仕事とエネルギー

ポテンシャル図と2次の近似

著者：柚木芹香

前の節では結果だけを述べた「安定点の近くの放物線」の根拠として，2次の近似を導き，例題を解きます．

数学の道具

定理数学の道具：2次の近似（テイラー展開の入口）

関数 $f (x)$ が $x = a$ の近くで滑らかなとき， $h = x - a$ が小さければ

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h + \frac{1}{2} f^{″} (a) h^{2}

がなりたつ．

導出． $f (a + h) = c_{0} + c_{1} h + c_{2} h^{2} + \dots$ と表せるとする． $h = 0$ を代入して $c_{0} = f (a)$ ，1回微分して $h = 0$ とおき $c_{1} = f^{'} (a)$ ，2回微分して $h = 0$ とおき $2 c_{2} = f^{″} (a)$ を得る． $h$ が小さければ，3次以上の項は無視できる．

この考え方を高次の項まで続けたものをテイラー展開という． $| h |$ が十分小さいとき，よく使う2次までの近似は

関数	近似
$e^{h}$	$1 + h + \frac{h^{2}}{2}$
$\cos h$	$1 - \frac{h^{2}}{2}$
$\sin h$	$h$
$(1 + h)^{n}$	$1 + n h + \frac{n (n - 1)}{2} h^{2}$

である．

練習 1． $\sqrt{1 + x}$ を2次まで近似し，それを使って $\sqrt{1.1}$ の近似値を求めよ．

答え： $1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8}$ ． $x = 0.1$ を入れて $1.04875$ （真の値は $1.04881 \dots$ ）

練習 2． $U (x) = U_{0} (1 - \cos \frac{x}{L})$ （ $U_{0}, L$ は正の定数）を $x = 0$ の近くで2次まで近似し，復元力の係数 $k$ （ $F \approx - k x$ ）を求めよ．

答え： $\cos \frac{x}{L} \approx 1 - \frac{x^{2}}{2 L^{2}}$ より $U \approx \frac{U_{0}}{2 L^{2}} x^{2}$ ．よって $k = \frac{U_{0}}{L^{2}}$ （ $U^{″} (0)$ と一致する）

練習 3． $\frac{1}{1 + x}$ を2次まで近似し， $\frac{1}{1.1}$ の近似値を求めよ．

答え： $f^{'} = - \frac{1}{(1 + x)^{2}}$ ， $f^{″} = \frac{2}{(1 + x)^{3}}$ より $1 - x + x^{2}$ ． $x = 0.1$ で $0.91$ （真の値は $0.9090 \dots$ ）

練習 4． $U (x) = \frac{A}{x^{2}} - \frac{B}{x}$ （ $x > 0$ ， $A, B$ は正の定数）の極小の位置 $x_{0}$ と，その近くの復元力の係数 $k = U^{″} (x_{0})$ を求めよ．

答え： $U^{'} = - \frac{2 A}{x^{3}} + \frac{B}{x^{2}} = 0$ より $x_{0} = \frac{2 A}{B}$ ． $U^{″} = \frac{6 A}{x^{4}} - \frac{2 B}{x^{3}}$ に入れて $k = \frac{3 B^{4}}{8 A^{3}} - \frac{2 B^{4}}{8 A^{3}} = \frac{B^{4}}{8 A^{3}}$ （正なので安定）

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が，ポテンシャルエネルギー $U (x) = a x^{4} - b x^{2}$ （ $a, b$ は正の定数）の力を受けて $x$ 軸上を動く．

つり合いの位置を求め，それぞれ安定か不安定かを答えよ．
原点を速さ $v_{0}$ で通過する粒子の動く範囲を求めよ．
右側の谷の底付近での小さな運動について，復元力を $F \approx - k (x - x_{1})$ と書くとき， $k$ を求めよ．ただし $x_{1}$ は谷の底の位置とする．

**［図：四次ポテンシャルとエネルギー線］**
四次ポテンシャルU=ax⁴−bx²とエネルギー線を示す．谷底と転回点には未知の位置を表す記号だけを付ける．

解答を見る

考え方 (1) は $U^{'} = 0$ を解き， $U^{″}$ の符号を見る．(2) は $E$ を原点での運動エネルギーから決め， $U = E$ を解く．(3) は $k = U^{″} (x_{1})$ である．

$\frac{d U}{d x} = 4 a x^{3} - 2 b x = 2 x (2 a x^{2} - b)$ である．これが0になるのは

x = 0, x = \pm x_{1}, x_{1} = \sqrt{\frac{b}{2 a}}

の3点． $\frac{d^{2} U}{d x^{2}} = 12 a x^{2} - 2 b$ なので

$x = 0$ ： $U^{″} = - 2 b < 0$ より不安定（山の頂）．
$x = \pm x_{1}$ ： $U^{″} = 12 a \cdot \frac{b}{2 a} - 2 b = 4 b > 0$ より安定（谷の底）．そこでの $U$ の値は $- \frac{b^{2}}{4 a}$ である．

原点で $U (0) = 0$ なので，全エネルギーは $E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} > 0$ である．転回点は $a x^{4} - b x^{2} = E$ の解で， $x^{2}$ について2次方程式を解くと（正の解を採って）

x_{t}^{2} = \frac{b + \sqrt{b^{2} + 4 a E}}{2 a} = \frac{b + \sqrt{b^{2} + 2 a m v_{0}^{2}}}{2 a}

である． $E > 0$ なので山の頂を越えられ，粒子は $- x_{t} \leq x \leq x_{t}$ を往復する．

$k = U^{″} (x_{1}) = 4 b$ である．

なお， $- \frac{b^{2}}{4 a} < E < 0$ なら $U \leq E$ の領域は左右の谷に分かれ，粒子は片方の谷に閉じ込められる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

2つの原子の間のポテンシャルエネルギーが，距離 $r$ の関数として

U (r) = - \frac{A}{r^{6}} + \frac{B}{r^{12}} (A, B は正の定数)

で表されるとする．

平衡の距離 $r_{0}$ と結合エネルギー $ε$ を， $A, B$ で表せ．
平衡点付近の復元力の係数 $k = U^{″} (r_{0})$ を， $ε$ と $r_{0}$ で表せ．
アルゴン原子の間では $ε = 1.7 \times 10^{- 21} J$ ， $r_{0} = 0.38 nm$ 程度である． $k$ の値を求めよ．

**［図：原子間ポテンシャルの谷底］**
原子間ポテンシャルの谷底．$U(r)=-A/r^6+B/r^{12}$ のグラフ．$r=r_0$ で最小値 $-\varepsilon$ をとる．平衡点付近の放物線による近似を破線で重ねて描く．

解答を見る

考え方 (1) は $\frac{d U}{d r} = 0$ を解く．(2) は2階微分に (1) の関係を代入し， $A, B$ を $ε, r_{0}$ に置き換える．

$\frac{d U}{d r} = \frac{6 A}{r^{7}} - \frac{12 B}{r^{13}} = 0$ より $r_{0}^{6} = \frac{2 B}{A}$ ，すなわち $r_{0} = {(\frac{2 B}{A})}^{1 / 6}$ である．このとき

U (r_{0}) = - \frac{A}{r_{0}^{6}} + \frac{B}{r_{0}^{12}} = - \frac{A^{2}}{2 B} + \frac{A^{2}}{4 B} = - \frac{A^{2}}{4 B}

なので，結合エネルギーは $ε = \frac{A^{2}}{4 B}$ である．

$\frac{d^{2} U}{d r^{2}} = - \frac{42 A}{r^{8}} + \frac{156 B}{r^{14}}$ である．(1) より $B = \frac{A r_{0}^{6}}{2}$ なので

U^{″} (r_{0}) = - \frac{42 A}{r_{0}^{8}} + \frac{78 A}{r_{0}^{8}} = \frac{36 A}{r_{0}^{8}}

また $ε = \frac{A}{2 r_{0}^{6}}$ より $A = 2 ε r_{0}^{6}$ であるから

k = \frac{36 \cdot 2 ε r_{0}^{6}}{r_{0}^{8}} = \frac{72 ε}{r_{0}^{2}}

である． $k > 0$ で，安定な点である．

$k = \frac{72 \times 1.7 \times 10^{- 21}}{(0.38 \times 10^{- 9})^{2}} \approx 0.85 N m^{- 1}$ である．この値を使う単振動の周期は，第7章で求める．

ポイントここまでのまとめ

関数は小さな $h = x - a$ について $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h + \frac{1}{2} f^{″} (a) h^{2}$ と近似できる．安定点（ $U^{″} (x_{0}) > 0$ ）では $U^{'} = 0$ なので $U \approx U (x_{0}) + \frac{1}{2} U^{″} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ ，復元力の係数は $k = U^{″} (x_{0})$ である．
ポテンシャル図は，つり合い（ $U^{'} = 0$ ），安定性（ $U^{″}$ の符号），転回点（ $U = E$ ）の順に読む．
原子間ポテンシャル $- A / r^{6} + B / r^{12}$ では，平衡の距離は $r_{0}^{6} = 2 B / A$ ，結合エネルギーは $A^{2} / (4 B)$ ，復元力の係数は $72 ε / r_{0}^{2}$ となる．