読み方は，滑らかな坂を転がる球にたとえると直感的です．ただし，横軸は物体が動く方向の位置であって，現実に坂道があるわけではありません．それでも「谷底が一番速く，坂を上るほど遅くなり， $E$ の高さで止まって引き返す」という読み取りは，そのまま正しいものです．

つり合いと安定性

力が0の位置は， $F = - \frac{d U}{d x} = 0$ より，曲線の傾きが0の点です．そこにそっと置けば物体は動きませんが，少しずれたときに戻るかどうかは，その点の形で決まります．

**［図：つり合いの安定性］**
つり合いの安定性．山と谷が1つずつある $U(x)$ の曲線．谷の底を「安定」，山の頂を「不安定」，平らな部分を「中立」と書く．少しずれた位置に小さな矢印を示し，力の向きを示す（谷では戻る向き，山では遠ざかる向き，平らな部分では力が0）．

谷の底（極小）：少し右にずれると $U$ の傾きは正なので力は左向き，左にずれれば力は右向きで，元の位置へ戻される．これが安定なつり合いである．
山の頂（極大）：少しずれると傾きの符号が反転し，力はずれを大きくする向きに働く．これが不安定なつり合いである．
平らな部分：ずれても力が0のままで，その位置にとどまる．これが中立のつり合いである．

傾きが0かどうかを判定したあと，谷か山かは曲線の曲がり方，つまり $U$ の2階微分で見分けられます．

定理安定性の判定

$\frac{d U}{d x} = 0$ となる点 $x_{0}$ で

$\frac{d^{2} U}{d x^{2}} > 0$ ：極小，安定
$\frac{d^{2} U}{d x^{2}} < 0$ ：極大，不安定
$\frac{d^{2} U}{d x^{2}} = 0$ ：これだけでは決まらない（グラフの形を調べる）

安定点の近くは放物線

安定な点 $x_{0}$ で $U^{″} (x_{0}) > 0$ のとき，その近くでは谷はほぼ同じ形をしています． $U$ を $x_{0}$ の周りで2次の項まで展開すると（展開の方法は次の節で学びます）， $x_{0}$ では傾きが0なので

U (x) \approx U (x_{0}) + \frac{1}{2} U^{″} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}

となり，放物線になります．これに対応する力は

F = - \frac{d U}{d x} \approx - U^{″} (x_{0}) (x - x_{0})

です． $k = U^{″} (x_{0})$ とおくと $F = - k (x - x_{0})$ で，ばねの復元力と同じ形です．

つまり， $U^{″} (x_{0}) > 0$ の滑らかな谷なら，その底を中心にした小さな振動は，ばねの振動と同じになります．これが単振動で，詳しくは第7章で学びます． $U^{″} (x_{0}) = 0$ の谷（たとえば $U = a x^{4}$ ）では復元力が $- 4 a x^{3}$ となり，単振動になりません．原子の振動にも，振り子が小さく揺れることにも，同じ理由が共通しています．谷が急なほど $U^{″}$ は大きく，復元力が強いので，振動は速くなります．

原子間のポテンシャル

最初の問いに戻りましょう．水素分子の結合の詳しい仕組みは量子力学で扱いますが，原子の間のポテンシャルエネルギーは，ふつう近距離で斥力，遠距離で引力という共通の形をもちます．ここでは，その形を表す模型として，2つの原子の距離 $r$ に対する $U (r)$ を描きます．

近距離：電子雲の重なりによる強い斥力で， $U$ が急に大きくなる．曲線は立ち上がり，原子が簡単には近づけないことを表す．
遠距離：弱い引力が長く続き， $U$ は負の値からゆっくり0に近づく．
中間： $U$ が最小になる距離 $r_{0}$ では $\frac{d U}{d r} = 0$ で，力が0になる．ここが「ちょうどよい距離」であり，安定なつり合いの点である．

式で表すときは，引力に対応するポテンシャルエネルギーの項を $- A / r^{6}$ ，斥力に対応する項を $B / r^{12}$ （ $A, B$ は正の定数）として足し合わせる形がよく使われます．力は $F = - \frac{d U}{d r}$ で求めるので，大きさは引力が $r^{- 7}$ ，斥力が $r^{- 13}$ に比例します．平衡の距離や谷の深さを式から求めるのは，次の節の例題で行います．

定義結合エネルギー

2つの原子が距離 $r_{0}$ の平衡点にあるとき， $U$ の最小値は $- ε$ である．これを無限に引き離す（ $U = 0$ ）のに必要なエネルギー $ε$ を結合エネルギーという．

全エネルギーの値で，運動の種類が分かれます．

$E < 0$ （束縛）：運動は $U (r) \leq E$ の2つの転回点の間に閉じ込められ，原子は $r_{0}$ のまわりを往復する．これが分子である．
$E > 0$ （自由）：遠くからきた原子は，近距離側の転回点で跳ね返され，そのまま遠ざかる．結びつかずに衝突して離れる．

ここで注意が要ります．遠くから近づく2つの原子は $E \geq 0$ なので，保存力だけでは $E < 0$ の束縛状態にはなりません．分子ができるには，余ったエネルギーを外へ渡す過程（第三の物体との衝突や光の放出など）が必要です．渡さなければ，原子は谷を通り抜けて再び離れていきます．また，エネルギーを渡したあとも，原子は谷底に静止せず，その周りを往復します．

分子の中の原子は，静止しているのではなく，谷の底のまわりで往復しています．その往復は温度が高いほど大きくなり，これが熱運動の正体です．この章の最後の題材で，その意味を考えます．

ポイントここまでのまとめ

$U (x)$ のグラフに全エネルギー $E$ の線を引くと，運動エネルギーは $E - U$ ，許される領域は $U \leq E$ ，転回点は $U = E$ （つり合い点と重なる場合は別扱い）として読み取れる．力は曲線の傾きの符号を逆にしたもの（ $F = - \frac{d U}{d x}$ ）である．
つり合いは $\frac{d U}{d x} = 0$ の点． $\frac{d^{2} U}{d x^{2}} > 0$ なら安定（谷）， $< 0$ なら不安定（山）である．
安定点で $U^{″} (x_{0}) > 0$ なら，近くは放物線で近似でき，ばねと同じ復元力になる．これが小さな振動が単振動になる理由である（第7章）．
問いの答えは，原子間の $U (r)$ が近距離の斥力と遠距離の引力のために中間に谷をもち，その谷の底 $r_{0}$ が安定なつり合いの距離になる，である． $E < 0$ なら谷に閉じ込められて結合した状態になり（遠くから近づく原子がそうなるには，余ったエネルギーを外へ渡す過程が要る）， $E > 0$ なら結びつかず離れていく．