仕事とエネルギー

ポテンシャル図の演習

著者：柚木芹香

グラフの傾き，谷の深さ，エネルギー線との交点を順に読んでみましょう．図に現れる領域のうち，粒子が実際に行き来できる範囲を説明してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

粒子のポテンシャルが $U (x) = \frac{1}{2} k (x - a)^{2}$ である． $k = 2.0 N m^{- 1}$ ， $a = 1.0 m$ ，粒子の質量は $m = 1.0 kg$ ，全エネルギーは $E = 4.0 J$ とする．

解答を見る

考え方 $K = E - U$ が負にならない範囲を探す．力はエネルギー線との縦の差ではなく，曲線の傾きから読む．

$\frac{1}{2} k (x - a)^{2} \leq E$ より $| x - a | \leq \sqrt{2 E / k} = 2.0 m$ ．したがって $- 1.0 m \leq x \leq 3.0 m$ である．両端では $K = 0$ となり，力は領域の内側を向くので転回する．
$U$ が最小の $x = a$ で運動エネルギーは最大の $4.0 J$ ． $v_{max} = \sqrt{2 E / m} = \sqrt{8} \approx 2.8 m s^{- 1}$ である．つり合い位置を通過する粒子が静止しているとは限らない．
$F = - k (x - a)$ なので $x = 0$ では $F = + 2.0 N$ ，右向きである．粒子が左へ進んでいる場合は減速し，右へ進んでいる場合は加速する．力の向きだけで進行方向までは決まらない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

$x = 0$ 付近で定義された3つのポテンシャル $U_{1} = a x^{4}$ ， $U_{2} = - a x^{4}$ ， $U_{3} = b x^{3}$ を考える． $a, b > 0$ である．

解答を見る

考え方 2階微分が0のときは，それだけでは判定できない．元の関数の形や復元力の向きを調べる．

$F_{1} = - 4 a x^{3}$ ， $F_{2} = 4 a x^{3}$ ， $F_{3} = - 3 b x^{2}$ で，いずれも原点では0である．
$U_{1}$ では右へずれると左向き，左へずれると右向きの力が働くので安定である． $U_{2}$ では左右ともずれを広げる力が働き，不安定である． $U_{3}$ では原点以外で常に左向きの力が働く．左へわずかにずらして静かに置くと原点から遠ざかるので，不安定である．右側で原点へ向かうことだけを見て安定と呼んではいけない．
どの場合も $U^{″} (0) = 0$ であるのに，安定性は同じではない．中立とは近くへずらして静止させても力が0でそのままとどまれる場合であり，近くでポテンシャルが平らである必要がある．原点で接線が水平というだけでは足りない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

ある滑らかなポテンシャルには，左の谷底A，中央の山頂B，右の谷底Cがあり，その値は順に $- 4 J$ ， $2 J$ ， $- 1 J$ である．左右の遠方では $U$ は増大し，ほかにつり合い点はない．

解答を見る

考え方 水平なエネルギー線と曲線の交点を数え， $U \leq E$ の領域がつながっているかを見る．存在する全ての領域を，一つの粒子が移動できるとは限らない．

中央の山頂では $U = 2 J > E$ なので通過できない．左右の谷にはそれぞれ2個ずつ，合計4個の転回点がある．左にいる粒子が往復するのは左側の2点の間だけである．
山頂でも $K = 3 - 2 = 1 J > 0$ なので，左右の谷を行き来できる．転回点は両外側の2個となる．中央の山頂はつり合い点だが，このエネルギーでは停止点ではない．
Aでは $K_{A} = 7 J$ ，Cでは $K_{C} = 4 J$ ．したがって $v_{A} = \sqrt{7} \approx 2.6 m s^{- 1}$ ， $v_{C} = 2.0 m s^{- 1}$ で，深い谷のAの方が速い．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

粒子が $x > 0$ の範囲で $U (x) = A / x^{2} - B / x$ のポテンシャルを受ける． $A, B > 0$ で，無限遠で $U = 0$ とする．

解答を見る

考え方 まず微分で谷底を求める．転回点の方程式には $x^{2}$ を掛けて，2次方程式へ直す．

$U^{'} = - 2 A / x^{3} + B / x^{2} = 0$ より $x_{0} = 2 A / B$ ．代入して $U_{min} = - B^{2} / (4 A)$ ．また $U^{″} (x_{0}) = 2 A / x_{0}^{4} > 0$ で安定である．
$A - B x = E x^{2}$ に指定の値を代入すると $B^{2} x^{2} - 8 A B x + 8 A^{2} = 0$ ．よって

x_{-} = (4 - 2 \sqrt{2}) \frac{A}{B}, x_{+} = (4 + 2 \sqrt{2}) \frac{A}{B}

となる．両者は正で， $x_{-} < x_{0} < x_{+}$ ．粒子はこの間に束縛される．転回点では力が0ではないため，停止した後は内側へ引き返す．

無限遠で速さも0になる極限が必要仕事の下限である． $W_{min} = 0 - U_{min} = B^{2} / (4 A)$ ．無限遠に有限の速さを残すなら，その運動エネルギーの分だけ余分な仕事が必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

ポテンシャル $U (x) = U_{0} [1 - \cos (x / L)]$ の中で，質量 $m$ の粒子を $x = 0$ から右へ速さ $v_{0}$ で送り出す． $U_{0}, L > 0$ である．

解答を見る

考え方 近似を使う場面と，元の関数を使う場面を区別する．山頂までの大きな移動を，原点近くの放物線で計算してはいけない．

力は $F = - (U_{0} / L) \sin (x / L)$ ．原点近くでは $\sin (x / L) \approx x / L$ なので $F \approx - (U_{0} / L^{2}) x$ であり，復元力の係数は $k = U_{0} / L^{2}$ ．
$U = U_{0}$ は $\cos (x / L) = 0$ を与え，最初の左右の転回点は $x = \pm π L / 2$ ．したがってこの区間を往復する． $U$ が最小の原点で速さが最大となり， $v_{max} = \sqrt{2 U_{0} / m} = v_{0}$ ．別の谷にも許される領域はあるが，山を越えてそこへ移ることはできない．
山頂の高さは $2 U_{0}$ なので，通過には $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} > 2 U_{0}$ ，すなわち $v_{0} > 2 \sqrt{U_{0} / m}$ が必要である．等号では山頂で運動エネルギーが0になり，非零の速さで通過する条件を満たさない．

ポイント教える人へ