仕事とエネルギー

重心運動と相対運動のエネルギーの計算

著者：柚木芹香

前の節の分解を確かめ，換算質量の性質を見たあと，例題に進みます．

定理数学の道具：分解の証明と換算質量

分解の証明． $v_{1} = V + \frac{m_{2}}{M} v_{rel}$ ， $v_{2} = V - \frac{m_{1}}{M} v_{rel}$ を2乗して質量をかけると，

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} M V^{2} + V \cdot v_{rel} (\frac{m_{1} m_{2}}{M} - \frac{m_{2} m_{1}}{M}) + \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{M^{2}} (m_{2} + m_{1}) v_{rel}^{2}

$V$ と $v_{rel}$ の交差項は係数が打ち消し合って消え，最後の項が $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ になる．

換算質量の性質． $\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}$ なので $\frac{1}{μ} > \frac{1}{m_{1}}$ ，つまり $μ < m_{1}$ ，同じく $μ < m_{2}$ ．2つの質量が等しければ $μ = \frac{m}{2}$ ．片方が非常に重いと $μ$ は軽いほうの質量に近づく．

練習 1． (1) $m_{1} = 3.0 kg$ ， $m_{2} = 6.0 kg$ の $μ$ を求めよ．(2) $m_{1} = 3.0 kg$ が $+ 4.0 m s^{- 1}$ ， $m_{2} = 6.0 kg$ が $+ 1.0 m s^{- 1}$ で動くとき， $\frac{1}{2} M V^{2}$ と $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ を求め，和が $K$ に一致することを確かめよ．

答え：(1) $μ = \frac{3.0 \times 6.0}{9.0} = 2.0 kg$ ．(2) $V = \frac{12 + 6.0}{9.0} = 2.0 m s^{- 1}$ で $\frac{1}{2} M V^{2} = 18 J$ ， $v_{rel} = 3.0 m s^{- 1}$ で $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} = 9.0 J$ ．和は $27 J$ ． $K = \frac{1}{2} \cdot 3.0 \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 6.0 \cdot 1.0 = 24 + 3.0 = 27 J$ で一致する．

練習 2． 質量 $2.0 kg$ の2物体が， $+ 5.0 m s^{- 1}$ と $- 5.0 m s^{- 1}$ で向かい合って進む． $V$ ， $μ$ ， $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ を求め， $K$ と比べよ．

答え： $V = 0$ ， $μ = 1.0 kg$ ， $v_{rel} = 10 m s^{- 1}$ で $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} = 50 J$ ． $K = 2 \times \frac{1}{2} \times 2.0 \times {5.0}^{2} = 50 J$ で，重心が止まっているので全部が相対運動のエネルギーである．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

静止している質量 $5.0 kg$ の物体が，内部の爆発で $2.0 kg$ と $3.0 kg$ の2つに割れた．爆発のエネルギー $60 J$ は，すべて運動エネルギーになった．2つの破片の速さと運動エネルギーを求めよ．

**［図：静止物体の2分裂］**
上段は静止した5.0 kgの物体．下段は2.0 kgと3.0 kgの破片と静止する重心G．矢印の長さは未知の速さを表すものではない．

解答を見る

考え方 静止していたので $V = 0$ ．増えた運動エネルギーは相対運動のエネルギーである．

$μ = \frac{2.0 \times 3.0}{5.0} = 1.2 kg$ ． $\frac{1}{2} \times 1.2 v_{rel}^{2} = 60$ より $v_{rel} = 10 m s^{- 1}$ ． $V = 0$ なので

v_{1} = \frac{m_{2}}{M} v_{rel} = 6.0 m s^{- 1}, v_{2} = \frac{m_{1}}{M} v_{rel} = 4.0 m s^{- 1}

運動エネルギーは $\frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot {6.0}^{2} = 36 J$ と $\frac{1}{2} \cdot 3.0 \cdot {4.0}^{2} = 24 J$ （和は $60 J$ ）．運動量 $2.0 \times 6.0 = 3.0 \times 4.0$ も合う．配分は質量の逆比 $3 : 2$ で，軽いほうが多くもらう．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $800 kg$ の軽自動車と質量 $2000 kg$ の乗用車が，どちらも速さ $15 m s^{- 1}$ で正面衝突し，一体になった．失われた運動エネルギーと，それぞれの車の速度の変化の大きさを求めよ．

**［図：2台の車の正面衝突］**
800 kgと2000 kgの車が同じ速さ15 m s⁻¹で近づく．合体後の方向と速さは図に示さない．

解答を見る

考え方 乗用車の向きを正とする．失われるのは相対運動のエネルギーである．

$M = 2800 kg$ ， $V = \frac{2000 \times 15 - 800 \times 15}{2800} \approx 6.4 m s^{- 1}$ ． $μ = \frac{800 \times 2000}{2800} \approx 571 kg$ ， $v_{rel} = 30 m s^{- 1}$ で，

Δ K = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} = \frac{1}{2} \times 571 \times 30^{2} \approx 2.6 \times 10^{5} J

速度の変化は，軽自動車が $6.4 - (- 15) \approx 21 m s^{- 1}$ ，乗用車が $15 - 6.4 \approx 8.6 m s^{- 1}$ で，比は質量の逆比 $5 : 2$ ．確認すると，衝突前の $\frac{1}{2} \cdot 800 \cdot 15^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2000 \cdot 15^{2} = 3.15 \times 10^{5} J$ ，衝突後の $\frac{1}{2} \cdot 2800 \cdot {6.4}^{2} \approx 5.8 \times 10^{4} J$ ，差は $2.6 \times 10^{5} J$ である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

滑らかな水平面上で，質量 $1.0 kg$ の台車 A（左）と $3.0 kg$ の台車 B（右）が，ばね定数 $3.0 \times 10^{2} N m^{- 1}$ の軽いばね（自然長）でつながれている．B は静止し，A が右向きに $4.0 m s^{- 1}$ で動き出した．

**［図：ばねでつながる2台車］**
初めの自然長のばねと台車A，Bを示す．下段は最大圧縮時の配置だけを示し，求める速度と縮みは空欄にする．

重心の運動エネルギーと，相対運動のエネルギーを求めよ．
ばねの最大の縮みを求めよ．

解答を見る

考え方 水平方向の外力は無いので，重心の運動エネルギーは変わらない．相対運動のエネルギーとばねのエネルギーの和が一定である．

$M = 4.0 kg$ ， $V = \frac{1.0 \times 4.0}{4.0} = 1.0 m s^{- 1}$ から $\frac{1}{2} M V^{2} = 2.0 J$ ． $μ = \frac{1.0 \times 3.0}{4.0} = 0.75 kg$ ， $v_{rel} = 4.0 m s^{- 1}$ から $\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} = 6.0 J$ ．和 $8.0 J$ は，初めの $\frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot {4.0}^{2}$ に一致する．
最も縮んだ瞬間は $v_{rel} = 0$ で，相対運動のエネルギーがすべてばねに入る． $\frac{1}{2} k x^{2} = 6.0$ より

x = \sqrt{\frac{2 \times 6.0}{3.0 \times 10^{2}}} = 0.20 m

このとき2台車はどちらも $V = 1.0 m s^{- 1}$ で動いている．

ポイントここまでのまとめ

分解の交差項は， $V$ と $v_{rel}$ の係数が打ち消し合って消える．
換算質量は軽いほうの質量より小さく，質量が等しければ半分である．
重心の運動エネルギーは外力が無ければ一定で，ばねや爆発や衝突で入れ替わるのは相対運動のエネルギーである．各物体の速度変化の大きさは質量の逆比になる．2体の重心系での運動エネルギーの配分も質量の逆比になるが，実験室系では一般にそうならない．