仕事とエネルギー

重心運動と相対運動のエネルギー

著者：柚木芹香

この節では，第5章の重心 $r_{G}$ を $R$ ，その速度を $V$ と書きます．

問い

質量が同じ2台の車が，どちらも速さ $v$ で正面衝突し，ぐしゃりと潰れて一体になりました．別の場面では，止まっている同じ車に，同じ質量の車が速さ $2 v$ でぶつかり，やはり一体になりました．どちらの場面でも，近づく速さ（相対速度）は $2 v$ で同じです．潰れたり熱になったりして失われるエネルギーは，同じでしょうか．それとも，速い車がぶつかる後者のほうが大きいでしょうか．

考えてみる

質量を $m$ ，衝突の向きを正とします．運動量保存則から，一体になった車の速度は，前者では $\frac{m v - m v}{2 m} = 0$ ，後者では $\frac{m \cdot 2 v}{2 m} = v$ です．前者は止まり，後者は $v$ で進み続けます．

運動エネルギーで数えると，前者は衝突前に $2 \times \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2}$ ，衝突後に0です．後者は衝突前が $\frac{1}{2} m (2 v)^{2} = 2 m v^{2}$ ，衝突後が $\frac{1}{2} (2 m) v^{2} = m v^{2}$ です．引き算すると，どちらも $m v^{2}$ が失われています．偶然でしょうか．

速度は見る座標系で変わり，運動エネルギーも座標系で変わります．後者は，前者を速さ $v$ で動く人から見た場面にほかなりません．それでも失われた量が同じなのは，座標系によらない何かが衝突を決めているからです．それが何かを，第5章の分解から探します．

重心の運動エネルギーと相対運動のエネルギー

第5章で見たように，外力が無い2体の運動は，重心の運動 $M \ddot{R} = F_{外}$ と，相対位置 $r = r_{1} - r_{2}$ の運動 $μ \ddot{r} = F$ に分かれました．全質量 $M = m_{1} + m_{2}$ ，換算質量 $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ です．位置を重心とのずれで書くと，速度も $v_{1} = V + \frac{m_{2}}{M} v_{rel}$ ， $v_{2} = V - \frac{m_{1}}{M} v_{rel}$ に分かれます． $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ は相対速度です．これを運動エネルギーに入れると，運動エネルギーも分かれます．

法則運動エネルギーの分解（2体）

K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}

第1項は重心の運動エネルギー，第2項は相対運動のエネルギーである．

**［図：速度を重心運動と相対運動に分ける］**
同じ重心速度Vに，重心系で反対向きの速度を足す．例としてm₁=2m₂を描く．

第1項は $V$ だけ，第2項は $v_{rel}$ だけで決まります．外力が無ければ，第5章のとおり $V$ は変わりません．衝突や分裂で出入りできる運動エネルギーは，相対運動のエネルギーだけです．

相対運動のエネルギー保存

相対運動の方程式 $μ \ddot{r} = F$ は，質量 $μ$ の1つの物体の運動方程式と同じ形です．この章の「仕事と運動エネルギー」でしたように，両辺に $v_{rel} = \dot{r}$ を掛けて時間で積分すると，仕事と運動エネルギーの定理が出ます．

Δ (\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}) = \int F \cdot d r

力 $F$ が保存力で，ポテンシャルエネルギー $U (r)$ を持つなら，

\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} + U (r) = 一定

です．質量を $μ$ に，速さを相対速度に読み替えるだけで，これまでのエネルギー保存則とポテンシャル図が，2つの物体の相対運動にそのまま使えます．外力が無ければ $\frac{1}{2} M V^{2}$ も一定なので，全体の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和も保存します．

衝突で失われるエネルギー

衝突の前後で $\frac{1}{2} M V^{2}$ は変わらないので，失われるのは相対運動のエネルギーだけです．第5章の反発係数 $e$ は，正面衝突で相対速度の大きさが $e$ 倍になることを表すので，失われるエネルギーは次のようになります．

法則衝突で失われるエネルギー

Δ K = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} - \frac{1}{2} μ {(e v_{rel})}^{2} = \frac{1}{2} μ (1 - e^{2}) v_{rel}^{2}

弾性衝突（ $e = 1$ ）では0，完全非弾性衝突（ $e = 0$ ）では $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ が全部失われる．

これが問いの答えです．どちらの場面も $μ = \frac{m}{2}$ ， $v_{rel} = 2 v$ ， $e = 0$ なので，失われるのは $\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} \cdot (2 v)^{2} = m v^{2}$ で，同じです．後者は，衝突前の運動エネルギー $2 m v^{2}$ のうち $m v^{2}$ が車の前進（重心の運動）に残っただけです．

ポイントここまでのまとめ

外力が無い2体の運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ と，重心の分と相対運動の分に分かれる．
相互作用が保存力 $U (r)$ なら， $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} + U (r)$ が一定．ポテンシャル図は相対運動に使える．
衝突や分裂で出入りできるのは相対運動の分だけで，衝突で失われるのは $\frac{1}{2} μ (1 - e^{2}) v_{rel}^{2}$ ．
問いの答え：どちらの衝突でも失われるエネルギーは $m v^{2}$ で同じである．